方法技巧專題13 函數(shù)的圖像(解析版)

方法技巧專題13函數(shù)的圖像解析篇一、函數(shù)的圖像知識框架二、函數(shù)的圖像備用知識掃描關(guān)于函數(shù)圖像常用結(jié)論1．函數(shù)圖象自身的軸對稱(1)f(－x)＝f(x)?函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝a對稱?f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)＝f(2a－x)?f(－x)＝f(2a＋x)；(3)若函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱．2．函數(shù)圖象自身的中心對稱(1)f(－x)＝－f(x)?函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點對稱；(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于(a,0)對稱?f(a＋x)＝－f(a－x)?f(x)＝－f(2a－x)?f(－x)＝－f(2a＋x)；(3)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，b)成中心對稱?f(a＋x)＝2b－f(a－x)?f(x)＝2b－f(2a－x)．3．兩個函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系(1)函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(b－a,2)對稱(由a＋x＝b－x得對稱軸方程)；(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱；(3)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(－x)的圖象關(guān)于點(0，b)對稱；(4)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(a，b)對稱4．函數(shù)圖象的變換(1)平移變換①y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(a>0，右移a個單位),\s\do5(a<0，左移|a|個單位))y＝f(x－a)的圖象；②y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(b>0，上移b個單位),\s\do5(b<0，下移|b|個單位))y＝f(x)＋b的圖象．“左加右減，上加下減”，左加右減只針對x本身，與x的系數(shù),無關(guān)，上加下減指的是在fx整體上加減.(2)對稱變換①y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對稱),\s\do5())y＝－f(x)的圖象；②y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對稱),\s\do5())y＝f(－x)的圖象；③y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點對稱),\s\do5())y＝－f(－x)的圖象；④y＝ax(a>0且a≠1)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于直線y＝x對稱),\s\do5())y＝logax(a>0且a≠1)的圖象．(3)伸縮變換①y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(a>1，橫坐標(biāo)縮短為原來的\f(1,a)縱坐標(biāo)不變),\s\do5(0<a<1，橫坐標(biāo)伸長為原來的\f(1,a)倍，縱坐標(biāo)不變))y＝f(ax)的圖象．②y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(a>1，縱坐標(biāo)伸長為原來的a倍，橫坐標(biāo)不變),\s\do5(0<a<1，縱坐標(biāo)縮短為原來的a倍，橫坐標(biāo)不變))y＝af(x)的圖象．(4)翻折變換①y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(x軸下方部分翻折到上方),\s\do5(x軸及上方部分不變))y＝|f(x)|的圖象；②y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)),\s\do5(原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變))y＝f(|x|)的圖象．三、函數(shù)的圖像題型分析【一】函數(shù)圖象的作法函數(shù)圖象的作法：函數(shù)圖象的作法：(1)直接法：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是基本函數(shù)或函數(shù)圖象是解析幾何中熟悉的曲線(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的一部分)時，就可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出．(2)轉(zhuǎn)化法：含有絕對值符號的函數(shù)，可去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫圖象．(3)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱變換得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序．對不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響．1.例題【例1】作出下列函數(shù)的圖象．(1)|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝x2－2|x|－1.【解析】(1)作出(x≥0)的圖象，再將(x≥0)的圖象以y軸為對稱軸翻折到y(tǒng)軸的左側(cè)，即得的圖象，如圖中實線部分．(2)將函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移1個單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖中實線部分．(3)因為y＝eq\f(2x－1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，故函數(shù)圖象可由y＝eq\f(1,x)的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到，如圖．(4)因為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點法作出[0，＋∞)上的圖象，再根據(jù)對稱性作出(－∞，0)上的圖象，即得函數(shù)y＝x2－2|x|－1的圖象，如圖．【例2】為了得到函數(shù)y＝log2eq\r(x－1)的圖象，可將函數(shù)y＝log2x圖象上所有點的()A．縱坐標(biāo)縮短為原來的eq\f(1,2)，橫坐標(biāo)不變，再向右平移1個單位B．縱坐標(biāo)縮短為原來的eq\f(1,2)，橫坐標(biāo)不變，再向左平移1個單位C．橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移1個單位D．橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移1個單位【答案】A【解析】把函數(shù)y＝log2x的圖象上所有點的縱坐標(biāo)縮短為原來的eq\f(1,2)，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝eq\f(1,2)log2x的圖象，再向右平移1個單位，得到函數(shù)y＝eq\f(1,2)log2(x－1)的圖象，即函數(shù)y＝log2eq\r(x－1)的圖象．【例3】設(shè)函數(shù)y＝eq\f(2x－1,x－2)，關(guān)于該函數(shù)圖象的命題如下：①一定存在兩點，這兩點的連線平行于x軸；②任意兩點的連線都不平行于y軸；③關(guān)于直線y＝x對稱；④關(guān)于原點中心對稱．其中正確的是()A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】B【解析】y＝eq\f(2x－1,x－2)＝eq\f(2x－2＋3,x－2)＝2＋eq\f(3,x－2)，圖象如圖所示，可知②③正確．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】分別畫出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2；(4)y＝eq\f(2x－1,x－1).【解析】(1)首先作出y＝lgx的圖象，然后將其向右平移1個單位，得到y(tǒng)＝lg(x－1)的圖象，再把所得圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方，即得所求函數(shù)y＝|lg(x－1)|的圖象，如圖①所示(實線部分)．(2)將y＝2x的圖象向左平移1個單位，得到y(tǒng)＝2x＋1的圖象，再將所得圖象向下平移1個單位，得到y(tǒng)＝2x＋1－1的圖象，如圖②所示．(3)y＝x2－|x|－2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2，x≥0，,x2＋x－2，x<0，))其圖象如圖③所示．(4)∵y＝2＋eq\f(1,x－1)，故函數(shù)的圖象可由y＝eq\f(1,x)的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到，如圖④所示．【二】函數(shù)圖象的識別識別函數(shù)圖象的兩種方法識別函數(shù)圖象的兩種方法：(1)直接根據(jù)函數(shù)解析式作出函數(shù)圖象，或者是根據(jù)圖象變換作出函數(shù)的圖象．(2)間接法篩選錯誤與正確的選項可從如下幾個方面入手：①從函數(shù)的定義域判斷圖象的左右位置，從函數(shù)的值域判斷圖象的上下位置；②從函數(shù)的單調(diào)性判斷圖象的上升、下降趨勢；③從函數(shù)的奇偶性判斷圖象的對稱性；④從函數(shù)的周期性判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；⑤從特殊點出發(fā)排除不符合要求的選項．1.例題【例1】已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，則正比例函數(shù)y＝(b＋c)x與反比例函數(shù)y＝eq\f(a－b＋c,x)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是()【答案】C【解析】由二次函數(shù)圖象可知a>0，c>0，由對稱軸x＝eq\f(－b,2a)>0，可知b<0，故a－b＋c>0.當(dāng)x＝1時，a＋b＋c<0，即b＋c<0，所以正比例函數(shù)y＝(b＋c)x的圖象經(jīng)過二、四象限，反比例函數(shù)y＝eq\f(a－b＋c,x)的圖象經(jīng)過一、三象限．故選C．【例2】函數(shù)y＝－x4＋x2＋2的圖象大致為()【答案】D【解析】當(dāng)x＝0時，y＝2，所以排除A，B項；當(dāng)x＝eq\f(\r(2),2)時，y＝－eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＋2＝eq\f(9,4)>2，所以排除C項．故選D．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，(a>0，且a≠1)的圖象可能是（）【答案】D【解析】當(dāng)時，函數(shù)的圖象過定點且單調(diào)遞減，則函數(shù)的圖象過定點且單調(diào)遞增，函數(shù)的圖象過定點且單調(diào)遞減，D選項符合；當(dāng)時，函數(shù)的圖象過定點且單調(diào)遞增，則函數(shù)的圖象過定點且單調(diào)遞減，函數(shù)的圖象過定點且單調(diào)遞增，各選項均不符合.綜上，選D.【練習(xí)2】函數(shù)y=2|x|sin2x的圖象可能是（）ABCD【答案】D【解析】令，因為，所以為奇函數(shù)，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，故選D．【例3】若函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝－f(x＋1)的圖象大致為()【答案】 C【解析】，故選C【三】根據(jù)圖像識別解析式通過圖象變換識別函數(shù)圖象要掌握的兩點通過圖象變換識別函數(shù)圖象要掌握的兩點(1)熟悉基本初等函數(shù)的圖象(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的圖象)；(2)了解一些常見的變換形式，如平移變換、翻折變換．1.例題【例1】如圖所示的函數(shù)圖象，對應(yīng)的函數(shù)解析式可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，排除B.函數(shù)的定義域為，排除.對于，當(dāng)時，，排除【例2】已知圖①中的圖象是函數(shù)y＝f(x)的圖象，則圖②中的圖象對應(yīng)的函數(shù)可能是()A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(－|x|)【答案】C【解析】圖②中的圖象是在圖①的基礎(chǔ)上，去掉函數(shù)y＝f(x)的圖象在y軸右側(cè)的部分，然后將y軸左側(cè)圖象翻折到y(tǒng)軸右側(cè)，y軸左側(cè)圖象不變得來的，所以圖②中的圖象對應(yīng)的函數(shù)可能是y＝f(－|x|)．故選C．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】函數(shù)的圖象如圖所示,則的解析式可以為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用排除法：對于B,令得,,即有兩個零點，不符合題意；對于C,當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，不符合題意；對于D,的定義域為，不符合題意；本題選擇A選項.【練習(xí)2】已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為CD中，所以不選；因為，所以選A.【四】函數(shù)圖像的應(yīng)用函數(shù)圖像的應(yīng)用：函數(shù)圖像的應(yīng)用：(1)利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)，一定要注意其對應(yīng)關(guān)系．(2)利用函數(shù)的圖象研究方程根的個數(shù)：當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時，可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，方程f(x)＝g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象交點的橫坐標(biāo)．(3)利用函數(shù)的圖象研究不等式：當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解．1.例題【例1】已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，＋∞)B．f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(－∞，1)C．f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(－1,1)D．f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(－∞，0)【答案】C【解析】將函數(shù)f(x)＝x|x|－2x去掉絕對值得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－1,1)上單調(diào)遞減．【例2】函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝x－1，則不等式xf(x)＞0在(－1,3)上的解集為()A．(1,3) B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)【答案】C【解析】作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．當(dāng)x∈(－1,0)時，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；當(dāng)x∈(0,1)時，由xf(x)>0得x∈?；當(dāng)x∈(1,3)時，由xf(x)>0得x∈(1,3)．所以x∈(－1,0)∪(1,3)．【例3】對任意實數(shù)a，b定義運(yùn)算“⊙”：a⊙b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a－b≥1，,a，a－b<1，))設(shè)f(x)＝(x2－1)⊙(4＋x)＋k，若函數(shù)f(x)的圖象與x軸恰有三個交點，則k的取值范圍是()A．(－2,1) B．[0,1]C．[－2,0) D．[－2,1)【答案】D【解析】令g(x)＝(x2－1)⊙(4＋x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋x，x≤－2或x≥3，,x2－1，－2<x<3，))其圖象如圖所示．f(x)＝g(x)＋k的圖象與x軸恰有三個交點，即y＝g(x)與y＝－k的圖象恰有三個交點，由圖可知－1<－k≤2，即－2≤k<1.故選D．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知函數(shù)f(x)＝|log3x|，實數(shù)m，n滿足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值為2，則eq\f(n,m)＝________.【答案】9【解析】作出函數(shù)f(x)＝|log3x|的圖象，觀察可知0<m<1<n且mn＝1.若f(x)在[m2，n]上的最大值為2，從圖象分析應(yīng)有f(m2)＝2，∴l(xiāng)og3m2＝－2，∴m2＝eq\f(1,9).從而m＝eq\f(1,3)，n＝3，故eq\f(n,m)＝9.【練習(xí)2】已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,2|x|，x≤0，))則函數(shù)y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零點個數(shù)是__________．【答案】5【解析】方程2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0的解為f(x)＝eq\f(1,2)或f(x)＝1，作出y＝f(x)的圖象，由圖象知零點的個數(shù)為5.四、課后自我檢測1．要得到g(x)＝log2(2x)的圖象，只需將函數(shù)f(x)＝log2x的圖象()A．向左平移1個單位 B．向右平移1個單位C．向上平移1個單位 D．向下平移1個單位【答案】C【解析】因為log2(2x)＝1＋log2x＝g(x)，所以要得到g(x)的圖象只需將y＝f(x)＝log2x的圖象向上平移1個單位．2．函數(shù)f(x)＝eq\f(e2x＋1,ex)的圖象()A．關(guān)于原點對稱 B．關(guān)于直線y＝x對稱C．關(guān)于x軸對稱 D．關(guān)于y軸對稱【答案】D【解析】因為f(x)＝eq\f(e2x＋1,ex)＝ex＋e－x(x∈R)，所以f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)＝eq\f(e2x＋1,ex)為偶函數(shù)，所以f(x)＝eq\f(e2x＋1,ex)的圖象關(guān)于y軸對稱．故選D．3．已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為{x|x∈R，且x≠0}，且滿足f(x)－f(－x)＝0，當(dāng)x＞0時，f(x)＝lnx－x＋1，則函數(shù)y＝f(x)的大致圖象為()【答案】D【解析】由f(x)－f(－x)＝0得函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，排除A，B項；又當(dāng)x>0時，f(x)＝lnx－x＋1，所以f(1)＝0，f(e)＝2－e<0.故選D．4．設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式eq\f(fx－f－x,x)<0的解集為()A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)【答案】D【解析】因為f(x)為奇函數(shù)，所以不等式eq\f(fx－f－x,x)<0可化為eq\f(fx,x)<0，f(x)的大致圖象如圖所示，所以不等式的解集為(－1,0)∪(0,1)．5．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】分析：分別求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性后可選擇正確答案．詳解：A．，顯然在上遞減，；B．，在上遞增；C．，在上遞增，在上遞減且此時；D．，在上遞減．只有C符合要求．故選C．6．設(shè)函數(shù)滿足,則的圖象可能()A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，即函數(shù)是偶函數(shù)，排除由,得，即函數(shù)關(guān)于對稱，排除本題正確選項：7．函數(shù)f（x）=的大數(shù)圖象為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題知，函數(shù)滿足，所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除C、D項；又由當(dāng)時，函數(shù)的值小于0，排除B，故選A.8．若函數(shù)的圖象與x軸有公共點，則m的取值范圍是________．【答案】[－1,0)【解析】首先作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|1－x|的圖象(如圖所示)，欲使y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|1－x|＋m的圖象與x軸有交點，則－1≤m<0.9．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,2x，x≤0，))且關(guān)于x的方程f(x)－a＝0有兩個實根，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】(0,1]【解析】當(dāng)x≤0時，0<2x≤1，所以由圖象可知要使方程f(x)－a＝0有兩個實根，即f(x)＝a有兩個根，則0<a≤1.10．定義在R上的函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg|x|，x≠0，,1，x＝0，))關(guān)于x的方程f(x)＝c(c為常數(shù))恰有三個不同的實數(shù)根x1，x2，x3，則x1＋x2＋x3＝________.【答案】0【解析】函數(shù)f(x)的圖象如圖，方程f(x)＝c有三個根，即y＝f(x)與y＝c的圖象有三個交點，易知c＝1，且一根為0，由lg|x|＝1知另兩根為－10和10，所以x1＋x2＋x3＝0.11．已知函數(shù)y＝f(x)及y＝g(x)的圖象分別如圖所示，方程f(g(x))＝0和g(f(x))＝0的實根個數(shù)分別為a和b，則a＋b＝________.【答案】10【解析】由圖象知f(x)＝0有3個根，分別為0，±m(xù)(m＞0)，其中1＜m＜2，g(x)＝0有2個根，設(shè)為n，p，則－2＜n＜－1，0＜p＜1，由f(g(x))＝0得g(x)＝0或±m(xù)，由圖象可知當(dāng)g(x)所對應(yīng)的值為0，±m(xù)時，其都有2個根，因而a＝6；由g(f(x))＝0知f(x)＝n或p，由圖象可以看出當(dāng)f(x)＝n時，有1個根，而當(dāng)f(x)＝p時，有3個根，即b＝1＋3＝4.所以a＋b＝6＋4＝10.12．已知函數(shù)f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求實數(shù)m的值；(2)作出函數(shù)f(x)的圖象；(3)根據(jù)圖象指出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(4)若方程f(x)＝a只有一個實數(shù)根，求a的取值范圍．【解析】(1)因為f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.(2)由題意得f(x)＝x|x－4|＝eq\b\lc\{\rc\(\