課時作業(yè)18 正、余弦定理（教師版）

課時作業(yè)18正、余弦定1．(2019·江西省信豐中學高三月考)在△中，三個內(nèi)角所對的邊分別是．若，則______．【答案】【解析】∵三個內(nèi)角所對的邊分別是，若∴根據(jù)正弦定得，即∴故答案為2．(2024·海南華僑中學高三月考)中，已知，則為__________．【答案】【解析】在中，由正弦定得，所以，又，因此，所以．答案：．3．(2024·山東高三月考)在中，，，，則______.【答案】【解析】由題意得，即，則，，得.4．(2024·肇東市第四中學校高三期中)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝，b＝2，A＝，則△ABC的面積為________．【答案】【解析】由正弦定得sinB＝＝＝，∵b<a，∴B<A，∴cosB＝，∴sinC＝sin(A＋B)＝，∴△ABC的面積為absinC＝.故答案為：5．(2024·云南高三期末())在中，角、、所對的邊分別是、、.若，，，則___________.【答案】【解析】因為在中，，，所以，，因此，又，所以由正弦定可得，則.故答案為：.6．(2024·寧夏銀川一中高三月考())在中，角、、所對的邊分別為、、.若，，時，則的面積為________.【答案】【解析】，且，解得，又，所以，，，，故故答案為：7．(2024·四川石室中學高三其他模擬)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為______.【答案】【解析】由題可知，在中，，由正弦定可得，，.故答案：.8．(2024·山東高三期中)若的面積，則______.【答案】【解析】依題意，即，即，所以，由于，所以.故答案為：9．(2024·全國高三專題練習)在中，角，，的對邊分別為，，，若，，且，則的面積為______.【答案】2【解析】由余弦定得，即，解得，∴，∴，故.故答案為：210．(2024·上海高三二模)在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則______．【答案】.【解析】，而,．故答案為：11．(2019·廣西高三月考)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，則的值為______.【答案】【解析】由根據(jù)余弦定，可得.故答案為.12．(2024·廣東廣州·高三月考)在條件①，②，③中任選一個，補充到下面問題中，并給出問題解答.在中，角，，的對邊分別為，，，，，______，求的面積.【答案】選①，；選②，；選③，【解析】選擇①，，即，化簡得：，又，，即，，，，由余弦定得:，解得:，，的面積為；選擇②，由正弦定可得，又，，由，即，，即，，由余弦定得，解得：，，的面積為；選擇③由及，得：，即，由正弦定得：，，即，，，由，得：，，，，的面積為.13．(2024·昆明呈貢新區(qū)中學(云南大學附屬中學呈貢校區(qū))高三月考())已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求b的值；(2)若滿足，c＝3，求的面積.【答案】(1)；(2)或.【解析】(1)由余弦定可得，又，所以可得.由于，所以.(2)已知，由正弦定可得，由正弦二倍角公式可得，∵，，，，所以或者，當時，，，，，；當時，，，，.綜上：的面積為或.14．(2024·廣西北?！じ呷?已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的大??；(2)若，求面積的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，，，.又，.(2)據(jù)(1)求解知，.又，.又，當且僅當時等號成立，，，此時.15．(2024·安徽高三月考)如圖，平面四邊形ABCD是由鈍角ABC與銳角ACD拼接而成，且，∠BAD=.(1)求∠CAD的大??；(2)若AC=4，CD=，求△ACD的面積.【答案】(1)；(2)6.【解析】(1)在ABC中，∵ACcos∠BAC=BCsin∠ABC，由正弦定得，sin∠ABCcos∠BAC=sin∠BACsin∠ABC，∵sin∠ABC≠0，∴tan∠BAC=1，又∠BAC∈(0，)，∴∠BAC=∵∠BAD=，∴∠CAD=(2)在ACD中，AC=4，CD=，∠CAD=由余弦定得，CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD，即10=16+AD2-2×4×AD，解得AD=或AD=3當AD=時，cos∠ADC=，此時ACD為鈍角三角形，不滿足題意，舍去.當AD=3時，ACD的面積S=AC·ADsin∠CAD=616．(2024·江蘇常州·高三期中)在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明由.問題：是否存在，它的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，________.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案不唯一，見解析.【解析】若選①，bc＝4，由于csinA＝2sinC，利用正弦定可得ac＝2c，可得a＝2，因為bcosC＝1，可得cosC＝＝，整可得2a＝a2+b2﹣c2，解得b＝c＝2，所以C＝．若選②，acosB＝1，因為csinA＝2sinC，由正弦定可得ca＝2c，解得a＝2，所以cosB＝，由B∈(0，π)，可得B＝，又bcosC＝1，可得acosB＝bcosC，由余弦定可得a?＝b?，整可得b＝c，所以C＝B＝．若選③，sinA＝2sinB，由正弦定可得a＝2b，又csinA＝2sinC，由正弦定可得ca＝2c，可得a＝2，所以b＝1，又因為bcosC＝1，可得cosC＝1，又C∈(0，π)，所以這樣的C不存在，即問題中的三角形不存在．17．(2024·河北張家口·高三月考)在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且．(1)求角的大??；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由正弦定得(*)由余弦定：∴，且∴(2)當時，由(*)得：，當且僅當時取等號所以∴18．(2024·福建莆田一中高三期中)在中，，為線段邊上一點，，．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).【解析】(1)考察，記，由余弦定得：，即化簡得：，∴或6，由，，∴，∴為鈍角，∴，∴．(2)記，則，由可得，考察，由正弦定可得：即，∴，化簡得：，∴，即．19．(2024·河南高三一模())在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，，.(1)求；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)∵，∴，由正、余弦定得，∵，，∴，.(2)由余弦定得，∵，∴，故.20．(2024·西藏昌都市第一高級中學高三期中())已知內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)若的面積為，且，求的周長.【答案】(1)；(2).【解析】(1)在中，由余弦定可得：，即，即，所以，因為，所以，(2)，解得，由余弦定得：，即，所以，所以的周長為.21．(2024·江蘇南通·高三期中)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcosA＋a＝c.(1)求cosB；(2)如圖，D為外一點，若在平面四邊形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，BC＝，求AB的長．【答案】(1)；(2).【解析】(1)在中，由正弦定得sinBcosA＋sinA＝sinC，又C＝π－(A＋B)，所以sinBcosA＋sinA＝sin(A＋B)，故sinBcosA＋sinA＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinAcosB＝sinA，又A∈(0，π)，所以sinA≠0，故cosB＝.(2)因為D＝2B，所以cosD＝2cos2B－1＝，又在中，AD＝1，CD＝3，所以由余弦定可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cosD＝1＋9－2×3×＝12，所以AC＝，在中，BC＝，AC＝，cosB＝，所以由余弦定可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即12＝AB2＋6－2·AB××，化簡得AB2－AB－6＝0，解得AB＝.故AB的長為.22．(2024·全國高三專題練習)在①；②的面積為；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.問題，是否存在，其內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，______？若三角形存在，求的周長；若三角形不存在，請說明由.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案見解析【解析】選①：因為，所以由正弦定得，即，即，整得.因為，所以.又，所以.又因為，所以，即.由得:，所以.由正弦定，得，解得，，所以的周長為.選②：因為，所以由余弦定得，即，所以，因為，所以，下同選①.選③：因為，所以由正弦定得，即，又因為，所以，因為，所以問題中的三角形不存在.23．(2024·北京高三期中)如圖，在中，是上的點，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：(1)角的大??；(2)的面積．條件①：；條件②：．【答案】(1)，具體選擇見解析；(2).【解析】選擇條件①：解：(1)在中，由余弦定，得.因為，所以.(2)由(1)知，，因為，所以.所以為直角三角形.所以，.又因為，所以.所以.選擇條件②：解：(1)在中,，.由正弦定，得.由題可知，所以.(2)由(1)知，，因為，所以.所以為直角三角形，得.又因為，所以.所以.24．(2024·海倫市第一中學高三期中)在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，已知，．(1)求的值；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由題意，得．，，，．(2)，由正弦定，可得．，，．．25．(2024·河南高三期中)如圖，在四邊形中，，，，．(1)求的值；(2)若，求的長．【答案