藝考生專題講義12 對數(shù)函數(shù)

考點(diǎn)12指數(shù)函數(shù)知識(shí)梳理1．對數(shù)的概念如果a(a>0，a≠1)的b次冪等于N，即ab＝N，那么數(shù)b叫作以a為底N的對數(shù)，記作logaN＝b，其中a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)．(1)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：ab＝NlogaN＝b；(2)負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)；(3)loga1＝0，logaa＝1．2.兩個(gè)重要對數(shù)(1)常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)叫常用對數(shù)，記作：lgN，常用的兩個(gè)恒等式：lg10＝1，lg2＋lg5＝1．(2)自然對數(shù)：以無理數(shù)e＝2.71828…為底的對數(shù)叫自然對數(shù)，記作：lnN，常用的兩個(gè)恒等式：lne＝1，lneq\f(1,e)＝－1．3．對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).(2)對數(shù)的重要公式①換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推廣logab·logbc·logcd＝logad.＝N；logaaN＝N(a>0且a≠1)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM.4．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R過定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0當(dāng)x>1時(shí)，y>0當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0是(0，＋∞)上的增函數(shù)是(0，＋∞)上的減函數(shù)5．反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．精講精練題型一對數(shù)函數(shù)的定義域【例1】(1)函數(shù)的定義域是()A． B． C． D．(2)已知的定義域?yàn)?，那么的取值范圍?)A． B． C． D．【答案】(1)A(2)A【解析】對于函數(shù)，有，解得，因此，函數(shù)的定義域是.故選：A.(2)由條件可知恒成立，即，解得：，所以的取值范圍是.故選：A【舉一反三】1已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?)A． B． C． D．【答案】D【解析】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，對于函?shù)，有，即，解得.因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.2.函數(shù)的定義域?yàn)?)A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可知解得且.所以函數(shù)的定義域?yàn)楣蔬x：D3．函數(shù)的定義域是()A． B．C． D．【答案】D【解析】由題可得，，解得．所以函數(shù)的定義域是．故選：D．題型二對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性【例2】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，函數(shù)應(yīng)滿足：，解得：；而在上單增，在上單減；∵是減函數(shù)，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：D【例3】已知，，，則，，的大小關(guān)系是()A． B． C． D．【答案】A【解析】，即；，即；，即，所以.故選：A【方法總結(jié)】比較對數(shù)值大小的常見類型及解題方法常見類型解題方法底數(shù)為同一常數(shù)可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷底數(shù)為同一字母需對底數(shù)進(jìn)行分類討論底數(shù)不同，真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1，0等中間量進(jìn)行比較【舉一反三】1．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A． B． C． D．【答案】D【解析】對于函數(shù)，，解得或，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，外層函數(shù)為增函數(shù)，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D.2．已知，，，則()A． B．C． D．【答案】D【解析】，即；，即.所以.故選：D3．設(shè)函數(shù)，則使得成立的x的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，可得是偶函?shù)，所以等價(jià)于當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，整理可得，解得：或，所以使得成立的x的取值范圍是，故選：B4．已知，，，則()A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，則，所以，故選：B5．已知，，，則下列關(guān)系正確的是()A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，，所以，故選：D．題型三對數(shù)函數(shù)的值域【例4】若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知，函數(shù)的值域包含，當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，顯然不符合題意，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A.【例5】已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】B【解析】時(shí)，，又的值域?yàn)?，則時(shí)，的值域包含，，解得：.故選：B【舉一反三】1．已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域包含，所以，存在，使得，即，而函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，，.故選：D.2．