藝考生專題講義31 空間幾何體垂直關(guān)系

考點(diǎn)31空間幾何體垂直關(guān)系知識(shí)梳理一．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b二．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α三．證明線線垂直的思路精講精練題型一線面垂直【例1】3．(2024·江西吉安市·高三期末節(jié)選)如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為正三角形，為的中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見解析【解析】∵為正三角形，為的中點(diǎn)，∴.∵，，為的中點(diǎn).∴四邊形為平行四邊形，∴.又，∴，即.又，∴平面.【舉一反三】1．(2024·河南信陽(yáng)市節(jié)選)如圖所示，四棱錐中，，，，平面，求證:平面【答案】證明見解析【解析】證明:，，又，，故，又平面平面，，又，平面.2．(2024·江西贛州市節(jié)選)如圖，已知三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，，證明：平面【答案】證明見解析【解析】證明：如圖取中點(diǎn)，連接．因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以又因?yàn)槿庵乃欣忾L(zhǎng)均為2，，所以和是等邊三角形，所以因?yàn)槠矫?，所以平面所以，而，所以平?．(2024·山東德州市節(jié)選)如圖，四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，為等邊三角形，分別為和的中點(diǎn)，且，證明:平面【答案】證明見解析【解析】如圖所示，連接，由是邊長(zhǎng)為的正方形，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，可得的中點(diǎn)，在中，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，可得，又因?yàn)?，所以，又由，且，所以平?題型二面面垂直【例2】(2024·河南高三期末節(jié)選)如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，，，，，是的中點(diǎn)，求證：平面平面【答案】證明見解析【解析】由題意可得，所以，因此.在直四棱柱中，平面，平面，所以又因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫九e一反三】1．(2024·河南焦作市節(jié)選)如圖所示，在四棱錐中，底面是菱形，平面點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求證:平面平面【答案】證明見解析【解析】因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以因?yàn)槠矫嫫矫嫠杂忠驗(yàn)樗云矫嬉驗(yàn)槠矫嫠云矫嫫矫?2．(2024·山東青島市·高三期末節(jié)選)如圖，在直角梯形中，，，，，.將矩形沿翻折，使得平面平面，若，證明：平面平面【答案】證明見解析【解析】證明：連接，因所以因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫云矫嬉驗(yàn)槠矫?，所以因?yàn)?，所以平面因?yàn)槠矫?，所以平面平?．(2024·安徽馬鞍山市節(jié)選)如圖，BE，CD為圓柱的母線，是底面圓的內(nèi)接正三角形，M為BC的中點(diǎn)，證明：平面AEM⊥平面BCDE【答案】證明見詳解【解析】根據(jù)題意可得，.又為圓柱的母線，平面.，，平面.又平面，平面平面．題型三線線垂直【例3】(2024·江西宜春市·高安中學(xué)節(jié)選)如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，已知，E為的中點(diǎn)，求證【答案】證明見解析【解析】交點(diǎn)為，連接，是邊長(zhǎng)為2的菱形，是的中點(diǎn)，，又平面，平面，，平面，平面，【舉一反三】1．(2024·江蘇南通市·高三期末節(jié)選)如圖，在四棱錐中，，，，為的中點(diǎn)，，求證：【答案】證明見解析【解析】取AC中點(diǎn)M，連接FM，DM，分別為AB，AC中點(diǎn)，，，四邊形DEFM是平行四邊形，，，平面ACD，，平面CDM，平面CDM，；2．(2024·山東德州市節(jié)選)如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面分別為的中點(diǎn).(1)求證:;(2)求證:平面.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】證明：(1)連，，底面為菱形，是等邊三角形，，，又，，又面面，，，面面，.取的中點(diǎn)，連，，所以，又，，四邊形是平行四邊形，，又面面，面.3．(2024·山東棗莊市節(jié)選)如圖，四棱錐的側(cè)面是正三角形，