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考點02復(fù)數(shù)知識梳理1.復(fù)數(shù)的概念(1)虛數(shù)單位ii是虛數(shù)單位,滿足i2=-1;i和實數(shù)在一起進行四則運算,進行四則運算時原有的加法、乘法運算律仍然成立.(2)復(fù)數(shù)的概念形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù),其中a,b分別是它的實部和虛部.若b=0,則a+bi為實數(shù);若b≠0,則a+bi為虛數(shù);若a=0且b≠0,則a+bi為純虛數(shù).把復(fù)數(shù)表示為a+bi(a,b∈R)的形式,叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.(3)復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R).(4)共軛復(fù)數(shù)實部相等,虛部互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù),即a+bi與c+di共軛?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).(5)復(fù)數(shù)的模設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R),z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為Z,則向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的長度叫做復(fù)數(shù)z的模(或絕對值),記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=eq\r(a2+b2).2.復(fù)平面從復(fù)數(shù)的定義可以知道,任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)都可以用一個有序?qū)崝?shù)對(a,b)唯一確定,這樣我們可以用建立了直角坐標系內(nèi)的點來表示復(fù)數(shù).當(dāng)用直角坐標平面內(nèi)的點來表示復(fù)數(shù)時,我們稱這個直角坐標平面為復(fù)平面,x軸稱為實軸,y軸稱為虛軸.實軸上的點都表示實數(shù),除了原點,虛軸上的點都表示純虛數(shù).在復(fù)平面內(nèi),表示兩個共軛復(fù)數(shù)的點關(guān)于實軸對稱.3.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)、點、向量之間有一一對應(yīng)的關(guān)系,復(fù)數(shù)的模表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離.(1)復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)(a,b∈R).(2)復(fù)數(shù)z=a+bi平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).(3)復(fù)數(shù)z=a+bi的?;蚪^對值:|z|=eq\r(a2+b2).4.復(fù)數(shù)的運算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;②減法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;④除法:eq\f(z1,z2)=eq\f(a+bi,c+di)=eq\f(a+bic-di,c+dic-di)=eq\f(ac+bd,c2+d2)+eq\f(bc-ad,c2+d2)i(c+di≠0).(2)復(fù)數(shù)加法的運算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律,即對任何z1、z2、z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).5.復(fù)數(shù)的運算常用結(jié)論(1)(1±i)2=±2i;eq\f(1+i,1-i)=i;eq\f(1-i,1+i)=-i;(2)-b+ai=i(a+bi);(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,n∈N*;(4)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.(5)設(shè)ω=-eq\f(1,2)+eq\f(\r(3),2)i,則|ω|=1;1+ω+ω2=0;eq\x\to(ω)=ω2.6.復(fù)數(shù)的幾點注意事項(1)兩個虛數(shù)不能比較大?。?2)利用復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di列方程時,注意a,b,c,d∈R的前提條件.(3)注意不能把實數(shù)集中的所有運算法則和運算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來.例如,若z1,z2∈C,zeq\o\al(2,1)+zeq\o\al(2,2)=0,就不能推出z1=z2=0;z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立.7.?dāng)?shù)系的發(fā)展自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實數(shù)集R以及復(fù)數(shù)集C之間關(guān)系為NZQRC精講精練題型一復(fù)數(shù)的概念例1(1)復(fù)數(shù)z=eq\r(2)+i的共軛復(fù)數(shù)為________.(2)設(shè)x∈R,則“x=1”是“復(fù)數(shù)z=(x2-1)+(x+1)i為純虛數(shù)”的________.①充分不必要條件②必要不充分條件③充分必要條件④既不充分也不必要條件答案(1)eq\r(2)-i(2)③解析(1)∵z=eq\r(2)+i,∴eq\x\to(z)=eq\r(2)-i.(2)由純虛數(shù)的定義知:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2-1=0,,x+1≠0,))?x=1,選③.舉一反三(1)已知i為虛數(shù)單位,a∈R,若(a-1)(a+1+i)是純虛數(shù),則a的值為________.(2)設(shè)z=eq\f(1,1+i)+i,則|z|=________.答案(1)-1(2)eq\f(\r(2),2)解析(1)∵(a-1)(a+1+i)=(a2-1)+(a-1)i是純虛數(shù),∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2-1=0,a-1≠0)),∴a=-1.(2)∵z=eq\f(1,1+i)+i=eq\f(1-i,2)+i=eq\f(1,2)+eq\f(1,2)i,∴|z|=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))=eq\f(\r(2),2).方法總結(jié)1.處理有關(guān)復(fù)數(shù)的基本概念問題,關(guān)鍵是找準復(fù)數(shù)的實部和虛部,從定義出發(fā),把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成實數(shù)問題來處理.復(fù)數(shù)問題的實數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的最基本也是最重要的方法,其依據(jù)是復(fù)數(shù)相等的充要條件和復(fù)數(shù)的模的運算及性質(zhì).2.解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a+bi(a,b∈R)的形式,以確定實部和虛部.題型二復(fù)數(shù)的幾何意義例2設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)eq\f(2i,1-i)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第____象限.答案第二象限解析eq\f(2i,1-i)=eq\f(2i1+i,1-i1+i)=eq\f(2ii-1,2)=-1+i,由復(fù)數(shù)的幾何意義知-1+i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為(-1,1),該點位于第二象限.舉一反三設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱,z1=2+i,則z1z2=________.答案-5解析∵z1=2+i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點的坐標為(2,1),又z1與z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱,則z2的對應(yīng)點的坐標為(-2,1),即z2=-2+i,∴z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.方法總結(jié)1.復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點Z及向量相互聯(lián)系,即z=a+bi(a,b∈R)?Z(a,b)?.2.由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系,因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法,使問題的解決更加直觀.題型三復(fù)數(shù)的代數(shù)運算例3若復(fù)數(shù)z滿足eq\f(\x\to(z),1-i)=i,其中i為虛數(shù)單位,則z=________.答案1-i解析∵eq\f(\x\to(z),1-i)=i,∴eq\x\to(z)=i(1-i)=i-i2=1+i,∴z=1-i.舉一反三設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)(1-i)(1+2i)等于________.答案3+i解析(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i2=1+i+2=3
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