2024-2025學(xué)年北京某中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年北京五十五中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.2023年10月26日11時14分，搭載神舟十七號載人飛船的長征二號F遙十七運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心

點(diǎn)火發(fā)射，中國航天取得了舉世矚目的成就，為人類和平貢獻(xiàn)了中國智慧和中國力量，下列是有關(guān)中國航

天的圖標(biāo)，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（）

(為9D.

中國火箭

中國探火CLEP中國仃星探測CHINAROCKET

cME?Macs

2.下列各式中，y是％的二次函數(shù)的是()

Ir

A.y=B.y=2%-3C.y=x2-3D.y=J/—3

3.設(shè)%1，%2是一元二次方程久2-2%-3=0的兩根，則第1+%2=()

A.-2B.2C.3D.-3

4.如圖，將△A0B繞點(diǎn)。逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得△COD,若=20。，貝此400的度數(shù)是（）

A.50°

B.40°

C.30°

D.20°

5.如圖,在。。中，弦的長為4,圓心到弦的距離0C為2,則圓。的半徑長是

()

A.1

B.V2

C.2"

D.4

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6.小康在體育訓(xùn)練中擲出的實(shí)心球的運(yùn)動路線呈如圖所示的拋物線形，若

實(shí)心球運(yùn)動的拋物線的解析式為y=-也-3尸+竽，其中y是實(shí)心球飛行

的高度，工是實(shí)心球飛行的水平距離，則小康此次擲球的成績（即。2的長

度）是（）

A.8mB.7mC.6mD.5m

7.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的y與x的部分對應(yīng)值如下表：

X013

y-3131

則下列判斷中正確的是（）

A,拋物線開口向上

B.拋物線與y軸交于負(fù)半軸

C.當(dāng)x=4時，y>0

D.方程a/+bx+c=0的正根在3與4之間

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtaaoB的一條直角邊。8在刀軸上，點(diǎn)

4的坐標(biāo)為（一6,4）；Rt△C。。中，/.COD=90°,OD=4平,

ND=30。，連接BC,點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，連接4M.將Rt△COD以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)

中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段4M的最小值是（）

A.3B.6^2-4C.2713-2D.2

二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。

9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（-6,3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

10.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2a久+3=0的一個根是1,貝l|a的值為

11.某小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件100件，第三天攬件144件.設(shè)該快遞店攬件日平均增長率為x,

根據(jù)題意，可列方程為

12.若圓錐的高為8cm,母線長為10cm,則這個圓錐的側(cè)面展開圖的弧長是結(jié)果保留兀）

13.將拋物線y=/+1先向上平移3個單位，再向左平移3個單位后，得到的拋物線解析式為

14.若點(diǎn)2（—3,月），8（—22）都在拋物線y=2（x+1）2上，請將%按從小到大的順序用“<"連接:

15.如圖，ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，AD為直徑，ZC=110°,貝IJNADB的度

數(shù)為.

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16.圖1是一個瓷碗，圖2是其截面圖，碗體DEC呈拋物線狀(碗體厚度不計)，碗口寬CD=12cm,此時面

湯最大深度EG=8cm.

(1)當(dāng)面湯的深度E7為4c?n時，湯面的直徑PQ長為；

(2)如圖3,把瓷碗繞點(diǎn)B緩緩傾斜倒出部分面湯，當(dāng)N4BM=45。時停止，此時碗中液面寬度C”=

D

三、解答題：本題共12小題，共68分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題6分)

解方程:

(1)%2-3%-4=0；

(2)3x(%—1)=x—1.

18.(本小題5分)

如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個單位長度，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

4(2,5),C(4,3).

⑴畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)。成中心對稱的圖形△4中停1.

(2)求的面積.

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19.(本小題5分)

已知二次函數(shù)y=-2x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)力(0,4)和B(l,-2).

(1)求此函數(shù)解析式；

(2)求出該拋物線頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△C4。的面積.

20.(本小題5分)

已知二次函數(shù)y=—x2—(m—l)x+m+1.

(1)求證：不論m取何值，該函數(shù)圖象與x軸總有兩個交點(diǎn)；

(2)若該函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=2,求該函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

21.(本小題5分)

如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在BC邊上，AE=AB,將線段4c繞力點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到

4F的位置，使得"4F=乙BAE,連接EF,EF與4C交于點(diǎn)G.

(1)求證：EF=BC；

(2)若N&BC=63°,ZXCB=25°,求NFGC的度數(shù).

22.(本小題5分)

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a力0)中，函數(shù)y與自變量工的部分對應(yīng)值如表:

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X-2-102

y-3-4-35

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出這個二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)當(dāng)—2<x<1時，y的取值范圍是.

23.(本小題5分)

下面是小亮設(shè)計的“過圓上一點(diǎn)作已知圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：點(diǎn)4在。。上.

求作：直線P4和。。相切.

作法：如圖，

①連接4。；

②以4為圓心，4。長為半徑作弧，與O。的一個交點(diǎn)為B；

③連接B。；

④以8為圓心，B0長為半徑作圓；

⑤作。B的直徑。P；

⑥作直線P4.

所以直線P4就是所求作的。。的切線.

根據(jù)小亮設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

(1)使用直尺和圓規(guī)依作法補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)；

(2)完成下面的證明；

證明：在。。中，連接B4

0A—OB,A0—AB,

.?.OB=AB.

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.??點(diǎn)a在08上.

?--OP是G）B的直徑,

???/.OAP=90℃）（填推理的依據(jù)）.

0A1AP.

又,：點(diǎn)4在。。上,

P4是。。的切線（一）（填推理的依據(jù)）.

24.（本小題5分）

如圖，△ABC中，AB=AC,以力B為直徑作。。交BC于點(diǎn)D,作DE14C交4c于點(diǎn)E,延長ED交2B的延

長線于點(diǎn)工

（1）求證：DE是。。的切線;

（2）若△ABC為等邊三角形，AE=3,求。。半徑的長.

25.（本小題6分）

小宇要對一幅書法作品進(jìn)行裝裱，裝裱后如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統(tǒng)

稱為邊.已知原作品的長為60cm,寬為24cm,在裝裱后左右兩邊的邊寬相等，天頭長與地頭長也相等，且

均為一邊寬的5倍，如果在裝裱后，原作品的面積恰好是裝裱后作品總面積的玲，那么裝裱后左右兩邊的

邊寬分別是多少？

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26.(本小題7分)

在平面直角坐標(biāo)系％0y中，點(diǎn)(4,2)在拋物線y=ax2+bx+2(a<0)上.

(1)直接寫出拋物線的對稱軸；

(2)拋物線上兩點(diǎn)P(xi,yi),Q(x2,y2),且tW比i<t+2,4-t<x2<6-t.

①當(dāng)t=l時，直接寫出外,>2的大小關(guān)系；

②若對于*1，尤2,都有力大於，直接寫出t的取值范圍.

27.(本小題7分)

如圖，在△4BC中，AB=AC,Z.BAC=2a(00<a<90°),點(diǎn)E在射線BC上(不與點(diǎn)B,點(diǎn)C重合)，點(diǎn)、D

為線段BE的中點(diǎn)，連接4D將射線4。繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)a得到射線AM,過點(diǎn)。作OF14。交射線4M于點(diǎn)

F.

(1)如圖1,點(diǎn)E在線段BC上，求證：Z-B="FD.

(2)如圖2,a=45。，點(diǎn)E在線段BC的延長線上，點(diǎn)D在線段BC上，連接CF,EF.

①依題意補(bǔ)全圖形；

②寫出線段CE與CF之間是數(shù)量關(guān)系，并證明.

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28.(本小題7分)

給出如下定義：在平面內(nèi)，把一個圖形M上任意一點(diǎn)與另一個圖形N上任意一點(diǎn)之間的距離的最小值，稱

為這兩個圖形M,N之間的距離.已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)力(1,0),5(5,0).

(1)若點(diǎn)P(0,4),

①點(diǎn)尸到線段4B的距離為，點(diǎn)P到以線段4B為直徑的圓的距離為；

②當(dāng)線段A8繞48中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，則點(diǎn)P到線段A8距離心的取值范圍為；

③以4B為邊，在久軸下方作矩形力BCD,其中BC平行y軸，BC=2,當(dāng)矩形繞著點(diǎn)(3,-1)旋轉(zhuǎn)時，則點(diǎn)P到

矩形A8CD的距離d2的取值范圍為；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在圓心C(m,8m)(0<m<3),半徑為1的圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)P到線段力B的距離d3的取值范圍？

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參考答案

l.D

2.C

3.5

4.B

5.C

6.B

l.D

8.i4

9.(6,-3)

10.2

11,100(1+x)2=144

12.12TT

13.y=x24-6%+13

14.y2<yi

15.20°

16.6^/2

17.解:(1)X2-3X-4=0,

(%—4)(%+1)=0,

%—4=0或汽+1=0,

解得：%=4或%=-1,

???原方程的根為：%i=4,x2=-1;

(2)3x(x—1)=%—1,

3x(%—1)—(%—1)=0,

(3%-l)(x-l)=0,

3x—1=0或%—1=0,

1

解得：%=§或窕=1,

一1

二原方程的根為：%1=3,久2=L

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18.解:(1)如圖，即為所求;

111

>

(2)S^1s1c1=3x4——x1x4——x2x2——x2x3=5.

19.解：(1)將點(diǎn)4(0,4)與8(1,-2)代入解析式，得:

Cc=4

[-2+b+c=-2，

解得:{"I，，

則此函數(shù)解析式為y=-2X2-4X+4；

(2)y=-2X2—4X+4=—2(%+l)2+6,

???頂點(diǎn)C坐標(biāo)為(一1,6),

???A(0,4),

OA=4,

則S^czo='.04.Kcl=[x4x1=2.

20.(1)證明：,?,拋物線為y=-x2-(m-l)x+m+1,

???4=b2-4ac=(m—I)2—4x(—1)x(m+1)

=m2—2m+1+4m+4

=(m+l)2+4.

?.?不論相取何值都有(m+l)2>0,

???4=(m+l)2+4>0.

???不論m取何值，該函數(shù)圖象與支軸總有兩個交點(diǎn).

(2)解：???該函數(shù)圖象的對稱軸是直線X=2,

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???對稱軸為直線尤=一感喙=2.

.?.m=—3.

???y——x2—(―3—l)x+(—3)+1=—x2+4x—2.

???當(dāng)久=0時，y=-2.

???該函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2).

21.(1)證明：???/.CAF=^BAE,

Z-BAC=/-EAF.

???將線段4C繞2點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AF的位置，

AC—AF.

在△ABC與△AEF中，

[AB=AE

ABAC=乙EAF

AC=AF，

???△ABC名△ZEF(SZS),

??.EF=BC；

(2)解:???AB=AE,乙ABC=63°,

???乙AEB=Z.ABC,

???乙BAE=180°-63°X2=54°,

??.AFAG=￡.BAE=54°.

???△ABC^AAEF,

??.AAFE=乙ACB=25°,

???乙FGC=Z.FAG+Z-AFG=54°+25°=79°.

22.

解：(1)將(-2,-3),(-1,-4),(0,-3)代入!/=012+阮+<:(<1r0),

{-3=4a—2b+c

-4=Q—b+ct

-3=c

a=1

6=2t

{c=-3

.?.y=-+-3=(x+I)?—4r

???這個二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-4)；

(2)-4<y<0

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23.解：(1)如圖，直線PA即為所求;

(2)直徑所對的圓周角是直角；經(jīng)過半徑的外端與半徑垂直的直線是圓的切線.

24.(1)證明：連接。0,

???AB=AC,

Z-ABC=乙ACB,

??,OB=0D,

???Z.ABC=Z,0DB,

???Z-ACB=乙0DB,

??.0D//AC,

DE1AC,

???0D1DE,

??。。是O。的半徑，

"E是。。的切線；

(2)解：???△4BC為等邊三角形，

Z.ABC=Z.BAC=Z.A=60°,

???是。。的直徑，

^ADB=/.ADC=90°,

4BAD=/.CAD=30°,DE2+AE2=AD2,

???AD=2DE,

：-DE2+32=4DE2,

DE=避，

AD=

在Rt△力BD中，AB=2,BD,BD2+AD2^AB2,

BD2+(2避)2=4B￡)2,

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BD=2,

??.AB=4.

.■.o。半徑的長為2.

25.解：設(shè)裝裱后左右兩邊的邊寬均為久cm,則天頭長與地頭長均為5xon,

a

由題思得：60x24=—(60+5x+5x)(24+x+無)，

整理得：x2+18X-88=0,

解得：=4,%2=-22(不符合題意，舍去)，

答：裝裱后左右兩邊的邊寬均為4ml.

26.解：(1)將久=。代入y=ax2+bx+2得y=2,

拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),

又???拋物線經(jīng)過(4,2),

???拋物線對稱軸為直線％=2.

(2)①?；a<0,

拋物線開口向下，

當(dāng)t=l時，點(diǎn)1WXI<3,3<x2<5.

—21<1,1<|%2-2|<2,

???點(diǎn)尸到對稱軸距離小于點(diǎn)Q到對稱軸距離，

■,-yi<72-

②設(shè)點(diǎn)P(/,yi)關(guān)于直線久=2的對稱點(diǎn)為P'Qo,%),

則=4-x1；

t<x1<t+1,

3—tVXQ<4—t,

,?*4—t<%2<5—3

???％00％2，

當(dāng)力+1<4一力或5—t<t時，打W冷，

解得t<|或1>|.

27.⑴證明:1.?AB=AC,4BAC=2a(00<a<90°),

c180°—Z.BACr\r\o

■■■乙B=---------------=90°-a,

由旋轉(zhuǎn)可知，/-DAM