2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題

本試卷共4頁，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作

答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分(選擇題，共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目

要求的一項(xiàng).

1.直線的傾斜角是3,則斜率是()

A.3B.3C.一百D.百

X2V

2.已知點(diǎn)尸在橢圓3+2上，點(diǎn)片0，°),二㈠⑼,則附㈤叫=()

A.2B,2啦C.2KD.2退

3.已知圓/+/—2x+6y+l=0關(guān)于直線x+y+M=0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)加=()

A.-2B.-1C.1D.2

4.以點(diǎn)"O’)為圓心，且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

22

A(X-2)+(^-1)=1B,(A27+。-1戶4

2222

C(X+2)+(J+1)=1D(X+2)+(J+1)=4

5.已知。為直線/：x+2〉+l=°上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足°尸=O'一3),記P的軌跡為E,則

A.￡是一個(gè)半徑為右的圓B.E是一條與/相交的直線

C.￡上的點(diǎn)到/的距離均為石D.E是兩條平行直線

6.如圖，三棱錐中，QCJ.平面ABC,DC=1,且AABC為邊長(zhǎng)等于2的正三角

形，則。4與平面08c所成角的正弦值為

D

V152

B.5D.5

7.點(diǎn)M是直線2x->+5=°上的動(dòng)點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以°凹為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（

）.

A（0,0）和（-1/）B.（°，°）和（一2,2）

C.（0,°）和（—1,2）D.（°,°）和（—2,1）

//1

---1----1-

8.“祖=3，，是，，橢圓4m的離心率為2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C充要條件D.既不充分也不必要條件

9.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的

正方體圖案（如圖1）,把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所

示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則點(diǎn)P到平面0GC的距離是（）

圖1圖2圖3

1V2

B.耳

A.2D.1

10.如圖，已知正方體4sC?！睦忾L(zhǎng)為1,點(diǎn)〃為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在正方形

8℃1片的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).以下四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

71

ND、PM=—

B.存在點(diǎn)尸滿足2

兀

C.滿足4P1D[M的點(diǎn)p的軌跡長(zhǎng)度為7

也

D.滿足以,。附的點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為4

第二部分（非選擇題，共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.橢圓94的離心率是.

12.已知直線，：（加+2卜+竹1=°,￡5x+（m-2?+l=0,若///￡則實(shí)數(shù)機(jī)

的值為.

13.在正三棱柱SC—451G中，AB=2,44=史則異面直線曲與g所成角的大

小為?

14.已知點(diǎn)尸是圓I*—1）+r=1上的動(dòng)點(diǎn)，直線4：3x-4y+7=0,￡

3x-4y+m=0t記P到直線4,4的距離分別為4,4（若尸在直線上，則記距離為。）,

（1）&的最大值為；

（2）若當(dāng)點(diǎn)尸在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4+4為定值，則機(jī)的取值范圍是

15.伯努利雙紐線（簡(jiǎn)稱雙紐線）是瑞士數(shù)學(xué)家伯努利（1654-1705）在1694年提出的.伯

努利將橢圓的定義作了類比處理，指出是到兩個(gè)定點(diǎn)距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡是雙紐線.

在平面直角坐標(biāo)系g中，到定點(diǎn)，（一"'"的距離之積為的點(diǎn)的軌跡

x+y）=2a（x-J）其形狀類似于符號(hào)處若點(diǎn)

°（%，%）是軌跡C上一點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①曲線C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；

②閾"聞恒成立；

③曲線C上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過后

④當(dāng)|x°|="時(shí)，Jo取得最大值或最小值.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共6小題，共85分.解答題應(yīng)寫出文字說明、驗(yàn)算步驟或證明過程.

16.已知直線/：（22+l）x+（'T）12T=0,AeR

（1）當(dāng)直線/與直線x+2y=°垂直時(shí)，求彳的值；

（2）設(shè)直線/恒過定點(diǎn)尸，求尸的坐標(biāo)；

（3）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)4，直線/與圓/+"=/b,,總有公共點(diǎn)，直接寫出廠的取值范

圍.

17.已知。。經(jīng)過點(diǎn)，（°,―2），以3,1）,并且圓心°在直線歹=2x-8上，

（1）求℃的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)尸O'°）的直線/與。。交于跖N兩點(diǎn)，若四|=40,求/的方程.

22

18.已知橢圓C：〃+/-Ka〉?！怠＃┑淖?、右焦點(diǎn)分別為片（一百,0）和居（百,0）,長(zhǎng)

軸長(zhǎng)為4.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn)，/0,°）.若存在實(shí)數(shù)2使得忸片舊尸見=劣0求2的取

值范圍.

19.如圖，在三棱臺(tái)"8C—4用。1中，若44,平面4sC，4s===2,

4G=1，N為45中點(diǎn)，M為棱8c上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）.

（1）若河為8c的中點(diǎn)，求證：4N”平面GM4.

（2）是否存在點(diǎn)使得平面與平面'CG4所成角的余弦值為6?若存在，求

出8M長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.

20.平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)M到點(diǎn)“（°」）的距離比它到x軸的距離多1,記點(diǎn)M的軌

跡為C.

（1）求軌跡C的方程；

（2）設(shè)斜率為左的直線/過定點(diǎn)0°,°）,若直線/與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)左

的取值范圍.

21.用一個(gè)矩形鐵皮制作成一個(gè)直角圓形彎管（如圖1）：將該矩形鐵皮圍成一個(gè)圓柱體

（如圖2）,再用一個(gè)與圓柱底面所成45°的平面截圓柱，將圓柱截成兩段，再將這兩段重新

拼接就可以得到直角圓形彎管.現(xiàn)使用長(zhǎng)為2兀，寬為兀的矩形鐵皮制作一個(gè)直角圓形彎管，

當(dāng)?shù)玫降闹苯菆A形彎管的體積最大時(shí)（不計(jì)拼接損耗部分），解答下列問題.

圖1

（1）求該直角圓形彎管的體積；

（2）已知在制造直角圓形彎管時(shí)截得的截口是一個(gè)橢圓，求該橢圓的離心率；

（3）如圖3,若將圓柱被截開的一段的側(cè)面沿著圓柱的一條母線剪開，并展成平面圖形（如

圖4）,證明：該截口展開形成的圖形恰好是某正弦型函數(shù)的部分圖象，并指出該正弦型函數(shù)

的最小正周期與振幅.

2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題

本試卷共4頁，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作

答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題，共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目

要求的一項(xiàng).

2萬

1.直線的傾斜角是3,則斜率是（）

V3V3

A.3B.3D.由

【正確答案】C

【分析】由直線的傾斜角與斜率的關(guān)系即得.

2〃

【詳解】???直線的傾斜角是3,

tan-=tan（萬一工）=-tan—=一石

???直線的斜率為333

故選：C.

X2/

2.已知點(diǎn)P在橢圓3+2上，點(diǎn)々（L°）,瑪（TO）,則附1+1%=（）

A.2B,2后C.26D.2退

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程以及橢圓定義即可得出結(jié)果.

22

土+匕=i__

【詳解】由橢圓方程為32可知a=.3r,c=l,

則耳（1,0）,鳥（-1,0）即為橢圓的左、右焦點(diǎn)，

由橢圓定義可得附代附?=2"2色

故選：c

3.已知圓/+/—2x+6y+l=0關(guān)于直線x+y+機(jī)=0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)加=()

A.-2B.-1C.1D.2

【正確答案】D

【分析】根據(jù)圓關(guān)于直線對(duì)稱即圓心在直線上得到答案.

【詳解】將一+/—2x+6y+l=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(I)+。+3)=9,

圓心為(1「3),半徑為3,

因?yàn)閳A2x+6y+l=°關(guān)于直線》+了+機(jī)=°對(duì)稱，

所以圓心(1'-3)在直線上，即1—3+加=0,解得機(jī)=2.

故選：D.

4.以點(diǎn)“(21)為圓心，且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

22

A(x-2y+-1)2=1B(X-2)+(^-1)=4

2222

C(X+2)+(J+1)=1D(X+2)+(J+1)=4

【正確答案】A

【分析】根據(jù)圓心和半徑可得圓的方程.

【詳解】以點(diǎn)'°」)為圓心，且與x軸相切的圓的半徑為1.

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是6-2)一+&-17=1.

故選:A.

5,已知.為直線/：x+2j+l=°上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足。尸=(『”記P的軌跡為E,則

()

A.E是一個(gè)半徑為石的圓B.E是一條與/相交的直線

C.E上的點(diǎn)到I的距離均為V5D.E是兩條平行直線

【正確答案】C

【分析】設(shè)尸（X/）,由。0=0'-3）可得0點(diǎn)坐標(biāo)，由。在直線上，故可將點(diǎn)代入坐標(biāo),

即可得「軌跡E,結(jié)合選項(xiàng)即可得出正確答案.

【詳解】設(shè)尸（"/）,由。尸=。廠3）,則0（xT/+3）,

由°在直線小+2了+1=0上，故1+25+3）+1=0,

化簡(jiǎn)得x+2y+6=0,即9的軌跡為E為直線且與直線I平行，

E上的點(diǎn)到/的距離1r+2~,故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.

故選：C.

6.如圖，三棱錐O-/8C中，QCJ.平面ABC,DC=1,且△力BC為邊長(zhǎng)等于2的正三角

形，則與平面O8C所成角的正弦值為

2#>V15V52

A.5B.5C.5D.5

【正確答案】B

【分析】先過A點(diǎn)作出高線，利用等體積法先求高線，再計(jì)算線面角.

【詳解】過點(diǎn)A作垂直于平面BCD的直線，垂足為0,利用等體積法求解A0.

n^DCxS/Bc=1x：sz力60°x2x2xl=g=匕_小=：A0XSBC°

33233由此解得

./ACCJO一而

r~sin^fADO--------

AO=J3,DA與平面OBC所成角為/ADO,所以AD5,故選B

本題考查了等體積法和線面角的基本求法，綜合性強(qiáng)，在三棱錐中求高線，利用等體積法是

一種常見處理手段，計(jì)算線面角，先找線面角，要找線面角必找垂線，而求解垂線的基本方

法為等體積法或者點(diǎn)到平面的距離公式.

7.點(diǎn)M是直線2x—>+5=°上的動(dòng)點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以°舷為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（

）.

A（0,0）和（-1,1）B.（°，°）和（一2,0

C.（0,°）和（—1,2）D（°，°）和（-2,1）

【正確答案】D

【分析】過點(diǎn)。作°尸垂直于直線—J+5=0,根據(jù)圓的性質(zhì)可得以°河為直徑的圓過

定點(diǎn)。和P,得解.

【詳解】如圖，過點(diǎn)。作°尸垂直于直線2x—>+5=0,垂足為尸,

1

y——x

則以（W為直徑的圓過定點(diǎn)。和尸，易知直線。尸的方程為2,

2x-y+5=0

<]x=-2

聯(lián)立P,解得tv=i,即尸HQ.

所以以。N為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（°，°）和（—2』）.

故選：D

>

X

-----1-----=1—

8.“祖=3”是“橢圓4m的離心率為2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】根據(jù)橢圓4m的離心率為2求出加，進(jìn)而求得答案.

/+y2_]1V4-m_1

【詳解】橢圓4m的離心率為孑，當(dāng)°〈加＜4時(shí)，2萬，得機(jī)=3；

\Jm-4_116

7=---m-——

當(dāng)加〉4時(shí)，7m2,得3.

%2/1

即“機(jī)=3”是，，橢圓4m的離心率為2，，的充分不必要條件.

故選：A.

9.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的

正方體圖案（如圖1）,把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所

示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則點(diǎn)P到平面。GC的距離是（）

圖1圖2圖3

1V2V3

A.2B.2C.2D.1

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量法求解點(diǎn)到面的距離，即可得到結(jié)果.

Q

P，

【詳解】/

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

m.C（0,2,0）,G（0,0,2）,2（1,0,2）,P（2,0,1）

milG2=（l,0,0）,GC=（0,2,-2\CP=（2,-2,1）

火uf

設(shè)平面0GC的一個(gè)法向量為〃=G，，z）,

GQ-n=x=Q

則、GC?拓=2y-2?=0,取z=l,得

\n-CP\_\Q2+l\_42

所以點(diǎn)P到平面0GC的距離是同、歷2

故選：B

10.如圖，已知正方體48co-4與G2的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在正方形

印的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).以下四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

71

ND、PM=—

B.存在點(diǎn)尸滿足2

C.滿足,幺"的點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為4

V2

D,滿足以,。陽的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為4

【正確答案】C

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決此題，對(duì)于A,利用兩個(gè)特殊點(diǎn)求出

尸的值，判斷右在此范圍內(nèi)即可；對(duì)于B,利用向量垂直數(shù)量積等于零解方程即可

求尸點(diǎn)坐標(biāo)；對(duì)于C,D利用向量垂直數(shù)量積等于零可求尸點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)圖形找到

P點(diǎn)的軌跡求長(zhǎng)度即可.

【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則41,0,°),5?！?

3

對(duì)于A,點(diǎn)/關(guān)于平面8cBic1的對(duì)稱點(diǎn)為5”)

此時(shí)……二

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸在點(diǎn).1時(shí),

PM+PD,=CD+QM=1+-=->45

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸在點(diǎn)G時(shí)，此時(shí)XX

所以存在點(diǎn)尸滿足尸"+世=石，所以A正確;

—?1

對(duì)于B1=(I'一L,西=(T,T—),

兀---(,---"■1

ND,PM=—PM?PD]=—x(l—x)+——z(l—z)=0

若2,則2

化簡(jiǎn)得：22，解得［2,即22,

滿足題意，所以B正確；

~AP-(x-\1°i/=(l，1，T)

對(duì)于C,”—2

取3c中點(diǎn)E,84中點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸的軌跡為線段所，長(zhǎng)度為2,所以C錯(cuò)誤;

—?1——?1

MP=(x-l,-,z)0M=(1,—1)

對(duì)于D,

MP-DM=x-X-\-----z=0z=x——

生MP_LD\M}1

右i4

取5尸中點(diǎn)，，中點(diǎn)K,則點(diǎn)P的軌跡為線段〃K,長(zhǎng)度為4,所以D正確.

故選：C.

第二部分(非選擇題，共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.橢圓94的離心率是.

正

【正確答案】3

【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)方程，求出。，b,然后求解c,即可求解離心率.

【詳解】橢圓94的長(zhǎng)半軸為。=3,短半軸為6=2,則半焦距為

所以橢圓的離心率為：ea3.

V5

故答案為3.

本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題.

12.已知直線L(加+2)1+尸1=°,￡5x+(?-2)j+l=0,若/"/￡則實(shí)數(shù)加

的值為

【正確答案】一3

【分析】根據(jù)兩直線平行的條件列式求解即可.

【詳解】若"W則（祖+2）（制—2）-5=0,解得祖=3或相=-3,

當(dāng)機(jī)=3時(shí)，直線4：5x+y+l=0與￡5x+3y+l=0重合，不符合題意；

當(dāng)機(jī)=-3時(shí)，直線＜r+"l=°與/2：5x-5y+l=0,符合題意，

綜上，加=-3

故—3.

13.在正三棱柱“BC—481G中，AB=2,AA'=也,則異面直線“用與8C|所成角的大

小為.

兀

【正確答案】2

【分析】利用異面直線夾角的向量求法建立空間直角坐標(biāo)系計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】分別取BC，BG的中點(diǎn)0,01,連接20,。已，

1

由正三柱性質(zhì)可知40BCgLBC,AO1,OOX

以°為坐標(biāo)原點(diǎn)，04°5°&所在直線分別為X//軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示:

由.=2,說=/可得zgO°）8（°，l，°），片@，1，行）G。，-1，行）,

所以福=/百,1,后）西=（0,-2,行）

。-2+2=0_______

76x76日（Z昂5G）e[0,7i]

兀

故2

14.已知點(diǎn)尸是圓（x-1）+/=1上的動(dòng)點(diǎn)，直線＜3X-4J+7=0；Z2：

3x-4j+ffl=0；記尸到直線4,,2的距離分別為4,42（若9在直線上，則記距離為0）,

（1）4的最大值為；

（2）若當(dāng)點(diǎn)尸在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4+刈為定值，則〃?的取值范圍是

【正確答案】①.3②.（一”「8]

【分析】（1）根據(jù)圓上點(diǎn)到直線的距離最大值為圓心到直線的距離加半徑求解即可;

（2）根據(jù)4+刈為定值，分析得到圓的位置，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求解.

【詳解】（1）圓（X—1）+/=1,圓心（1,0）,半徑為1,

,|3xl-4x0+7|

d=——.=-二2

圓心到直線4的距離/+（—4）,

所以尸到直線4的距離4的最大值為"+1=3；

（2）

當(dāng)機(jī)=7時(shí)，兩直線重合，不符題意；當(dāng)機(jī)時(shí)，直線4,4平行，

若當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4+刈為定值，所以圓在兩平行線之間，此時(shí)直線,2與圓相離，

|3xl-4x0+ml

d=]

所以4+(—4),解得切三2或加W-8,

又因?yàn)楫?dāng)機(jī)三2時(shí)，直線4,,2在圓同側(cè)，不符合題意，所以加4-8,

故3,(-"T

15.伯努利雙紐線(簡(jiǎn)稱雙紐線)是瑞士數(shù)學(xué)家伯努利(1654-1705)在1694年提出的.伯

努利將橢圓的定義作了類比處理，指出是到兩個(gè)定點(diǎn)距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡是雙紐線.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，到定點(diǎn)'J%°),8(氏°)的距離之積為,(。>°)的點(diǎn)的軌跡

X+y)=2aU—>1其形狀類似于符號(hào)00,若點(diǎn)

0(后，%)是軌跡c上一點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①曲線C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；

②聞恒成立；

③曲線C上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過后。；

④當(dāng)Hol="時(shí)，孔取得最大值或最小值.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【正確答案】①②③

【分析】根據(jù)曲線的方程，結(jié)合對(duì)稱性的判定方法，聯(lián)立方程組，以及不等式和三角形面積,

在曲線C上任取一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為“(f-V),

代入曲線C的方程，可知在曲線C上，所以曲線C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，故①正確；

因?yàn)辄c(diǎn)尸（//°）是軌跡C上一點(diǎn)，所以G"/）=2/（x；-/），

因?yàn)?+貨）％0,所以6+以=2/小一）0,即需4片，

所以W4周，故②正確；

因?yàn)槿?/了=2/（X2-/）<2/仁+V）,所以M+rw2a2,

所以J-+V,所以曲線C上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過、傷口，故③正確；

P（xy），呻產(chǎn)［期HPF-sinN*E=］公鳥

因?yàn)镈,所以22,

又|亞卜|巴/="，所以"sinNGPg=2a-|jJ,gpIJo1=fsinZ^<|^

aa兀

一一<70<-NFFF,=2

所以22,當(dāng)2時(shí)等號(hào)成立，故④錯(cuò)誤，

故①②③

方法點(diǎn)睛：本題考查曲線的軌跡及其性質(zhì)的問題，同時(shí)需要結(jié)合解三角形的方法對(duì)所給信息

進(jìn)行辨析.

三、解答題共6小題，共85分.解答題應(yīng)寫出文字說明、驗(yàn)算步驟或證明過程.

16.已知直線/：（22+》+（XT）y-52T=0,XeR.

（1）當(dāng)直線/與直線x+2y=°垂直時(shí)，求義的值；

（2）設(shè)直線/恒過定點(diǎn)尸，求尸的坐標(biāo)；

（3）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)X,直線/與圓”+/=，（'>°）總有公共點(diǎn)，直接寫出廠的取值范

圍.

2=-

【正確答案】（1）4

⑵尸3）

（3）0加

【分析】（1）根據(jù)直線與直線垂直關(guān)系列方程即可求得X的值；

（2）將直線方程轉(zhuǎn)化為—1+'（2X+N-5）=0,列方程組解得定點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（3）根據(jù)直線與圓位置關(guān)系結(jié)合點(diǎn)與圓位置關(guān)系求解即可.

【小問1詳解】

當(dāng)直線/：（2，+l）x+（4T“-54T=0與直線x+2y=0垂直時(shí)，

可得（24+l）xl+（"l）x2=4"l=0,解得/=月

【小問2詳解】

直線/：（2，+1卜+（2—1”―54-1=0方程整理得x-歹-l+/l（2x+y-5）=0,

x-y-l=0,fx=2,

令12x+y-5=0,解得卜=1,

即直線/恒過定點(diǎn)00，1）；

【小問3詳解】

對(duì)任意的實(shí)數(shù)"直線/與圓一+V=總有公共點(diǎn)，

則直線I恒過定點(diǎn)00，1）在圓上或者圓內(nèi)，貝/°日=6""

即止6

17.已知℃經(jīng)過點(diǎn)/（°'—2）,8（3,1）,并且圓心c在直線V=2x-8上，

（1）求℃的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)P。*）的直線/與。。交于M,N兩點(diǎn)，若Ml=4后，求/的方程.

【正確答案】⑴（a3）+@+2）2=9

⑵》=2或3x+4y-6=0.

【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)確定線段4s的垂直平分線方程，從而聯(lián)立直線可得圓心坐

標(biāo)，根據(jù)圓的定義得半徑，從而得圓的方程；

（2）根據(jù)直線與圓相交弦長(zhǎng)公式，分直線斜率存在與不存在兩種情況驗(yàn)證求解直線方程即

可.

【小問1詳解】

因?yàn)椋?），（’），則e8=1,且線段中點(diǎn)為1萬，

1_（3）

yH—=_x—

則線段的垂直平分線的斜率為-1,故其方程為2I2人即x+y-1=°,

由圓的對(duì)稱性知點(diǎn)C在N8的垂直平分線上，

x+y-l=O,卜=3,

因此聯(lián)立〔N=2%-8,解得卜=-2,即點(diǎn)C（3,-2）,

又因?yàn)椤?河=3,所以圓c：（a3）2+3+2）2=9.

【小問2詳解】

圓心0（3，一2）,半徑卜=3

當(dāng)4的斜率不存在時(shí)，4：x=2,則圓心C到直線4的距離為d=l,

22

山H工口一□十JZ\MN\=2y1r—d=4A/2田口目古土.

此時(shí)相父弦長(zhǎng)??,滿足題意；

當(dāng)4的斜率存在時(shí)，設(shè)4：”左（%-2）,即履一y—2左=0,

因?yàn)橄嘟幌议L(zhǎng)網(wǎng)小2獷下=4/

公*Z科=1-

所以C到4的距離為Jl+r，解得4,

此時(shí)，直線4：3X+4.V-6=0,

綜上，直線4的方程為x=2或3x+4y—6=0.

22

18.已知橢圓CA*"叫的左、右焦點(diǎn)分別為片（5°）和巴8°）長(zhǎng)

軸長(zhǎng)為4.

（1）求橢圓C的方程;

⑵設(shè)尸為橢圓C上一點(diǎn)，“（1°）.若存在實(shí)數(shù)4使得阿㈤叫=川尸叫,求X的取

值范圍.

—+y2=l

【正確答案】（1）4

⑵L3」.

【分析】（1）根據(jù)橢圓處“。的關(guān)系列方程組求得凡4°的值，即可得橢圓方程;

（2）根據(jù)橢圓的定義可得附㈤%=%

再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式結(jié)合點(diǎn)在橢圓上求解

1PA4的取值范圍，即可得所求.

【小問1詳解】

c=A/3,a=2,

<2a=4,<Z）=l,

a1=b2+c2,-J3

由題知〔解得〔c73,

X22一

---by=1

所以，C的方程為4'

【小問2詳解】

由橢圓的定義可知附㈤%=%

O\MFpx

x；2"-工

設(shè)點(diǎn)p（%y。），其中4+%i,

則4,

22

PM=（x0-l）+^=jx（'2/+2=+：

所以4

因?yàn)椤?Wx°W2,所以§引2<9—<|PMl<3

，即311

尸河=e

,%=-2時(shí),1尸M=3,

當(dāng)且僅當(dāng)3時(shí)，3

因?yàn)镮尸用+|尸引二川尸閭，則\PM\,所以

g2灰

綜上所述，幾的取值范圍是L3」.

19.如圖，在三棱臺(tái)MC-45c中，若平面2858-58=ZC=Z4=2

4G=1，N為45中點(diǎn)，M為棱BC上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）.

（1）若河為8C的中點(diǎn)，求證：4N"平面

V6

（2）是否存在點(diǎn)M,使得平面與平面nCG4所成角的余弦值為6?若存在，求

出3M長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【正確答案】（1）證明見解析

272

（2）3

【分析】（1）利用三角形中位線定理，結(jié)合平行四邊形的判定定理和性質(zhì)、線面平行的判定

定理進(jìn)行證明即可；

（2）利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

連接2W,

因?yàn)镹為48中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，

NM//AC,NM=-AC

所以2,

因?yàn)?8C—481G是正三棱臺(tái)，4G=1,/C=2,

AC.//AC,AC,=-AC

所以2,

NM//A^NM=-AlCl

于是有2

因此四邊形NMG4是平行四邊形,

所以4N//qw，4Na平面GM4,qwu平面G兒勿

所以4N//平面GM4

【小問2詳解】

V6

假設(shè)存在點(diǎn)"，使得平面GM"與平面/CC/1所成角的余弦值為6,

因?yàn)?/，平面ABC,AB,AC平面ABC,

所以4幺，48,44]L/C,而48INC,

所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

A(0,0,0),G(0,1,2),5(2,0,0),C(0,2,0),M(x,y,z)

f

^W=25C(2e(0,l))^(x-2,j,z)=2(-2,2,0)^M(2-22,22,0)

設(shè)平面CM的法向量為祖=3'，c),

AQ=(0,1,2),AM=(2-22,22,0,)

m-AQ=b+2c=0_124-

<___.=^>m=----,-2,1

叱、-m-AM=(2-2A)a+2Ab=Q11一彳

所以有i、7

因?yàn)镹/LAS,AB1AC,AAiC\AC=A,AAl,AC=A

所以28,平面"G4,所以平面NCG4的法向量為/8=Q°，°),

42

m-AB\底一匚I

cos(m.AB

m\'\AB\6JBI+(2)2+I2X26

所以

2=-M

解得3,2=—1舍去，即

20.平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)M到點(diǎn)“(°」)的距離比它到X軸的距離多1,記點(diǎn)〃的軌

跡為C.

(1)求軌跡。的方程;

(2)設(shè)斜率為左的直線/過定點(diǎn)0°,