2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路：點到平面的距離（學(xué)生版+解析）

專題04點到平面的距離(典型題型歸類訓(xùn)練)

目錄

一、必備秘籍.............................................1

二、典型題型.............................................2

題型一：等體積法求點到平面的距離......................2

題型二：利用向量法求點到平面的距離....................4

三、專項訓(xùn)練.............................................6

一、必備秘籍

1、等體積法求點到平面的距離

(1)當(dāng)點到面的距離那條垂線不好作或找時，利用等體積法可以間接求點到面的距離，從

而快速解決體積問題，是一種常用數(shù)學(xué)思維方法

(2)在用變換頂點求體積時，變換頂點的原則是能在圖象中直接找到求體積所用的高，有

時單一靠棱錐四個頂點之間來變換頂點無法達(dá)到目的時，還可以利用平行關(guān)系(線面平行,

面面平行)轉(zhuǎn)換頂點，如當(dāng)線面平行時，線上任意一點到平面的距離是相等的，同理面面平

行也可以變換頂點

2、利用向量法求點到平面的距離

如圖，己知平面a的法向量為“，A是平面a內(nèi)的定點，P是平面a外一點.過點尸作平面

a的垂線/,交平面a于點。，則"是直線/的方向向量，且點尸到平面a的距離就是AP

〃AP,nIAPenI

在直線/上的投影向量QP的長度.PQ=\AP—1=|---------|=--------

\n\\n\\n\

二、典型題型

題型一：等體積法求點到平面的距離

1.(23-24高三下?陜西西安?期中)如圖，在圓臺。。中，4AB4為軸截面，AB=2A4=4,

=60。，C為下底面圓周上一點，尸為下底面圓。內(nèi)一點，4E垂直下底面圓。于點E,

Z.COF=AEFO.

(I)求證：平面O0C〃平面AE產(chǎn)；

⑵若為等邊三角形，求點E到平面AQ歹的距離.

2.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)如圖，在四棱臺ABCD-4耳GA中，底面四邊形ABCD為

菱形，ZABCMGOO.ABMZM：2A耳，A4,‘平面ABCD.

(1)證明：BD1CQ.

⑵若四棱臺MG.的體積為受’求點A到平面“QQ的距離.

71

3.(2024?四川?模擬預(yù)測)如圖，四棱錐S-AB8中，底面ABCO為菱形，ZDAB=-,側(cè)

面_SCD是邊長為4的正三角形，SA=25/10.

A—B

(1)證明：平面SCD_L平面A8CD；

(2)求點A到平面SBC的距離.

4.(2024高三?上海?專題練習(xí))如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA^WABCD,ABHCD,

PA=AB=2CD=2,ZADC=90,分別為尸員AB的中點.

DC

⑴求證：CE〃平面PAO；

⑵求點B到平面PCF的距離.

題型二：利用向量法求點到平面的距離

1.(23-24高三上?山東日照?期中)如圖，尸為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，AC為

底面直徑，△ABD為底面圓。的內(nèi)接正三角形，點E在母線尸C上，且AB=AE=3,CE=6

(1)求證：平面平面板＞；

(2)若點M為線段尸0上的動點，當(dāng)直線DM與平面ABE所成角的正弦值最大時，求此時點M

到平面ME的距離.

2.(23-24高二上?山東濟(jì)寧?期中)如圖所示，正方體。4a的棱長為3,動點M

在底面正方形。由C內(nèi)，且A7與兩個定點O,A的距離之比為

O\___________c}

⑴求動點”的軌跡方程，并說明軌跡的形狀;

⑵求動點M到平面QAC的距離的取值范圍.

3.(2023?山東濰坊?三模)如圖，P為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AC為底面直徑,

為底面圓。的內(nèi)接正三角形，且邊長為6,點E在母線尸C上，且AE=VLCE=1.

(2)求證：平面BED_L平面ABD

⑶若點"為線段尸。上的動點.當(dāng)直線DM與平面⑷汨所成角的正弦值最大時，求此時點

M到平面ABE的距離.

4.(23-24高三下?江蘇連云港?階段練習(xí))如圖，直四棱柱ABC。-44GA的底面為平行

四邊形，河,^^分別為4員。2的中點.

(1)證明：平面ABN；

⑵若底面ABCD為矩形，/W=2AD=4,異面直線AM與AN所成角的余弦值為萼，求

。到平面A的距離.

三、專項訓(xùn)練

L(2024?青海?模擬預(yù)測)如圖，在三棱錐尸-ABC中，AC,平面E、P分別為3C、

PC的中點，S.PA=AC=2,AB=1,EF=8.

(1)證明：平面PAC.

⑵求C到平面AEF的距離.

2.(23-24高二下?上海金山?期中)如圖，在三棱柱ABC-中，底面ABC是以AC為

斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面AAQC為菱形，點A在底面上的投影為AC的中點。，且

AB=2.

B

⑴求證：BD±CC,；

(2)求點C到側(cè)面AA.B.B的距離.

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A3CD為矩形，側(cè)面

為正三角形，AD=2,AB=3,平面R4T），平面ABCQ,E為棱尸5上一點（不與P,2重

合），平面ADE交棱PC于點尸.

（2）若二面角E-AC-8的余弦值為主畫，求點2到平面AEC的距離.

20

4.（23-24高二下?廣東廣州?期中）如圖，三棱柱ABC-所有棱長均為2,/<%2=60。,

側(cè)面ACGA與底面ABC垂直，D、E分別是線段AC、CQ的中點.

（1）求證：AtC±BE.

（2）若點F為棱4cl上靠近用的三等分點，求點F到平面BDE的距離.

7.(2024?全國?模擬預(yù)測)如圖，在直四棱柱ABC。-中，底面ABCD是直角梯形,

AB±BC,AD||BC,S_AB=BC=BBX=2AD=2.

(1)求證：A4,平面ABC；

(2)求點8到平面AC。的距離.

8.(202小陜西西安?模擬預(yù)測)在長方體ABC。-4月中，AD=^AB=1,E在線段CD

上，且滿足DE=EC.

(1)求證：平面EBBX1平面AEAt；

(2)若異面直線與DCt所成角的余弦值為半，求到平面AED｝的距離.

9.(23-24高三下?陜西安康?階段練習(xí))如圖，在多面體ABCDE中，A,B,E,。四點共面,

DA_L平面ABC,AB=AC=2,DA=—,EB=43,BE±DE,F為8C的中點.

2

(1)求證：平面平面BCE；

(2)求點E到平面ABC的距離.

10.(21-22高二上?北京?期中)在如圖所示的幾何體中，四邊形A3c?為正方形，AFBE,

AF_L平面A8CD,且AB=3E=2AF=2.

(1)求證：AC//平面DEF；

⑵求直線AC與平面CDE所成角的大小；

⑶求點A到平面CDE的距離.

專題04點到平面的距離（典型題型歸類訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍.............................................1

二、典型題型.............................................2

題型一：等體積法求點到平面的距離......................2

題型二：利用向量法求點到平面的距離....................4

三、專項訓(xùn)練.............................................6

一、必備秘籍

1、等體積法求點到平面的距離

（1）當(dāng)點到面的距離那條垂線不好作或找時，利用等體積法可以間接求點到面的距離，從

而快速解決體積問題，是一種常用數(shù)學(xué)思維方法

（2）在用變換頂點求體積時，變換頂點的原則是能在圖象中直接找到求體積所用的高，有

時單一靠棱錐四個頂點之間來變換頂點無法達(dá)到目的時，還可以利用平行關(guān)系（線面平行，

面面平行）轉(zhuǎn)換頂點，如當(dāng)線面平行時，線上任意一點到平面的距離是相等的，同理面面平

行也可以變換頂點

2、利用向量法求點到平面的距離

如圖，已知平面a的法向量為九，A是平面a內(nèi)的定點，P是平面a外一點.過點尸作平面

&的垂線/,交平面”于點。，則"是直線/的方向向量，且點尸到平面a的距離就是AP

在直線/上的投影向量QP的長度.PQ=\AP—1=|-------1='---------

二、典型題型

題型一：等體積法求點到平面的距離

1.(23-24高三下?陜西西安?期中)如圖，在圓臺0Q中，4AB與為軸截面，AB=2AiBl=4,

/AAB=6O°,C為下底面圓周上一點，P為下底面圓。內(nèi)一點，4E垂直下底面圓。于點E,

NCOF=ZEFO.

(1)求證：平面00cli平面AEF；

(2)若為等邊三角形，求點E到平面4。P的距離.

【答案】⑴證明見解析；

(2)半.

【分析1(1)依題意可得EF//CO,即可得到EFH平面O0C,再由圓臺的性質(zhì)得到\EHOfl,

即可得到4石〃平面Q0C,從而得證；

(2)由/田0=%w利用等體積法求出點E到平面耳。尸的距離.

【詳解】(1)因為NCOF=NEFO,所以EF//CO,

又屈F<Z平面O0C,COu平面O0C,所以EF〃平面O0C.

因為AE垂直下底面圓。于點E,。。垂直下底面圓。于點O,所以AE//。。，

又AEcz平面OQC,OQu平面O0C,

故AE〃平面OQC.

又AEcEF=E,AjE,￡771^平面4石廠，

所以平面O.OCH平面AtEF.

(2)在等腰梯形中，易知AE=OE=1,所以AE=AEtan6(T=0.

所以！-EFOVAE-SAEFO=；.

易知4尸="2,OF=1,所以S*=；xlxj2mL

設(shè)點E到平面\OF的距離為h,

因為！*。=%一48，所以％.4。廠=；，

所以〃=叵，即點E到平面4。尸的距離為姮.

55

2.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)如圖，在四棱臺ABC。-44GA中，底面四邊形ABCD為

菱形，ZABC=60°,AB=2AA[=2\BX,平面ABCD.

_______JDI

(，1)證明：BD±CQ；

⑵若四棱臺ABC。-A4G。的體積為次1,求點A到平面CGRO的距離.

3

【答案】⑴證明見解析

(2)中

7

【分析】⑴由線面垂直的性質(zhì)得到A4J網(wǎng)＞,由菱形的性質(zhì)得到AC工班＞,即可得到切(1

平面ACC0,即可得證；

(2)設(shè)AB=2A4[=2A4=2a(a＞0),由棱臺的體積公式求出“，取AD的中點",連接

RM、CM,即可得到平面ABCD,再由匕一師利用等體積法計算可得.

【詳解】⑴在四棱臺ABCD-aBCQ中，AVCG延長后必交于一點，故A,C，G，A共

面，

因為441_L平面ABCD,BDu平面A3CD,

所以44,J_B。，

連接AC,AC，因為底面四邊形ABCD為菱形，故AC13D,

AAjcAC=AAA^ACu平面ACGA,

所以3。工平面ACGA，

因為CGu平面ACC0,所以Bmcq.

(2)設(shè)筋=2然=244=24(4>0),又ZABC=60。，

所以6L2s_=2xlx2ax2?xsin60"=2^，

貝！JS.RCn=—SABCD=

所以SA。。='x4x4x^^二46，貝1J匕CDO=%ACD--x4\/3x2=,

AZ7C22、A—C￡z￡z]±7]—ACL/3，3

取AD的中點M,連接RM、CM,

則4R//AM且AR=AM,所以4RMA為平行四邊形，所以AA//RM,

又AX】_L平面ABCD,所以DiM±平面ABCD,

又MCu平面A3CD,所以。

因為ABCD為菱形且NABC=60。，所以AWC為等邊三角形，

所以CM=J4?_22=2?，皿=’(4一2丫+2,=2應(yīng),1M=2,

所以CR=商+0廚=4,

所以S.c皿=gx2及小_(用=2幣,

又匕—CDD]=%「ACD，

設(shè)點A到平面CG2。的距離為d,

所以gd-Sc皿則;dx2近=；x2x4石，

解得&=311,即點A到平面CCQQ的距離為WH.

77

TT

3.(2024?四川?模擬預(yù)測)如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為菱形，ZDAB=-,側(cè)

面LSCD是邊長為4的正三角形，SA=2V10.

(1)證明：平面SCD_L平面ABCD；

⑵求點A到平面SBC的距離.

【答案】⑴證明見解析；

(2呼.

【分析】(1)取C。中點E,通過證明SE，A￡,SE，CD,即可由線線垂直證明線面垂直;

(2)根據(jù)匕_ABC=5-SBC，結(jié)合S3c的面積，即可由等體積法求得結(jié)果.

TT

易得SE_LCD,BELCD,因為AB=3C=4,ZDAB=-,

所以CE=2,ZBCD=-,NABE=B,故BE=SE=2?,

32

5L.AE1=AB-+BE2=28,SA=2710,

所以SA?=A￡2+s￡2,故在_LSE,

因為AEu平面ABC。，CDu平面ABC￡>,AEcCD=E,

所以SEJL平面ABC。，又因為SEu平面SCD,

所以平面SCD1平面ABCD.

(2)由(1)知SE_L平面ABCD,且SE=20,

在，ASC中，AB=BC=4,

所以5AAsc=gABxBCxsin/ABC=（x4x4xsing=45/^,

故匕TBC/X%BCXSE=M8'2者=8-

在ASBC中，SC=BC=4,SB=dsE?+BE2=25

所以SB邊上的高〃=.一（府=屈,

所以％sBc=gx2&xVIU=2后.

設(shè)點A到平面SBC的距離為d,

則匕一SBC=%.ABC，即gxS^cXd=8,解得』=?,

所以點A到平面SBC的距離為生叵.

5

4.（2024高三?上海?專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，24,平面A3CD,AB//CD,

PA=AB=2CD=2,/ADC=90,瓦尸分別為尸8,A5的中點.

(1)求證：CE〃平面

(2)求點B到平面PCF的距離.

【答案】⑴證明見解析

(2)半

【分析】(1)根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，轉(zhuǎn)化為證明平面CE尸//平面B4D,即可證明線

面平行；

(2)方法一，利用等體積轉(zhuǎn)化%即可求點8到平面尸3的距離；方法二，

同樣利用等體積轉(zhuǎn)化匕＞-AFC=匕”“，即可求解.

【詳解】(1)證明連接所,

E

DC

,:E,F分別為PB,AB的中點，，E尸〃總，

,直線斯不在平面PAD內(nèi)，24匚平面夫40,二￡7;7/平面巴4。，

?，-AB//CD,AB=2CD,AFI/CD,且AF=C￡>.

二四邊形ADCF為平行四邊形，即CF〃AD,

,直線CP不在平面PAD內(nèi)，ADu平面PAD,，Cr〃平面PAD,

EFCF=F,EF,CFu平面EFC,

二平面A4D7平面EFC,CEu平面￡FC,則CE〃平面PAD.

（2）方法1：設(shè)5到平面PCF的距離為心

因為PA_L平面ABC。，所以P4LCF,

由于CD〃AF,CD=AF,所以四邊形ADCP是平行四邊形，

由于ZADC=90,所以CF1AB,由于ABcPA=A,A3,P4u平面PAB,

所以CF_L平面PAB,而P產(chǎn)u平面PAB,則CFJLPP,

由VB-PCF=V<?-PBF得3XS.PCFX/?=§xSPBFxCF,

即h-SPBFXCF_]BF義PAXCF_BFxPA_1x2_2小

22

S.PCF—CFxPFPFVl+25

2

方法2：ZADC=90,AB//CD,AB±AD,CF1AB,

又PA_L平面A3CD,二PA1CF,又AB=A,平面上鉆，

CPI■平面R4B,而尸尸u平面E4B,，CF1PF.

CF=x,貝ISA”=；xlxx=：,SPCF=—x>j5xx=—x,

2222

設(shè)點A到平面尸C尸的距離為心由VpYFC=%“FC，

x—x2=—x^-x/z,貝!Jh=^^~.

32325

???點/為A3的中點，.??點B到平面PCF的距離等于點A到平面PCF的距離為乎.

題型二：利用向量法求點到平面的距離

1.（23-24高三上?山東日照?期中）如圖，尸為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，AC為

（1）求證：平面平面板＞；

（2）若點M為線段尸0上的動點，當(dāng)直線DM與平面ABE所成角的正弦值最大時，求此時點M

到平面ABE的距離.

【答案】⑴證明見解析

⑵也.

14

【分析】

（1）利用余弦定理與勾股定理推得/石，PC,再利用線面垂直與面面垂直的判定定理與性

質(zhì)定理即可得證;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量表示得到關(guān)于4的表達(dá)式，從而求得4的值,

進(jìn)而利用點面距離公式即可得解.

【詳解】（1）

由圓錐的性質(zhì)可知尸O人底面

因為ACu平面所以尸

又因為是底面圓的內(nèi)接正三角形，由33,可得小半焉"C,

解得AC=2g\又AE=3,CE=6,

所以AC?=隹2+“2,即^/^。=90。，AELPC,

所以在RtAAEC中，cosNEAC—————。產(chǎn)=，

AC2V32

在△回尸中，由余弦定理：

EF2=AE2+AF2-2AE-AF-COSZEAF=9+--2-3----=~,

4224

所以E尸2+Ab2=A￡2,故￡7?，AC.

因為PO工底面ABD,尸Ou面PAC,所以平面R4CL平面ABD,

又EFu面PAC,AC=面PAC「,面ABD,EF1AC,故所上面ABD,

又EFu平面5ED,所以平面BED_L平面ABD；

(2)

易知PO=2EF=3,以點歹為坐標(biāo)原點，F(xiàn)A,FB,用所在直線分別為x軸，y軸，z軸,

o，V°],E0,0,|

,P0,3,O,0,0,

<o/7、、

33百03當(dāng)，麗uuu=(0,0,3),

所以A5=-^,-,0,AE=,DO=

22〒

I777

,n303八

AB-n=-----x+—y=0

22

設(shè)平面ABE的法向量為"=(x,y,z),則＜

4"3石上3n

22

令x=l,貝！|〃=(1,66),

，［，32，

^OM=2OP(0<A<l),可得。M=QO+OM=

乙7

n-DM|3后+2國

設(shè)直線DM與平面ME所成的角為0,則sin6=cos(n,DM

Z7||DMV7xj9—+3'

9萬+124+4

即sin26=

7（322+l）If

令尸Q，T?！唬?

12x+l4

則49

11441

XH--------F

12上16

12

49

當(dāng)且僅當(dāng)x+3=」半，即x=1時，等號成立，

12尤J2

12

無+

所以當(dāng)工=:1時，＞二1f221有最大值4,

23%+1

"3、

即當(dāng)4=51時，sin。的最大值為1,此時點M^-,0,-

所以MA=［百,0,-|

所以點M到平面ABE的距離_叵,

開一布F

故當(dāng)直線DM與平面ABE所成角的正弦值最大時，點M到平面ABE的距離為叵.

14

2.（23-24高二上?山東濟(jì)寧?期中）如圖所示，正方體4G的棱長為3,動點出

在底面正方形Q4BC內(nèi)，且M與兩個定點。，A的距離之比為

⑴求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀;

(2)求動點M到平面AC的距離的取值范圍.

【答案】①見解析

⑺4右-2n<心2白

(2)--------------<a<------

33

【分析】

(1)建立平面直角坐標(biāo)系根據(jù)平面上軌跡的求法求解；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點面距離，再由三角代換求取值范圍即可.

【詳解】(1)以。為坐標(biāo)原點，0Aoe所在直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖,

設(shè)M(x,y)(JC>0,y>0),

MO1zb4+>2

由立方=彳，得/,。

2

化簡得丁+>2+2苫-3=0,

即(x+l)2+y2=4(04x41,04y4后),

故曲線C是以(T,0)為圓心，2為半徑的圓在正方形。LBC內(nèi)一段圓弧以"

(2)以。為坐標(biāo)原點，OAOCO。所在直線分別為x,%z軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖,

則4(3,0,0),C(0,3,0),&(0,0,3),

所以AC=(-3,3,0),AO1=(-3,0,3),

設(shè)平面QAC的法向量附=(x,y,z),

n?AC=-3x+3y=0

則-令％=1,貝Uv=i,z=l,故〃=(LLD,

h?AO】=-3x+32=0

由(1)可設(shè)M(a,b,O),其中(^+葉+/=4(0WaWl,0W6W也),

貝ljAM=("3,6,0),

設(shè)M到平面QAC的距離為d，

\n-AM\\a-3+b\3-(a+Z?)

TT

由(1)可令a+l=2cose,Z?=2sine,其中

則〃+〃=2cos6+2sin0—1=2后sin(8+-1,

因為凡we+工(辦，所以Xiwsin[o+巴]Wl,

44122I4)

i—.?4A/3—2A/63—(a+b)2A/3

即Rn14a+642近一1，所以^-----<—

3y/33

故迪F后巫

33

【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問中求圓弧上動點到平面距離范圍時，首先利用向量法表示出動

點到面的距離是解題的第一個關(guān)鍵點，再根據(jù)圓的性質(zhì)進(jìn)行三角代換求距離的取值范圍是第

二個關(guān)鍵點，本題難度較大，屬于難題.

3.(2023?山東濰坊?三模)如圖，尸為圓錐的頂點，0是圓錐底面的圓心，AC為底面直徑，

為底面圓。的內(nèi)接正三角形，且邊長為有，點E在母線PC上，且AE=VLCE=1.

(2)求證：平面3￡D_L平面板>

⑶若點"為線段尸。上的動點.當(dāng)直線與平面4組所成角的正弦值最大時，求此時點

V到平面ABE的距離.

【答案】⑴證明見解析

(2)證明見解析

喈

【分析】（1）設(shè)AC交8。于點/，連接EP,利用三角形相似證得跖工AC,從而證得

PO//EF,進(jìn)而證得直線尸。/平面BDE；

（2）通過平面證得上平面所以平面3即_1_平面MD；

（3）建立空間直角坐標(biāo)系，^OM=20P（0<2<1）,通過向量和平面ABE的法向量建

立直線八暇與平面梃所成角的正弦值的關(guān)系式，并利用基本不等式，即可求最值.

【詳解】（1）如圖，設(shè)AC交班）于點/，連接班由圓錐的性質(zhì)可知PO1底面加，

3

又因為是底面圓的內(nèi)接正三角形，由AO=g,可得A/=],

AD

=AC解得AC=2，

sin60°9

又AE=6,CE=1,所以AC?=A￡；2+C￡2,即ZA￡C=90。，AEYPC,

又因為竺=竺=正，所以—ACES/ARE,

ACAE2

所以/AFE=NAEC=90。，即EV1AC,

又尸O,AC,EFu平面PAC,直線EF〃尸O,尸OU平面比）E,EFu平面BDE,

所以直線尸。，平面也定.

（2）因為PO〃E￡P(guān)O_L平面ABD,所以￡F工平面ABD,

又EFu平面3即，所以平面BED_L平面戰(zhàn)）；

（3）易知PO=2EF=6,以點P為坐標(biāo)原點，E4,FB,FE所在直線分別為％軸，V軸，z

軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則嗚,0,0

所以42=

U2424

設(shè)平面ABE的法向量為"=(x,y,z),

AB,n=—x+y=0

則22令％=1,則〃=（l,g,石）,

3

AE?ri——x+z=0

t22

設(shè)OM=XOP(OW2〈1),可得。M=OO+OM=—,732

設(shè)直線ZMf與平面71BE所成的角為0,

ri-DM|32+2|

則sin0=cos（",DM

,7IIDMg，3J+l'

9A2+122+41<122+1

BPsin23==-3+

7（322+l）73/l2+lJ，

12x+l

令>=

3X2+1

11

x----XH------

12x+l4

y=---------=412二412

則3x2+lx2+；11~49

x-\----------J+N-1

121214

12J6

12

<=4

49、

144￡

16

Xd------

127

12x+1

當(dāng)且僅當(dāng)X時,等號成立'所以當(dāng)x時,y=巖三有最大值4,

3%+1

即當(dāng)幾=1時，sin。的最大值為1,此時點“

2

所以M一A=（1,0,一⑻十，

所以點加到平面ABE的距離八阿J"'-⑹.近，

斤-丁-瓦

故當(dāng)直線DM與平面ABE所成角的正弦值最大時，點M到平面ABE的距離為五.

14

4.（23-24高三下?江蘇連云港?階段練習(xí)）如圖，直四棱柱A3C。-4月￡。的底面為平行

四邊形，出,^^分別為4艮。口的中點.

（1）證明：。0//平面42"；

（2）若底面A3C。為矩形，AB^2AD^4,異面直線ZM/與AN所成角的余弦值為巫，求

5

。到平面ABN的距離.

【答案】⑴證明見解析

⑵當(dāng)

3

【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證明；

（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由向量的夾角得異面直線所成的角求得AA的長，

然后由空間向量法求點面距.

【詳解】（1）連接A與，交48于點E,連接NE,ME,

則E為4B的中點,

因為M為A8的中點，所以ME7/AA，且=

因為N為。A的中點，所以zw//4幻次二:①，

所以ME//DN,豆ME=DN,

所以四邊形EMDN為平行四邊形，

所以EN//DM,

又因為OWN平面ABMENu平面48N,

所以m///平面ABN；

(2)由題意(1)及幾何知識得，

在直四棱柱ABCD-ABIGR中，AB=2AD=4,

AB,AD,A4,兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，分別以AB,仞,招所在直線為x軸、y軸、軸建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)朋=2t(t>0),

則3(4,0,0),0(0,2,0),A(0，°，2r),M(2,0,0),N(0,2j),4(4,0,2t),

故DM=(2,-2,0),AN=(0,2,V),

設(shè)異面直線DM與AN所成角為。，

貝Ucos0=1|cosDM,\N1\=J"：；[=/%=-7=^=萼,

阿也叫曲2+(一2?百+5VW5

解得：t=l,

故A(0,0,2),N(0,2,1),。(0,2,0)

則\B=(4,0,-2),AN=(0,2,-1),BD=(T,2,0)

設(shè)平面ABN的一個法向量為〃=(x,y,z),

。到平面ABN的距離為"，

A^B-n=0,(4x—2z=0,,、

所以—即cc取z=2,得力=1,1,2).

A,N-n=0,[2y-z=0,

|BD-n|_|-4xl+lx2+0x2|_而

所以d=

\n\jF+F+22I

即耳到平面4BN的距離為逅.

3

三、專項訓(xùn)練

1.（2024?青海?模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐尸-ABC中，AC,平面E、尸分別為3C、

PC的中點，S.PA=AC=2,AB=1,EF=—.

2

（1）證明：平面PAC.

⑵求C到平面AEF的距離.

【答案】⑴證明見解析

⑵*

3

【分析】（1）先利用勾股定理得出再利用AC,平面PAB,證A5人AC,最后

根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明平面PAC；'

（2）根據(jù)已知條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法求距離即可.

【詳解】（1）因為E、b分別為8C、PC的中點，所以EF為PBC的中位線，

所以PB//EF,PB=1EF,因為￡F=或，所以良=后；

2

在，中，PA=2,AB=l,PBf，所以+四2=心2,

所以/B4B=90。，即

因為AC_L平面PAB,ASu平面PAB,所以ABSAC；

又上4u平面PAC,ACu平面PAC,PAAC=A,所以ABJ,平面PAC.

(2)

由（1）可知AB、AC、AP兩兩垂直，

建立如圖所示分別以AB、AC、針為％、V、z軸的空間直角坐標(biāo)系,

4（0,0,0）,EQ，1，。]，F(xiàn)（0,1,1）,C（0,2,0）,

AC=（0,2,0）,=AF=（O,l,l）,

/、AEn=0

設(shè)平面的'的法向量為力=（4如4）,則有，

AF?〃=0

即+令％=1,則占=-2,z1=-l,所以〃

%+4=0

IAC-n|o

設(shè)C到平面但的距離為d,貝”[=^^=彳=也.

\n\V63

2.（23-24高二下?上海金山?期中）如圖，在三棱柱ABC-A81G中，底面A3C是以AC為

斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面A41cle為菱形，點4在底面上的投影為AC的中點D,且

AB=2.

⑴求證：BD±CCl；

（2）求點C到側(cè)面AA.B.B的距離.

【答案】⑴證明見解析

（2）組

7

【分析】（1）利用線面垂直證明線線垂直即可;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.

【詳解】（]）由點4在底面A3C上的投影為AC的中點。，知4。，平面ABC,

又BDu平面ABC,

ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，」.AC，8D,

A。cAC=D，Ar）,ACu平面ACGA,二臺/），平面ACCIA,

CGU平面ACC[4,BD1CCj.

（2）A,D±AC,。是AC中點，側(cè)面A41GC是菱形，，AC=4A=AC,

一ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，AB=2,

：.DB=DA=DC=y/i，D%=屈,

由（1）知直線D3,DC,兩兩垂直，

.??以。為坐標(biāo)原點，DB,DC,所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖，

則。(0,0,0),A(0,-后,0),可志,0,0),C(0,也,0),4(0,0,

則AB=(0,應(yīng),0),A4=(0,72,76),AC=(0,2A/2,0),

設(shè)平面AA.B.B的一個法向量為n=(x,y,z),

n-AB=A/2X+y/2y=0(「「\

則「/，取Z=l,得”=返,一6,1

n-A4j=\J2y+J6z=0

|AC-/?|2A/4^

???點C到平面的距離為：d=_丁=￥=￡?.

AC|.|/7V77

3.（2024高三?全國,專題練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A3CD為矩形，側(cè)面24。

為正三角形，AD=2,AB=3,平面PAD_L平面ABCD,E為棱產(chǎn)8上一點（不與P,2重

合），平面ADE交棱PC于點E

p

⑴求證：AD//EF；

⑵若二面角E-AC-5的余弦值為之叵,求點8到平面A￡C的距離.

【答案】⑴證明見解析

⑺3M

10

【分析】(1)由線面平行的性質(zhì)定理證明線線平行；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求二面角確定E點位置，再由空間向

量法求點面距.

【詳解】⑴證明：因為四邊形A3CD為矩形，所以AD//BC.

又ADU平面PBC,3。匚平面尸3(7,

所以AD//平面P3C.

又平面E?Cc平面AEFD=￡F,ADu平面AEFD,

所以AD//EF.

(2)如圖，取的中點O,連接P。，取3C的中點G,連接。G,則OGLAD.

因為側(cè)面PAD為正三角形，所以尸O_LA。.

因為平面R4Z)_L平面ABCD,平面PAOc平面ABCD=AD,尸Ou平面PAD,所以PO工

平面A5CD

又OGu平面ABCD,所以尸O_LOG,

以。為坐標(biāo)原點，OAOG,。尸所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖,

因為AD=2,且側(cè)面PAD為正三角形，所以20=6.

又鉆=3,所以A(l,0,0),8(1,3,0),C(-l,3,0),P(0,0,退)

AB=(0,3,0),PB=(1,3,一道),AP=(-1,0,43),AC=(-2,3,0),

設(shè)PE=fPB，顯然fe(0」)，

所以AE=A尸+PE=AP+/PB=(-1,0,g)+*1,3,-73)=(/-1,3t,6-8),

設(shè)平面AEC的一個法向量為機(jī)=(x,y,z),

則m-ML=(t-l)x+3ty+(y/3--j3t)z=0

m?AC=—2x+3y=0

取x=3得y=2,z=?^,則)=(3,2,迫絲3),

取平面BAC一個法向量為〃=(0,0,1),

石(31)

3屈.._,(3f-l)22

?It-1B

則COSW=＞旨==三7,化間付EF=9'斛將'二屋

所以加=(3,2,-36)，所以AE=(-g,2,

1ni

BE=AE-AB=(--,2^)~(0,3,0)=(--,-1,

BErm|-1-2-3|_3A/T0

所以點B到平面詆的距離為一

\m\A/9+4+2710

4.(23-24高二下?廣東廣州?期中)如圖，三棱柱ABC-AqG所有棱長均為2,ZC,CA=60°,

側(cè)面ACC