2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路：構(gòu)造函數(shù)法解決不等式問題（學(xué)生版+解析）

專題04構(gòu)造函數(shù)法解決不等式問題(典型題型歸類訓(xùn)練)

目錄

一、必備秘籍.....................................................1

二、典型題型.....................................................2

題型一：構(gòu)造尸(x)=yy(x)或=且-0)型.......2

題型二：構(gòu)造尸(尤)=*/(幻或/(x)=^("eZ,且-0)型......3

e

題型三：構(gòu)造/(x)=/(x)sinx或F(x)=幺小型....................4

sinx

題型四：構(gòu)造尸(x)=/(x)cosx或/(%)=△2型.................17

COSX

三、專項(xiàng)訓(xùn)練.....................................................5

一、必備秘籍

1、兩個(gè)基本還原

①小)g(x)+公)g'。)="⑴gM②八警W⑴=[偌丫

2、類型一：構(gòu)造可導(dǎo)積函數(shù)

①enx[f\x)+叭刈=[e""(x)r高頻考點(diǎn)1：ex[f\x)+/(%)]=[e"(初'

②》7[才(%)+叭%)]=，〃%)]'

高頻考點(diǎn)1：xf{x)+/(%)=[xf(x)]f高頻考點(diǎn)2x[W(x)+2f(x)]=[//⑴1

同/'(%)-叭x)_"(明高頻考點(diǎn)L如”=噌］，

回-----^-nx-----=IL---nx-1J

xfXx')-nf(x)

④

n+\

高頻考點(diǎn)1：礦⑴-/⑴=「加

高頻考點(diǎn)23=[2-]

2r

XXXX

⑤/'(%)sin%+/(%)cosx=[/(%)sinx]r

⑥f\x)cosx-/(x)sinx=[/(x)cosx]f

序號(hào)條件構(gòu)造函數(shù)

1f'(x)g(x)+/(x)g'(x)>0F(x)=f(x)g(x)

2/V)+f(x)<0F(x)=exf(x)

3f'(x)+nf(x)<0F(x)=emf(x)

4xf'(x)+f(x)>0F(x)=xf(x)

5W)+2/(x)<0歹(x)=巾⑴

6xf'(x)+nf(x)>0F(x)=xnf(x)

7/'(x)sinx+/(x)cosx>0F(x)=/(x)sinx

8/'(x)cosx-f(x)sin%>0F(x)=f(x)cosx

3、類型二：構(gòu)造可商函數(shù)

G，'(x)—nf(x)/(x)高頻考點(diǎn)i：r（x）-/（x）/^）

①浮=〔浮一=[r

°〃+1—L丫八」

JiJi

高頻考點(diǎn)1：礦（x）J（」=心必,高頻考點(diǎn)—⑺/嗎竽

XX

@/'(x)sinx—/(x)cosx=

sin2xsinx

⑥r(nóng)(x)cosx+/(x)sinx=1/(x)了

'-COS2XCOSX

二、典型題型

P(x)=/(X)

題型一：構(gòu)造尸(x)=x"(x)或"x"(HGZ,且"0)型

1.（23-24高二下?湖南長沙?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（X）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x＞。時(shí),

礦（幻+2〃尤）＞0,則下列四個(gè)判斷正確的為（）

A./（-2）＜4f（l）B./（-2）＞4/（1）

C.7（-2）＜斗D./（-2）＞*

44

2.(2024?湖南益陽?模擬預(yù)測)已知的定義域?yàn)?0,+8)"'⑺是〃尤)的導(dǎo)函數(shù)，且

x7，W+2#(x)=lnr,2ef(e)=l,則(1/卜也j,(tan￡|的大小關(guān)系是()

A.小小nj<小n1B.(sin；卜

C-小*"1上小njD.小nj

3.(多選)(23-24高二下?山西太原?期中)已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，

V'(x)-〃x)<0,且"1)=0,則下列結(jié)論正確的是()

A.2/(-2)>3/(-3)B.3/(-2)<2/(-3)

C.當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)>0D.當(dāng)x<—l時(shí)，/(%)<0

4.(多選)(23-24高三上?安徽六安?期末)已知函數(shù)〃力的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),對任意的正

數(shù)x,都滿足了(x)<4'(x)<2/(x)-2x,則下列結(jié)論正確的是()

A」(l)<2心

B./(1)<|/(2)

C./(1)<4/[1]-2

D.〃1)<卜⑵+1

F(x)=/(*)

題型二：構(gòu)造/(x)=e"V(x)或一泮(neZ,且此0)型

1.(23-24高二上?江蘇宿遷?期末)函數(shù)/(無)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)x恒有

f'(x)-f(x)>0r則()

A./(-1)>0B./⑶〉蟲2)

C-evQLeVQ]D.蛆3)>〃4)

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)〃尤）及其導(dǎo)函數(shù)尸（力滿足

/'（x）＜r（x）恒成立，且無＞。時(shí)〃力＞0,則下列式子不一定成立的是（）

A.f（8）＞2/（4）B./（4）＞2/（2）

C./（2）＞2/（1）D.〃1）＞2出）

3.（2020?廣東梅州?模擬預(yù)測）設(shè)尸（x）是的導(dǎo)函數(shù)，定義在（0,+功上的函數(shù)滿

f⑴

足（1）〃力＞0；（2）2/（%）＜/（%）＜3/（%）,則看的范圍為（）

A-戰(zhàn)］B.1:，口C.1白口D.

4.（多選）（23-24高二上,安徽滁州,期末）已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)為7'（尤），

且對任意的xeR,都有〃x）+r（x）＞0,則下列說法正確的是（）

A.e/（l）＜/（0）B.W）＞/（0）

C.2/（ln2）＜e/-（l）D.2/（ln2）＞e/-（l）

5.（多選）（2023?全國?模擬預(yù)測）已知定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)/（無），g（無），/（尤）的

導(dǎo)函數(shù)為/（X）,若尸（x）-/（x）=e',列。是指數(shù)函數(shù)，f（0）=0,g⑴=2,則下列說法正

X

確的是（）

A.g(x)=x-2xB.7（x）在R上單調(diào)遞增

D.d幽

C.HGN\

Un2jIn22e

F（X）2M

題型三：構(gòu)造尸（無）=/（%）smx或=sinx型

1.（23-24高二下?重慶?階段練習(xí)）函數(shù)/（尤）是定義在（-兀,0）U（0,7t）上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函

數(shù)為尸⑺，且了0,當(dāng)0<x<7t時(shí)，/,(x)sin%-/(x)cosx<0,則關(guān)于x的不等式“x)<0

的解集為（）

c.(-K,o)ulo,-|

三、專項(xiàng)訓(xùn)練

1.(23-24高二下?廣東東莞?階段練習(xí))已知尸(x)為函數(shù)〃力的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，有

-礦(x)>0恒成立，則下列不等式一定成立的是()

A一出"5B./出<2心

C.小/⑴D.

2.(23-24高二下?四川宜賓?階段練習(xí))已知函數(shù)Ax)的定義域?yàn)镽,對任意xeR,有

Ax)-/(x)>0,則不等式e"(x+l)>e2〃2x-l)的解集是()

A.{x|x<4}B.{X尤<3}C.{尤|無<2}D.{x|尤<1}

3.(23-24高二下?四川內(nèi)江,階段練習(xí))已知函數(shù)“力是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)

為尸(x).若〃0)=5,且〃力寸小)>2,則使不等式〃x)43e*+2成立的x的取值范圍

為()

A.(-oo,-l]B.[1,+<?)C.(F,0]D.[0,+oo)

4.(21-22高三下?西藏拉薩?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(龍)是奇函數(shù)〃力(xwR)的導(dǎo)函數(shù)，

/(-1)=0,當(dāng)無>。時(shí)，.礦(力―〃力<0,則不等式〃x)<0的解集為()

A.(^o,-l)u(0,l)B.(TO)。。,zo)

C.S，-l)U(-1,0)D.(O,1)U(1M)

5.(23-24高三上?陜西?階段練習(xí))已知函數(shù)“X)的定義域是(-5,5),其導(dǎo)函數(shù)為尸(x),

且〃X)+4'(X)>2,則不等式(2%-3)〃2了一3)—(%-1)〃彳-1)>2》—4的解集是()

A.(2,+oo)B.(2,6)C.(-4,6)D.(2,4)

6.(22-23高二下?四川綿陽?期中)已知定義在R上的函數(shù)/(尤)的導(dǎo)函數(shù)為/'(無)，且

f'(x)-/(元)<0,，⑴=e，則不等式/(lnx)>x的解集為()

A.(0,Ve)B.(0,e)C.(Ve,+oo)D.(e,+oo)

7.(22-23高二下?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)〃尤)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),

且3〃x)+r(x)<0,〃ln2)=l,則不等式〃x)e3，>8的解集為()

A.(-<?,2)B.(fo,ln2)C.(ln2,+oo)D.(2,+oo)

8.(22-23高二下?江西吉安?期末)若定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)Ax)滿足

(x+3)/(x)+(x+2)r(x)<0,『(0)=1,則下列說法正確的是()

212

A./(-I)<2eB./(1)<—C.f(2)>D./⑶

二、多選題

9.(2024,浙江溫州?一模)定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為((力，對于任意實(shí)數(shù)x,都

有/(—x)+e2"(x)=0,且滿足24x)+f'(x)=2,則()

A.函數(shù)/(x)=e"(x)為奇函數(shù)

B.不等式e"⑺-十<0的解集為(O,ln2)

C.若方程/■(元)一(尤-a)2=。有兩個(gè)根4,4，貝

D.“X)在(0,〃0))處的切線方程為y=4x

10.(2023?海南?？?模擬預(yù)測)已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)為尸(x),且

2/(x)+r(x)=x,貝I()

A./(-1)>-2B./(1)>-1

C.“X)在(-8,0)上是減函數(shù)D.〃尤)在(0,+功上是增函數(shù)

三、填空題

11.(23-24高二下?上海?期中)設(shè)〃尤)是定義在R上的偶函數(shù)，尸(%)為其導(dǎo)函數(shù)，

7(2024)=0,當(dāng)尤>0時(shí)，有#'(x)>/(x)恒成立，則不等式#(力>0的解集為.

12.(23-24高二下?江西南昌,階段練習(xí))定義在(0,+8)上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為/(%),且

才(x)+f(x)<0,則不等式吟心>/(2)+若］的解集為.

13.(22-23高二下?吉林長春?期中)已知函數(shù)7⑺的導(dǎo)數(shù)為/'⑴，若2〃x)+/'(x)>2,

/(0)=5,貝I］不等式〃x)-4e0>1的解集為.

14.(22-23高三上?山東?階段練習(xí))已知尸(x)為定義域R上函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)，且

4

f\x)+f'(2-x)=Q,X>1,(龍一l)r(x)+2〃x)>。且"3)=1,則不等式/(彳)>訴/

的解集為.

專題04構(gòu)造函數(shù)法解決不等式問題(典型題型歸類訓(xùn)練)

目錄

一、必備秘籍..............................................1

二、典型題型..............................................2

題型一：構(gòu)造歹(x)=x"(x)或/(x)=C^(〃eZ,且-0)型.....2

題型二：構(gòu)造尸(尤)=*/(幻或/(x)=^(〃eZ,且-0)型.....3

e

題型三：構(gòu)造廠⑴=/O)sinx或F(x)=28型.................4

sinx

題型四：構(gòu)造尸(x)=/(x)cosx或/(%)=△肛型...............17

COSX

三、專項(xiàng)訓(xùn)練..............................................5

一、必備秘籍

1、兩個(gè)基本還原

①/'(x)g(x)+/(x)g'(x)="(x)g(x)r②/'(x)g(；)-*)g'(x)=[?書，

[g(x)rg(x)

2、類型一：構(gòu)造可導(dǎo)積函數(shù)

①enx[f'(x)+叭刈=[e""(x)r高頻考點(diǎn)1：ex[f'(x)+/(%)]=

②》7[才(%)+叭%)]=，〃%)]'

高頻考點(diǎn)1：礦(x)+/(x)=[#(%)]'高頻考點(diǎn)2x[xf\x)+2f(x)]=[x2f(x)]'

③八X):叭'=[綽],高頻考點(diǎn)1：/叫/'⑴=〔駕了

eeee

公療"(X)—7/(x)/(x),

高頻考點(diǎn)1：礦⑴/(乃=[也了高頻考點(diǎn)2V'⑴:27'⑴=[”了

XXXX

⑤f\x)sinx+/(%)cos%="(%)sinx]r

⑥f\x)cosx-/(x)sinx=[/(x)cosx]f

序號(hào)條件構(gòu)造函數(shù)

1f'(x)g(x)+/(x)g'(x)>0F(x)=f(x)g(x)

2/V)+f(x)<0F(x)=exf(x)

3f'(x)+nf(x)<0F(x)=emf(x)

4xf'(x)+f(x)>0F(x)=xf(x)

5W)+2/(x)<0歹(x)=巾⑴

6xf'(x)+nf(x)>0F(x)=xnf(x)

7/'(x)sinx+/(x)cosx>0F(x)=/(x)sinx

8/'(x)cosx-f(x)sin%>0F(x)=f(x)cosx

3、類型二：構(gòu)造可商函數(shù)

G，'(x)—nf(x)/(x)高頻考點(diǎn)i：r（x）-/（x）/^）

①浮=〔浮一=[r

°〃+1—L丫八」

JiJi

高頻考點(diǎn)1：礦（x）J（」=心必,高頻考點(diǎn)—⑺/嗎竽

XX

@/'(x)sinx—/(x)cosx=

sin2xsinx

⑥r(nóng)(x)cosx+/(x)sinx=1/(x)了

'-COS2XCOSX

二、典型題型

P(x)=/(X)

題型一：構(gòu)造尸(x)=x"(x)或"x"(HGZ,且"0)型

1.（23-24高二下?湖南長沙?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（X）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x＞。時(shí),

礦（幻+2〃尤）＞0,則下列四個(gè)判斷正確的為（）

A./（-2）＜4f（l）B./（-2）＞4/（1）

C.7（-2）＜斗D./（-2）＞*

44

【答案】D

【分析】由#'(%)+2/(x)>0(x>0)結(jié)構(gòu)特征可知？'(幻+2/(尤)是函數(shù)g(x)=x2f(x)的導(dǎo)數(shù)

簡單變形得到的，故構(gòu)造函數(shù)并得到函數(shù)g(x)=x"(x)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)奇偶性即可判

斷選項(xiàng)中各函數(shù)值大小.

【詳解】令g(x)=x2f(x),貝Ug'(x)=2#(x)+^f\x)=x(2/(x)+#'(x))>0在(0,+8)恒成立,

所以g(尤)=f/(x)在(0,+?)單調(diào)遞增,所以g⑴<g(2),BP/(l)<4/(2),

又因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為定義在R上的偶函數(shù)，所以"1)<4/(-2),即/(一2)〉與，

故選：D.

2.(2024?湖南益陽?模擬預(yù)測)已知/(力的定義域?yàn)?0,+動(dòng),廣(尤)是的導(dǎo)函數(shù)，且

x2f'(x)+2xf(x)=lwc,2ef(e)=l,則的大小關(guān)系是()

A.4：</卜只卜/'an]B./(sin；卜/&)</,曰

【答案】C

【分析】根據(jù)x"'(x)+2獷(x)=hr構(gòu)造函數(shù)g(x)=x"(x),代入原式化簡后得到

/⑴=xlnx-2g(x),再構(gòu)造函數(shù)〃(無)=xMx—2g(無)，討論川龍)的單調(diào)性即可得到/(無)<0,

X

最后根據(jù)的單調(diào)性求解即可.

【詳解】因?yàn)?1(工)+2獷(x)=lnx,即[%2/(x)y=]nx,

構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2/(x),則g'(x)=}nx,/(x)=豈學(xué).

x

將/(%)=駕代入尤夕'(尤)+2獷(x)=InX,得f'(x)=xlnx-2g(x)

XX

再構(gòu)造函數(shù)"(x)=xlnx-2g(x),貝5|〃'(x)=lnx+l-2g'(x)=l-lnx,

易知，當(dāng)xe(0,e)時(shí)，h\x)>0,函數(shù)">)單調(diào)遞增；當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，h'(x)<0,函數(shù)〃(x)單

調(diào)遞減，所以/2(x)max=/z(e)=e-2g(e)=e-2e2/(e),

由于2學(xué)"(e)=l,所以/z(e)=0,所以飄x)W0,

所以當(dāng)xe(0,e)時(shí)，f'(x)<0,函數(shù)/")單調(diào)遞減；

當(dāng)尤e(e,+s)時(shí)，/'(x)<0,函數(shù)/")單調(diào)遞減，所以“X)在(0,內(nèi))單調(diào)遞減.

又根據(jù)單位圓可得三角不等式sin1〈!<tan!，又sin±<sin2，tan-<tan-,所以

3334332

/(tan；)<f(1)</(sing),故Jtang］</Q^|</［也：］

故選：c.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)比大小的問題.題中條件

//'(%)+2獷(%)=10%可以構(gòu)造函數(shù)g(x)=f/(x),進(jìn)一步構(gòu)造函數(shù)〃(x)=xlnx-2g(x),然

后討論力(x)的單調(diào)性，由以x)wO得到(5)<0,再由三角不等式得到自變量的大小關(guān)系，

最后根據(jù)了(X)的單調(diào)性求解.

3.(多選)(23-24高二下?山西太原?期中)已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)尤>0時(shí)，

xf\x)-f(x)<0,且"1)=0,則下列結(jié)論正確的是()

A.2/(-2)>3/(-3)B.3/(-2)<2/(-3)

C.當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)>0D.當(dāng)天<-1時(shí)，/(x)<0

【答案】BC

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=qo,然后利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解即可.

【詳解】設(shè)g(x)=￡(",

X

由/(X)是定義在R上的奇函數(shù)知，則尤#0時(shí)，g(x)=?為偶函數(shù)，

且尤>。時(shí)，g，(x)=W〃x)<o,

故g(x)在(0,+s)單調(diào)遞減，

由偶函數(shù)的對稱性知，g(X)在(-8,0)單調(diào)遞增，

故g(—2)>g(—3),即正4>正11,故3/(—2)<2/(-3),B選項(xiàng)正確；

—2—3

當(dāng)0cx<1時(shí)，g(x)=Z^l>g(l)=斐=0,故/'(x)>0,C選項(xiàng)正確；

當(dāng)x<-l時(shí)，g(x)=g<g(-l)=g(l)=0,故〃x)>0,D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

由B,D選項(xiàng)知，0<3〃-2)<2/(-3),故2〃一2)eg〃-3)<3〃一3),A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC

4.(多選)(23-24高三上?安徽六安?期末)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為尸(耳，對任意的正

數(shù)x,都滿足/(x)<4'(x)<2/(x)-2x,則下列結(jié)論正確的是()

A.〃…出

B.〃1)<：〃2)

c.f(l)<4f[1j-2

D.〃1)T⑵+1

【答案】BC

【分析】設(shè)g(x)=/，(x>0)，利用導(dǎo)數(shù)求出g(x)的單調(diào)性，據(jù)此即可判斷A和B選項(xiàng),

設(shè)/⑺/([「a>。),根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出力(x)的單調(diào)性，據(jù)此即可求解C和D選項(xiàng).

【詳解】設(shè)g(x)=F(x>0),貝Ug，(x)=4'(x"/(x)>0,

所以g(無)在(。，+動(dòng)上單調(diào)遞增，

由g⑴>g得/⑴>2/gj,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

由g(l)<g(2)得〃1)<："2),故B項(xiàng)正確；

設(shè)/⑴="?-2%>0),則

“⑺=6X)2)X2(〃X)2X).2X=礦(x)-(2〃x)-2x)<0,

所以/z(x)在(0,+e)上單調(diào)遞減，

由得故C項(xiàng)正確：

由網(wǎng)1)>42)得/⑴〉;/(2)+1,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

p(x)=/(.

題型二：構(gòu)造凡x)=e""(x)或一浮(?eZ,且〃W0)型

1.(23-24高二上?江蘇宿遷?期末)函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)無恒有

r(x)-/(%)>0,則()

A./(-1)>0B./(3)>ef(2)

C.卻出<&冉D.鞏3)>〃4)

【答案】B

【分析】首先構(gòu)造函數(shù)g(x)=4a，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合選項(xiàng)，依次判

斷.

【詳解】設(shè)g(x)=/H,則g，(尤”r(無)e；"x)e'=尸,

由條件可知,r(x)-/(x)>0,所以g，(x)>0,則函數(shù)g(無)在R上單調(diào)遞增,

因?yàn)楹瘮?shù)〃可是定義在R上的奇函數(shù)，則"0)=0，即/(-1)<〃0)=0,故A錯(cuò)誤；

由函數(shù)的單調(diào)性可知，坐〉綽，得〃3)>歹(2),故B正確；

ee

由得故C錯(cuò)誤；

由坐V翌，得y⑶<〃4),故D錯(cuò)誤.

ee

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g(x)=，h從而可以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,

判斷選項(xiàng).

2.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)“X)及其導(dǎo)函數(shù)((犬)滿足

f(x)<r(x)恒成立，且x>0時(shí)〃力>0,則下列式子不一定成立的是()

A./(8)>2/(4)B./(4)>2/(2)

C./(2)>2/(1)D./(1)>2/^

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)尸(另=竽，利用尸(無)的單調(diào)性可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)尸(無)=21，因?yàn)?⑺一,)2一e,，

又〃x)<r(x),所以尸(x)>0,即尸。)在R上為增函數(shù),

選項(xiàng)A：因?yàn)?8)>網(wǎng)4),即尊1>坐，化簡得〃8)>e4〃4)>2〃4),故A成立；

ee

選項(xiàng)B：因?yàn)?4)>b(2),即綽〉里1,化簡得〃4)>e2〃2)>2〃2),故B成立；

ee

選項(xiàng)C：因?yàn)椤?)>/1),即華>/色，化簡得〃2)>>2〃1),故C成立；

ee

選項(xiàng)D：因?yàn)槭此?gt;f[±]

化簡得而￡/(￡[<2/

故D不一定成立；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)尸(”=￥，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷結(jié)果.

3.(2020?廣東梅州,模擬預(yù)測)設(shè)尸(x)是〃x)的導(dǎo)函數(shù)，定義在(0,+")上的函數(shù)“X)滿

f⑴

足(1)/(%)>0；(2)2/(x)<r(x)<3/(x),則力臺(tái)的范圍為()

a-f]b-[Ujc-1宗)d-[14

【答案】B

【分析】構(gòu)造g(無)=42,求導(dǎo)得到單調(diào)性，根據(jù)g(l)<g(2)得到記<3,構(gòu)造

〃(耳=紳，求導(dǎo)得到單調(diào)性，根據(jù)?1)>〃(2)得到忍>],得到答案.

【詳解】設(shè)g(x)=22,則g(x)在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增，

則g⑴<g⑵，即曾<9,借<5；

eee

設(shè)/z(x)=T，則/⑺=，。)1/口)<0,Mx)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

則旗1)>力(2)，即w>中，號(hào)>3；

ee八勾e

綜上所述："<羽<「

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定不等關(guān)系，意在考

查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，構(gòu)造g(x)=綽和可刈=?2，

求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間是解題的關(guān)鍵，構(gòu)造法是常考的數(shù)學(xué)方法，需要熟練掌握.

4.(多選)(23-24高二上?安徽滁州,期末)已知函數(shù)Ax)的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)為/'(無),

且對任意的xeR,都有〃x)+r(x)>。，則下列說法正確的是()

A.e^(l)</(0)B.eA(l)>/(0)

C.2/(ln2)<eA(l)D.2/(ln2)>ef(l)

【答案】BC

【分析】令g(x)=e"(x),可得g(x)在(-8,+◎上單調(diào)遞增，取自變量的值可得結(jié)果.

【詳解】令g(x)=e"。)，所以g'(x)=e"(x)+e"'(x)=el[/(%)+f\x)}>0,

所以g(x)在(-00,+00)上單調(diào)遞增,

所以g(0)<g(l),gp/(0)<e/-(l),故A錯(cuò)誤,B正確;

又g(ln2)<g(l),所以eM"(ln2)<”⑴，

即2f(ln2)(叭1),故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟

⑴作差或變形.

⑵構(gòu)造新的函數(shù)/?(*).

⑶利用導(dǎo)數(shù)研究Mx)的單調(diào)性或最值.

⑷根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.

5.(多選)(2023?全國?模擬預(yù)測)已知定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)Ax),g(x),Ax)的

四是指數(shù)函數(shù)，/(0)=0,g⑴=2,則下列說法正

導(dǎo)函數(shù)為7"(x),若/'(x)-/(x)=e",

X

確的是()

A.g(x)=x-2xB./*)在R上單調(diào)遞增

n

C.〃eN*,g

ln2In2?啖等

【答案】AC

【分析】由尸(尤)-Ax)=e，及"0)=0可得函數(shù)/(X)的解析式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可判斷B；由幽

是指數(shù)函數(shù)及g⑴=2可得g(x)的解析式，可判斷A；由解析式計(jì)算可判斷C；D選項(xiàng)代入

后為比較e2與2‘的大小關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為比較小與學(xué)的大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)以無)=皿，

e2%

結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究即可得.

【詳解】"⑺-即1=1,

即有[幺3]=1，可得4?=x+c(C為常數(shù))，

又/(。)=。，故c=0,所以/(x)=xe"，

對于選項(xiàng)A,膽=優(yōu)(〃>0且awl),由g⑴=2,得a=2,

X

故g(x)=x-2',故A正確;

對于選項(xiàng)B,f\x)=(x+l)ex,當(dāng)x<-l時(shí)，f'(x)<0,

故/（x）在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤;

n

對于選項(xiàng)C,g記萬?2ln2,而2京_2(log2e)/z_e，

ln2

nn獸,故gn罌，故c正確;

故g?e〃二

ln2ln2m2ln2m2

對于選項(xiàng)D,等",

設(shè)飄x）=g,則無）=lz^￡

XX

令/i'(x)>0,貝i]O<x<e；令，(x)<0,則x>e,

故九。）在（0,e）上單調(diào)遞增，在（e,+與上單調(diào)遞減,

*27/、IneIn2,._

所以/z(e)=——>-=h(2x),

e2

=，＞皿=2"故D錯(cuò)誤,

e

故選：AC.

p（x）=于3

題型三：構(gòu)造/。）=/。）0也%或'sinx型

1.（23-24高二下?重慶?階段練習(xí)）函數(shù)“X）是定義在（F,0）U（0,7i）上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函

數(shù)為尸（x）,且/仁）

0,當(dāng)0＜x＜兀時(shí)，/'（x）sinx-/（x）cosx＜0,則關(guān)于x的不等式〃力＜。

的解集為（）

7171

A.B.q，。唯兀

22

C.(F,O)UogD.■，兀

【答案】B

【分析】由題意可構(gòu)造函數(shù)g（x）=/0,利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合其奇偶性，即可判

sin%

斷g（x）=/（D的正負(fù)情況，結(jié)合〃x）＜0,即可求得答案.

sinx

【詳解】令g(x)=?,則g，⑺JMsinx]⑺cosx

sinxsinx

由于當(dāng)Ovx<兀時(shí)，r(x)sinx-/(x)cosx<0,故此時(shí)

則g（x）在（0㈤上單調(diào)遞減,

由于函數(shù)〃力是定義在（-兀,0）U（0㈤上的奇函數(shù)，

貝Ug（—尤）==^sinx=g（"）’即g（X）為（一&。）U（0,兀）上的偶函數(shù),

則g（x）在（-兀,。）上單調(diào)遞增，

而“空=0,故g["=o，

故當(dāng)0cx〈:或一g<尤<0時(shí)，g(x)>0,當(dāng)g<X<7l或一7!<x<-g時(shí)，g(x)<0,

sinx>0fsinx<0

由〃x）＜0可得或《/、n角率得1<X<7t或一]<X<°,

g(x)<0[g⑺>0

故不等式〃x）＜0的解集為卜：0卜已兀

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x）=￡（”,并得出其單調(diào)性、奇偶性，由此即可

sinx

順利得解.

2.（23-24高二下?重慶）設(shè)/（力是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，

cos2x-f(x)+sin2x?fr(x)>—f(x),則()

7171

A.f<0B-<+/>0

D./(T)〃l)<0

【答案】B

【分析】

利用三角函數(shù)公式化簡已知，再構(gòu)造函數(shù)g（"=sinx"（x）,利用函數(shù)單調(diào)性依次判斷選項(xiàng).

【詳解】???cos2x-/(%)+sin2尤-/(x)>-/(%),,

(2cos2x-1)-/(x)+2sinxcosx?/'(x)+/(x)>0

.,.cosx-/(x)+sinx-/,(x)>0

設(shè)g(x)=sinx"(x),g，(x)>0,;.g(x^]-|",|^單調(diào)遞增,

?,遭g"⑼=。"5>0,所以A錯(cuò)誤；

71

g>g>Sm(-6)Z

所以/圖+/]-曰>。，所以B正確；

g1)>g4ns嗚科>sin%J卜同■(沙⑸⑵,所以c錯(cuò)誤；

g(°)>g(-1)=sin0-/(。)>sin(-l)-/(-1)0>-sin1'/(-1)/(-1)>0,,

g(l)>g(O)^sinl-/(l)>sinO-/(O)=>/(l)>O,所以D錯(cuò)誤.

故選：B

3.(23-24高二下?江蘇?階段練習(xí))函數(shù)“X)的定義域是僅㈤，其導(dǎo)函數(shù)是尸(x),若

f'(x)siwc<-f(x)cosx,則關(guān)于x的不等式0/(尤卜加</(：]的解集為.

【答案】[5]

【分析】根據(jù)已知條件和要求解得不等式，構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)sinx,xe(0,7i),根據(jù)已知條

件判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求解要求解的不等式.

［詳解】/f(x)sinx<-/(%)cosx變形為了'(%)sinx+f(九)cosx<0,

變形為/(x)sinx</

故可令g(x)=/(x)sinx,xe(0,K),

則g'(x)=7'(x)sinx+/(x)cosx<0,

???g(X)在(0,兀)單調(diào)遞減，

不等式/(x)sinx</1:bin?即為g(x)<g(：)，

…「兀

則尤了兀

故答案為:

尸(x)=2M

題型四:構(gòu)造F(x)=/(x)cosx或COSX型

1.(23-24高二上?寧夏石嘴山?)定義在上的函數(shù)/'(尤)是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒

有了'(x)>/(x>tanx成立.則()

B.V3/(l)<2cosl-/兀

d

71-何用n

>2/

【答案】A

【分析】

根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g(x)=〃x)cosx,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，一一判斷各選項(xiàng),

即得到結(jié)論.

【詳解】

當(dāng)T%

,cosx>0

則不等式尸(x)>/(力-tanx等價(jià)為尸(x)>〃x)?黑

即cos即，⑺-sin即(%)>0,

設(shè)g(x)=〃x)cosx,

貝I(x)=cosxfz(x)-sinxf(x)>0,

即函數(shù)g(無)在(。,日上單調(diào)遞增，

71

g(l)>g

2cosl-/(l)>73/0得不出V3/(l)<2cosl./Tt

,故B錯(cuò)誤.

V6f^<2/Q,故C錯(cuò)誤.

可用故D錯(cuò)誤.

故選：A.

2.(多選)(23-24高二下?安徽滁州?階段練習(xí))定義在?上的函數(shù)〃x),已知尸(力是

它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有88%"'(%)+5]!?"(%)<0成立，則有()

【答案】CD

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(無)=△",結(jié)合題目所給性質(zhì)可得g(x)在"外上單調(diào)遞減，結(jié)合函

COSX、1

數(shù)單調(diào)性計(jì)算即可得.

■、工A/、m./、cosx-rfxl+siru-f(x]

【詳解】令gx則g[x=————3，

cosxcosX

由已知可得g'(x)<0,即g(x)=上在上單調(diào)遞減，

COSX\L)

兀兀兀

cos—cos—cos—

346

故即C、D選項(xiàng)正確.

故選：CD.

3.(23-24高二下?江蘇蘇州?期中)已知函數(shù)y=〃x),x<0,￡|,尸(x)是其導(dǎo)函數(shù)，恒

有生貝|]()

sinxcosx

【答案】AD

【分析】由題設(shè)得/'(x)cosx>/(x)sinx,構(gòu)造g(x)=/(x)cosx并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,

【詳解】因?yàn)樗詓inx>0,cosx>0,又生1>逗，

[2Jsin%cosx

所以/'(x)cosX>/(x)sinx,

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)cosx,xel0,^-j,貝ljg'(x)=/''(x)cosx—/O)sinx>0,

所以g(x)在(o，T上為增函數(shù)，

因?yàn)楫a(chǎn)，所以021,即個(gè)時(shí)>/小吟，即/[f>何用，故A正

確；

因?yàn)樗詆部g(。即心嶗>.d>哈故佃邛尼)故B錯(cuò)

誤；

因?yàn)轫?lt;1，所以g(f<g⑴，即/[185己</(1)??1,故(乎/⑴cosl,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)榉?gt;1，所以gH>g(l)，Bp/^cos|>/(l)cosl,故/])>2/(l)cosl,故D正確.

故選：AD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將已知條件轉(zhuǎn)化為了'(x)cosx>/(x)sinx,進(jìn)而構(gòu)造g(x)=/(x)cosx

研究單調(diào)性為關(guān)鍵.

三、專項(xiàng)訓(xùn)練

1.(23-24高二下?廣東東莞?階段練習(xí))已知尸(力為函數(shù)”X)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，有

/(x)-4'(x)>0恒成立，則下列不等式一定成立的是()

A-，出>2心B./@<2/

C.修/⑴D.小/⑴

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)P(x)=/?,x>0,求導(dǎo)確定其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定建立

的不等關(guān)系，以及尸[()/(1)的不等關(guān)系，整理化簡得答案.

【詳解】令/(》)=/區(qū)戶>0,則9(x)="，("；/(”,

XX

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，有〃力-獷'(*)>0恒成立，

所以當(dāng)x>0時(shí)，刊'(x)=r(x)：j/(x)<0,

即尸(無)在(0,+功上單調(diào)遞減,

所以pgKj,g|JJ2J<即A錯(cuò)誤，B正確，

24

zm

尸［；］>尸(1),即」斐，即