2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市部分學(xué)校高三（上）適應(yīng)性數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市部分學(xué)校高三(上)適應(yīng)性數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合4={x|3<x+lnx<10},則4nZ的元素個數(shù)為()

A.4B.5C.6D.7

2.復(fù)數(shù)Z]、Z2滿足Z]+Z2=Z]Z2，若Z]=l+i,則氏|=()

A號B.1C.272D.<2

3.若向量五=(1,1),B=(—2,X),若五與N+3夾角為鈍角，則x的可能取值為()

A.1B.0C.-2D.-1

4.隨機(jī)變量f的取值集合為%/咨+k€N+｝且P(f=&)=去，貝!]()

A.<E(sinf)B.>D(cosf)C.￡(f)=|?rD.=~it

5.已知S=33:若正實(shí)數(shù)x滿足Sss=9/，貝卜=()

AT°+3]慢2學(xué)C.生產(chǎn)口以叱

乙乙乙乙乙

6.如圖，四棱錐&-4BCD截取自棱長為1的正方體,其中_L平面4BCD且4/I=4B=BC=CD=DA=

1.E是線段上靠近4的三等分點(diǎn)，尸是線段BC上最靠近B的四等分點(diǎn)，M,N分別是棱&C和上的動

點(diǎn)且恒有MN14/,垂足為H,貝UEM+M”的最小值為()

B.^<66

7.已知角燈、夕滿足cos(a+只=sina+sin,,則sina的最小值為()

A.l-73B.-YC.寧D.AA3-2

8.國表示大于或者等于x的最小整數(shù)，⑶表示小于或者等于x的最大整數(shù).已知函數(shù)f(x)=

p￡+3a：+a],xW°且滿足：對寸冷eR有(/一冷)(/(/)一/(久2))<。，貝b的可能取值是()

le,x>0

114

A.-gB.Oc.-D.-

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9,已知函數(shù)/(x)=cos|x|+|s譏K|和g(x)=sin|x|+|cosx],下列說法正確的是()

A./(久)和g(x)均為周期函數(shù)，且2兀是f(x)、g(x)的周期之一

B.f(%)和。(久)均為周期函數(shù)，且兀是/'(X)、g(久)的周期之一

C./Q)的值域?yàn)閇-

D.g(x)=f(x-1)對Vx>0恒成立

10.如圖，對于拋物線y：y2=2px,(p>0),F是它的焦點(diǎn)，y的準(zhǔn)線與x軸交于T,過點(diǎn)T作斜率為k的直

線與y依次交于B、4兩點(diǎn)，使得恰有西?麗=0,下列說法正確的是()

A.k是定值，p不是定值

B.k不是定值，p也不是定值

C.A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)乘積為定值

D.記48中點(diǎn)為M,則M和4橫坐標(biāo)之比為定值

11.設(shè)｛即｝為的=1的單調(diào)遞增數(shù)列，且滿足W+1+16a^+1-2(an+1+4an)-8anan+1=0,則下列選

項正確的是()

A.a2=9

B.。2025至多有22022種取值可能

C.47=+47=+…+-^=<+2

V?1"眄飛an

D.￡憶式[聾]+[^51)=3n(因表示大于或者等于x的最小整數(shù)，㈤表示小于或者等于久的最大整數(shù))

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知a,beR+,則7a2-lla"12”的最小值為____.

(a+b)z

13.高三開學(xué)，學(xué)校舉辦運(yùn)動會，女子啦啦隊排成一排坐在跑道外側(cè).因烈日暴曬，每個班的啦啦隊兩側(cè)已

經(jīng)擺好了兩個遮陽傘，但每個遮陽傘的蔭蔽半徑僅為一名同學(xué)，為了效益最佳，遮陽傘的擺放遵循傘與傘

之間至少要有一名同學(xué)的規(guī)則.高三(一)班共有七名女生現(xiàn)在正坐成一排，因兩邊的遮陽傘蔭蔽范圍太小，

現(xiàn)在考慮在她們中間添置三個遮陽傘廁添置遮陽傘后，曬黑女生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.

22222

14.若a>0且關(guān)于x的不等式+ae>ae+aZn(ae+aex)在(0,+8)上恒成立，貝ija的取值范圍

是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

野餐用的三腳架三只腳長度均為r,露營結(jié)束后三腳架落在森林里，有白蟻聚集到其中一只腳啃食.

(1)求證：啃食過程中三腳架頂點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是一段圓弧；

(2)啃食完畢后腳長變?yōu)椤壳掖怪庇诘孛?，若未損壞的兩只腳所在平面與地面所成二面角為J,求原三角架

對應(yīng)四面體的體積(用r表示).

16.(本小題15分)

已知橢圓y：弓'+4=l(a>6>0),y與圓久2+V=一爐在第一、第二象限分別交于Q、P兩點(diǎn)，且滿

ab

足NPOQ=早PQ=1.

(1)求橢圓y的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)4是橢圓上的一點(diǎn)，若存在橢圓的弦BC使得。求證：四邊形Q4BC的面積為定值.

17.(本小題15分)

已知正整數(shù)列滿足的=2,且有￡心1瓶="對任意正整數(shù)九恒成立.

ak

(1)求證：對任意71CN+，a九均為偶數(shù)；

(2)記配=逋*，求證：￡憶1夕；<9.

18.(本小題17分)

“三角換元”是代數(shù)中重要且常見的運(yùn)算技巧，有些代數(shù)式看似復(fù)雜，用三角代替后，實(shí)則會呈現(xiàn)出非常

直觀的幾何意義，甚至可以與復(fù)雜的二次曲線產(chǎn)生直觀聯(lián)系.

(1)利用恒等式siMe+cos2^=1和taMe+1=cos而，求函數(shù)%=x—7%/和丫2=+

/—^77+tan20—4tan9+4的最小值.

7cos"

(2)在△ABC中，角/、B、C對應(yīng)的邊為a、b、c：

(i)求證：cos27l+COS2B+cos2c+2cosAcosBcosC=1；

(ii)已知實(shí)數(shù)x,y滿足/+y2+42xy=j,求二元函數(shù)/'(久,、)=

J%2—4y[?.x+9+2-/2y+2J2x2+2V_2xy+1+x的最大值.

19.(本小題17分)

a1

已知函數(shù)f(%)=x(ex-cos-),其中a為正實(shí)數(shù).

(1)若aGg,+8),討論/(x)在C，a)的單調(diào)性.

⑵若a=L且方程式f(x)—皿)=段-根在(|,+8)至少有一個根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

參考答案

l.B

2.D

3.A

4.B

5.4

6.C

7.4

8.X

9.CD

1Q.ACD

U.AC

當(dāng)

i1X2-72

13.1

14.(0,#T]

則有P4=PB=PC=r,設(shè)PO1平面ABC,D,E分別為48,PC的中點(diǎn),

假設(shè)白蟻聚集到腳PC進(jìn)行啃食，則啃食過程中頂點(diǎn)P向下移動，

在APAB中，PD的長度保持不變，故頂點(diǎn)P到點(diǎn)。的距離為定值，

故三腳架頂點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是一段以。為圓心，PD為半徑的圓?。?/p>

(2)解：由題意，啃食完畢后腳長變?yōu)榍掖怪庇诘孛妫鐖D所示,

AE

D\//

B

則PE=：,且PE_L平面力BE,貝!|PE14B,

由P4=PB,。為AB中點(diǎn)，可得PD14B,

又PDCPE=P,所以ABI平面PDE,

又DEu平面PDE,所以DE148,

故NPDE即為未損壞的兩只腳所在平面與地面所成二面角，

則“DE*,故DE=PE=?所以功=苧乃

從而得力B=2A/PA2-PD2=<2r，

所以。。=|xJ_（苧J=?r，

PO=VPD2—DO2=J=~Yr，

故原三角架對應(yīng)四面體的體積為：

Vp-ABC=^SAABC.PO="亨X（Vlr）2x苧r=g

16.（1）解：由對稱性知，|OP|=\OQ\,

因?yàn)镹POQ=（PQ=1,所以AOPQ是邊長為1的等邊三角形,

因?yàn)镼位于第一象限，所以Q（￥3）,

31

代入橢圓y的方程有馬+彳=1，

azb

代入圓％2+y2=02_卜2的方程有,+J=十一62,

44

聯(lián)立解得a2=5,b2=l，

%2y2

所以橢圓y的標(biāo)準(zhǔn)方程為于+號=L

22

(2)證明：設(shè)/(皿n)，mn0,則直線。4的斜率為巴，且?++=1,即/+3幾2=|,

m222

因?yàn)?。所以四邊形。ABC是平行四邊形，\BC\=\OA\=Vm2+n2,

設(shè)直線的方程為y='('-t),8(%i，yi),C(x2,y2),

、(y=t(%T)

聯(lián)立《，得(2血2+6n2)%2—12n2tx+6n2t2—3m2=0,

、等9v2+2y2=1

222

_12九2t6nt—3m

所以％i+x

22m2+6n2"62=2m2+6足'

Ic/--------------------------/——-------2/6-Jm2-2n2t2+3n2

所以田C|=J1+Qn)2.](叼+工2)2-4尤62=7m2”2，—美談-----=Vm2+n2?

-/6-Jm2-2n2t2+3n2

3

2

因?yàn)閨8C|=1041=Vm2+n2,

V6-Jm2-2n2t2+3n2

所以m2+九2.22

A/3=Vm+n?

2

整理得64一2712t2)=4即|崗=A

Z44

I^(m-t)-nl_\\

d—nt

22

而點(diǎn)力到直線BC的距離為一l~^2Vm+nf

、鼠2+I

所以四邊形%BC的面積S=2S.ABC=2^\BC\.d=\OA\.d=百E.誓=陽=為定

值.

17.證明：⑴由題，瑞謂=斯什+2+…+方=層,

1,1,,1n2

即nn1----F…4---=一,

。2a?ia?t

同工.1.,1,1,d+l)2n2,1

火(JIr***?I——r,

ala2anan+lan+lanan+l

22

即有[(九+l)-l]an=nan+1,

整理得：%±l=w,

an九

則有應(yīng)="|,臭1=號，…，”=3,

an-ln—1an-2n—2a1

即工X—x…x”=安x-^x…x3,

a九-1un-2九—171-2

即幺=以警，又的=2,貝1]即=71。1+1),

L

若幾為奇數(shù)，則幾+1為偶數(shù)，此時時=九(荏+1)為偶數(shù)，

若九為偶數(shù)，則冊=n(n+1)亦為偶數(shù)，

故對任意TIEN+，時均為偶數(shù);

(2)由(1)知,an=n(n+1),

UI..,_n2(n+l)2+2n(n+l)n2(n+l)2+2n(n+l)+l_[n(n+l)+l]2

則篇=審V審=審

故病<峋*=等2+或，

-bfrVn/h<rVnrk(k+l)?1-I_ynk(k+l)y1

取“"k<Zk=iL淤+/I-Uk=i型+Zn/c二i環(huán)，

其中》=弓=匕孕=1G，

Vnk(k+l)_2612n(n+l)

Lk=l-jr-―/衣+不+…+2-'

ZZZ4

1

貝H￡nfc(fc+l)_2,6,12n(n+l)

u2-k=1

2k—22237+???+方k，

則￡%暇-扛%竽

_1ynk(k+l)_2462nn(n+l)

一2乙上二12k一5十22十23十十2rl2n+1，

制1ynk(k+l)_242nn(n+l)

則必=1淤-/+/+,,,+^H+T.2計2，

miliyn々(々+D_2?2?2??22n九5+1).n(n+l)

叫Zk=l淤―]+/+/+…+尹一^1一20I+2九+2

1x(1-+)

4n+n(n+l)_?n2+5n+8

-=Z-2n+2'

miivn依/c+l)_o層+5幾+8、_、n2+5n+8

火」Z/c=i-Tk~~-41/^7+28尹，

zz乙

即有￡匕Q；<￡憶1答+

cn2+5n+8.1

=8----=+t1-7

cn2+5n+9

=9

<9.

18.解：(1)設(shè)％=cos。，0G[0,TT]，則yi=cosO-sin6=V_2cos(0+7),

4

因?yàn)閑e[o,TT],所以e+[c邑圣，所以cos(e+g)E[—1,苧],所以％r—1,

4444z

即yi=x-7\-/的最/J、值為一1；

當(dāng)cos。>0時，y2=+I~2ff+tan??！?tan9+4

=+ta#e-4tme工

=V4tan26+4+V4tan26—4tan3+7

=7(2tan0-0)2+(0-2)2+J(2tan0-l)2+(0+76)2,

表示點(diǎn)(2tcm8,0)到點(diǎn)(0,2)和(1,-，石)的距離之和，

所以先>J1+(2+血2=2/2+73；

2

當(dāng)cos。<0時，y2=■—7；+/3+tan0—4ttm6+4

,4COS，7cos"

=-JzS++tan20-4t^^+4

=—V4tan23+4+V4tan20—4tan9+7

二7(2tcm8—0)2+(0-2尸+J(2tcm0-l)2+(0-76)2,

表示點(diǎn)(2tcm8,0)到點(diǎn)(0,2)和(1,，石)的距離之差，

所以先>-J1+(2-皿2=73-2/2.

綜上，力的最小值為：V^-2/2.

(2)證明：(i)因?yàn)閏osC=COS[TT—(A+B)]=—cos(4+B)=sinAsinB—cosAcosB,

所以cos27l+COS2B+cos2c+2cosAcosBcosC

=cos2?!+COS2B+sin2Asin2B+cos2Acos2B—2sinAsinBcosAcosB+2cosAcosBcosC

=COS2T4+COS2B+(1-COS2T4)(1—cos2B)+cos2Acos2B—2sinAsinBcosAcosB+2cosAcosBcosC

=1+2(COS2ACOS2B—cosAcosBsinAsinB)+2cosAcosBcosC

=1+IcosAcosB(cosAcosB—sinAsinB)+2cosAcosBcosC

=1+2cosAcosBcos{A+8)+2cosAcosBcosC

=1—IcosAcosBcosC+IcosAcosBcosC=1,證畢；

(i)在(i)中,令C=7,則cos?/+cos2B+y/~2cosAcosB=1且4+B=乎，

4L4

因?yàn)椋?+y2+y/~2xy=設(shè)久=cosA,y=cosB,

所以/(%,y)=x2—4y[~2x+9+2V-2y+2/2x2+2y/~2xy+1+%,

可得/⑷=Vcos2i4—4y/~2cosA+9+4sinA+cosA(AE(0,當(dāng))，

貝療⑷=V2cos2A—4y/~2cosA+4+sin2i4+4sinA+4+cos/

=J(yTlcosA—2)2+(sinA+2)2+cosZ

=J(V^cos/—2尸+(siw4+2)2—(V2—cosA)+V-2

=J[yTlcosA—2)2+{sinA+2)2—J-cos/)2+yj~2

=Jcos/—2,+(sin/+2尸—V2cos2A—2y[2cosA+1+sin2i4+V~2

=/(yflcosA—2)2+{sinA+2)2—(yTlcosA—l)2+(smi4—0)2+

其表示點(diǎn)(VZosAs譏4)到點(diǎn)(2,-2)和(1,0)的距離之差再加上，L

所以/⑷<J(1-2)2+(0—(-2))2+72=,

當(dāng)日右7也sin/—0_sinA+2

基且乂二VIcosZ-l-<2cosA-29

即cosA=史了,sirM=空手時等號取得，此時滿足2e(0,乎).

yy4

aAai

19.解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=x(e^—cos-)=xex—xcos-,

acii-1-1a.na111a_-1

所以/'(%)=e1+xex(—n—cos-+xsin-(―=ex--ex—cos---sin-=ex■—r—n(cos-+

、

-1si.n-1),

XX，

因?yàn)椋(,a)，aeg+8)