專題課件：練素養(yǎng) 利用勾股定理解題的九種常見題型

利用勾股定理解題的九種常見題型

蘇科版八年級上第3章勾股定理練素養(yǎng)1234567溫馨提示：點擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接89如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子AB斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離AC為0．7m，頂端到地面的距離BC為2．4m，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端到地面的距離

B′D為2m，求小巷的寬度CD．1解：易知∠ACB＝90°，∠ADB′＝90°，AB＝AB′.在Rt△ACB中，BC＝2.4m，AC＝0.7m，∴AB2＝0.72＋2.42＝6.25.在Rt△AB′D中，B′D＝2m，AD2＋B′D2＝AB′2，即AD2＝6.25－22＝2.25.∵AD>0，∴AD＝1.5m.∴CD＝AC＋AD＝0.7＋1.5＝2.2(m)．∴小巷的寬度CD為2.2m.如圖，在四邊形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，垂足為D，AD2＝2AB2－CD2．求證：AB＝BC．2證明：∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形．由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.又∵AD2＝2AB2－CD2，∴AC2＝2AB2.∵∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，∴AB2＋BC2＝2AB2.∴AB2＝BC2，即AB＝BC.【點撥】當(dāng)已知條件中有線段的平方關(guān)系時，應(yīng)選擇用勾股定理證明，應(yīng)用勾股定理證明兩條線段相等的一般步驟：①找出圖中證明結(jié)論所要用到的直角三角形；②根據(jù)勾股定理寫出三邊長的平方關(guān)系；③聯(lián)系已知，等量代換，求之即可．如圖，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB，垂足為P．求證：BP2＝BC2＋AP2．3證明：如圖，連接BM.

∵M(jìn)P⊥AB，∴△BMP和△AMP均為直角三角形．由勾股定理，得BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.∵∠C＝90°，∴△BCM是直角三角形．由勾股定理，得BC2＋CM2＝BM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.∵AM＝CM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.∴BP2＝BC2＋AP2.【2021·南安期末】有一塊四邊形草地ABCD(如圖)，測得AB＝AD＝10m，CD＝26m，BC＝24m，∠A＝60°．求∠ABC的度數(shù)．4解：連接BD.∵AB＝AD＝10m，∠A＝60°.∴△ABD是等邊三角形．∴BD＝AB＝10m，∠ABD＝60°.在△BCD中，BD＝10m，CD＝26m，BC＝24m，BD2＋BC2＝102＋242＝262＝CD2，∴∠CBD＝90°.∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝150°.如圖，將長方形ABCD沿EF折疊，使頂點C恰好落在AB邊的中點C′處．若AB＝6，BC＝9，求BF的長．5【點撥】根據(jù)折疊前后的兩個圖形全等，得到相等的線段、相等的角．在新增的Rt△C′BF中，利用折疊的性質(zhì)，表示出各邊長，列方程求解．6【2021·姑蘇區(qū)期末】如圖，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一機(jī)器人在點B處看見一個小球從點A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點O，機(jī)器人立即從點B出發(fā)，沿直線勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點C處截住了小球．如果小球滾動的路程與機(jī)器人行走的路程相等，那么機(jī)器人行走的路程BC是多少？7一架2.5m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AC上，這時BC為0.7m．如果梯子的頂端A沿墻下滑0.4m，那么梯子底端B在水平方向上滑動了多少米？如圖，小明家位于一條南北走向的河流MN的東側(cè)A處，某一天小明從家出發(fā)沿南偏西30°方向走60m到達(dá)河邊B處取水，然后沿另一方向走80m到達(dá)菜地C處澆水，最后沿第三方向走100m回到家(A處)．問小明在河邊B處取水后是沿哪個方向走的？并說明理由．8解：小明在河邊B處取水后是沿南偏東60°方向走的．理由如下：由題易知AB＝60m，BC＝80m，AC＝100m.∵AB2＋BC2＝602＋802＝10000＝1002＝AC2.∴∠ABC＝90°.又∵AD∥NM，∴∠NBA＝∠BAD＝30°.∴∠MBC＝180°－∠NBA－∠ABC＝180°－30°－90°＝60°.∴小明在河邊B處取水后是沿南偏東60°方向走的．如圖，圓柱形玻璃容器高10cm，底面周長為30