2024-2025學(xué)年人教版六年級上冊 第八單元數(shù)學(xué)廣角-數(shù)與形（單元復(fù)習(xí)講義）

2024-2025學(xué)年六年級數(shù)學(xué)上冊單元復(fù)習(xí)講義（人教版）

第八單元數(shù)學(xué)廣角一一數(shù)與形

（思維架構(gòu)+知識精講+習(xí)題精練+知識拓展）

從簡單圖形入手分析

總結(jié)數(shù)的規(guī)律

用規(guī)律解決圖形問題

數(shù)與形

數(shù)形結(jié)合

根據(jù)題意，畫出圖形

找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律計(jì)算

知識點(diǎn)01：探索并發(fā)現(xiàn)規(guī)律

數(shù)與形是有聯(lián)系的，這種聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合。數(shù)與形常常從各

自不同的角度互通互助，數(shù)用來揭示圖形的本質(zhì)，圖形可以蘊(yùn)含數(shù)

量關(guān)系。數(shù)形結(jié)合的方法是一種很好的數(shù)學(xué)思想方法，它能幫助我們

把復(fù)雜的問題簡單化，把抽象的問題直觀化、形象化。

1.有些問題利用畫圖的方法解決起來更簡單。從上圖中可以直觀

地看出隨著加數(shù)的不斷增加，圓的面積和線段的長度越來越接近1,

當(dāng)有無限多項(xiàng)相加時(shí)其結(jié)果為1。

第1頁共19頁

2.數(shù)形結(jié)合的方法確實(shí)是一種很好的數(shù)學(xué)方法，它能幫助我們把

復(fù)雜的問題簡單化，把簡單的問題直觀化、形象化。

【例1】用小棒按照如下方式擺圖形，用2024根小棒可擺（）

個(gè)正八邊形。

【答案】289

【分析】擺1個(gè)正八邊形需要的小棒數(shù)為8根，即7義1+1;擺2個(gè)正八邊形需

要的小棒數(shù)為15根，即7x2+1；擺3個(gè)正八邊形需要的小棒數(shù)為22根,即7

x3+l；……擺n個(gè)正八邊形需要的小棒數(shù)為：7n+lo求用2024根小棒可擺多

少個(gè)正八邊形，就是當(dāng)7n+1=2024時(shí)，求n的值。

【詳解】擺n個(gè)正八邊形需要的小棒數(shù)為:7n+l,由此列方程得：

7n+1=2024

解：7n+1-1=2024-1

7n=2023

7n+7=2023+7

n=289

所以用2024根小棒可擺289個(gè)正八邊形。

【例2】觀察下面的圖形，按照規(guī)律，第6堆有（）個(gè)棋子；第n

堆有（）棋子。

OOOOOOOOOO

OOOOOOOOOOOOOOOQOO

第1堆第2堆笫3堆第4堆

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【答案】142n+2/2+2n

【分析】每堆有兩排棋子，第一排棋子個(gè)數(shù)分別是1、2、3、4……,第二排棋

子個(gè)數(shù)分別比第一排多2個(gè)即3、4、5、6……。根據(jù)棋子的數(shù)量關(guān)系解答。

【詳解】第n堆的第一排有n個(gè)棋子，第二排有(n+2)個(gè)棋子，共有(2n+

2)個(gè)棋子。

當(dāng)n=6時(shí)，棋子數(shù)是2x6+2

=12+2

=14(個(gè))

第6堆有14個(gè)棋子，第n堆有(2n+2)個(gè)棋子。

【例3】一張長方形桌子可坐6人，按下列方式將桌子拼在一起。

(1)3張桌子拼在一起可坐()人，5張桌子拼在一起可坐

()人。

(2)依據(jù)上面桌子的拼擺規(guī)律，如果是n張桌子拼在一起，那么可

以坐多少人？

【答案】⑴10；14

(2)(2n+4)人

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【分析】1張長方形桌子可坐6人，6=2x1+4；2張桌子拼在一起可坐8人,

8=2x2+4；依此類推，每多一張桌子可多坐2人，所以n張桌子拼在一起可

坐（2n+4）人。據(jù)此解答即可。

【詳解】⑴2x3+4

=6+4

=10（人）

2x5+4

=10+4

=14（人）

則3張桌子拼在一起可坐10人，5張桌子拼在一起可坐14人。

（2）nx2+4=（2n+4）人

答：如果是n張桌子拼在一起，那么可以坐（2n+4）人。

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:習(xí)題精煉I

一、選擇題

1.將同樣大小的棋子按下圖所示的方式擺放，則接下來的第20個(gè)圖形需要擺（）個(gè)棋

子。

A.463B.191C.441D.420

2.觀察下列的圖形，照這樣擺下去，第n個(gè)圖形中有（）個(gè)白色方塊。

A.n+4B.3nC.3n+2D.6n—1

3.如圖，圖1有1個(gè)陰影三角形，圖2有3個(gè)陰影三角形,圖3有6個(gè)陰影三角形,

按此規(guī)律，圖11有（）個(gè)陰影三角形。

D.50

4.如圖，按照規(guī)律，在圖10中，陰影小正方形與空白小正方形相差（）個(gè)。

sS

H???

圖1圖2圖3圖4

A.49B.47C.41D.39

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二、填空題

5.如圖，3個(gè)同樣的杯子疊在一起高20厘米，5個(gè)這樣的杯子疊起來高24厘米，7個(gè)這

樣的杯子疊起來的高度是______厘米，n個(gè)這樣的杯子疊在一起的高度是_______厘米。

6.如圖所示圖案是我國古代窗格的一部分，其中代表窗紙上所貼的剪紙，則第5幅圖

中的個(gè)數(shù)為個(gè)，第n幅圖中“O”的個(gè)數(shù)為個(gè)。

7.根據(jù)下圖中的規(guī)律，括號里應(yīng)該填（

4916

三、判斷題

8.下面圖案由邊長相等的黑、白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成。

rcn?LiLi11uuLTI

inntiznnrntLnTti....

黑色：123

白色：81318-

照這樣畫下去，第8個(gè)圖形中白色小正方形的個(gè)數(shù)是43。（）

9.如圖，用小棒擺圖形，擺第8個(gè)用了17根小棒。（）

△0ZSZS7

①②③④

10.同一平面內(nèi)的6條直線，最多有15個(gè)交點(diǎn)。（）

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四、解答題

OOOO

OOOo??oo???o

11.oeoo??oo???o

ooooooo

①②③④

（1）找規(guī)律，在橫線上畫出第四幅圖。

（2）第12幅圖中有（）個(gè)。，有（）個(gè)?。

12.為慶祝國慶，某學(xué)校舉行用火柴棒擺“金魚”比賽，如下圖所示。

①②③

（1）按照上面的規(guī)律，擺6條“金魚”需要（）根火柴棒，擺n條“金魚”需要（）

根火柴棒。

（2）如果要擺4組“金魚”，每組擺8條，按照上面的擺法，需要準(zhǔn)備（）根火柴棒。

⑶準(zhǔn)備88根火柴棒最多能擺（）條這樣的“金魚”。

13.下面每個(gè)圖中最外圈各有多少個(gè)小正方形？

32-1=852-32=1672-52=24

照這樣的規(guī)律接著畫下去，第5個(gè)圖形最外圈有多少個(gè)小正方形?

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參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)圖示可知：

第1幅圖棋子個(gè)數(shù)：22+3=4+3=7個(gè)；

第2幅圖棋子個(gè)數(shù)：32+4=9+4=13個(gè)；

第3幅圖棋子個(gè)數(shù)：42+5=16+5=21個(gè)；

第4幅圖棋子個(gè)數(shù)：52+6=25+6=31個(gè)；

第n幅圖棋子個(gè)數(shù)：(n+1)2+(n+2),據(jù)此解答。

【詳解】由分析可得：第n幅圖棋子個(gè)數(shù)：(n+1)2+(n+2)。

當(dāng)n=20時(shí)，

(20+1)2+(20+2)

=441+22

=463(個(gè))

第20個(gè)圖形需要擺463個(gè)棋子。

故答案為：A

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化類問題，主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和總結(jié)能

力。

2.C

【分析】第一個(gè)圖形有5個(gè)白色方塊，第二個(gè)圖形由8個(gè)白色方塊，第三個(gè)圖

形由11個(gè)白色方塊；5、8、11、……后面每個(gè)圖形依次增加3個(gè)白色方塊。

【詳解】5=3x1+2

8=3x2+2

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11=3x3+2

第n個(gè)圖形是（3n+2）個(gè)。

照這樣擺下去，第n個(gè)圖形中有（3n+2）個(gè)白色方塊。

故答案為：C

【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的序數(shù)與白色方塊的個(gè)數(shù)找出規(guī)律，然后

再根據(jù)規(guī)律解答。

3.B

【分析】根據(jù)圖形的規(guī)律：

圖1：陰影三角形有1個(gè)；

圖2：陰影三角形有1+2=3（個(gè)）；

圖3：陰影三角形有1+2+3=6W；

圖4：陰影三角形有1+2+3+4=10（個(gè)）；

圖n:陰影三角形有1+2+3+……+n（個(gè)）

幾個(gè)連續(xù)的自然數(shù)相加=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）x項(xiàng)數(shù)+2

【詳解】1+2+3+4+■■■+11

=（1+11）xii-2

=12x11-2

=66（個(gè)）

按此規(guī)律，圖［［有66個(gè)陰影三角形。

故答案為：B

第9頁共19頁

4.C

【分析】從圖中分析：

圖1：陰影小正方形有8個(gè)，空白小正方形有1個(gè)；

圖2：陰影小正方形有8個(gè)，空白小正方形有16個(gè)；

圖3:陰影小正方形有24個(gè)，空白小正方形有16個(gè)；

圖4：陰影小正方形有24個(gè)，空白小正方形有32個(gè)；

從圖中發(fā)現(xiàn)，從圖2開始，新增的外圈都比內(nèi)圈增加了8個(gè)。

圖2：有3層，除了第一層，有2層，順序是：陰影部分、空白部分，增加了8

個(gè)，則相差9個(gè)；

圖3：有4層，除了第一層，有3層，順序是：陰影部分、空白部分、陰影部

分，空白的部分沒有變，則相差9個(gè)；

圖4：有5層，除了第一層，有4層，順序是：陰影部分、空白部分、陰影部

分、空白部分，陰影的部分沒有變，則相差17個(gè)；

也就是當(dāng)圖n中，n是偶數(shù)的情況下，相差的數(shù)量=4n+l；如果是奇數(shù)的情況

下，相差的數(shù)量是4(n-l)+1

圖10時(shí)，10是偶數(shù)，利用4n+l公式得出相差的數(shù)量。

【詳解】4x10+1

=40+1

=41(個(gè))

陰影小正方形與空白小正方形相差41個(gè)。

故答案為：C

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5.2814+2n

【分析】(1)具體思路是先求出單個(gè)杯子的高度，再根據(jù)與已知條件的關(guān)系逐

步計(jì)算其他情況的高度。求單個(gè)杯子的高度：5個(gè)杯子比3個(gè)杯子多了2個(gè)

杯子，高度多了24-20=4厘米，所以一個(gè)杯子的高度是4+2=2厘米。求

7個(gè)杯子的高度：3個(gè)杯子高20厘米，那么7個(gè)杯子比3個(gè)杯子多4個(gè)

杯子，多4x2=8厘米，所以7個(gè)杯子疊起來的高度是20+8=28厘米。

(2)已知杯子總高度為20厘米，第一個(gè)杯子的高度是：杯子總高度一間隔高

度即為：20-4=16厘米，已知杯子與杯子間隔高度是2厘米，3個(gè)杯子有2

個(gè)間隔，以此類推，n個(gè)杯子就有n-1個(gè)間隔，每個(gè)間隔的高度是2厘

米，有n-l個(gè)間隔，所以間隔的總高度就是(n-1)x2,最后可列式為：

16+(n-l)x2,算出結(jié)果即可。

【詳解】(1)兩個(gè)杯子的高度為：24-20=4(厘米)

一個(gè)杯子的高度為：4+2=2(厘米)

3個(gè)杯子疊一起20厘米，那么最下面一個(gè)杯子的高度為20-2x2=16(厘

米)

7個(gè)杯子疊起來的高度為16+2x(7-1)=16+12=28(厘米)

7個(gè)這樣的杯子疊起來的高度是28厘米。

(2)16+(n-l)x2

=16+2n-2

=14+2n

n個(gè)這樣的杯子疊在一起的高度是14+2n厘米

6.173n+2

第11頁共19頁

【分析】根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)：一個(gè)窗格需要5個(gè)，每多1個(gè)窗格就增加3個(gè)

"O",則第n個(gè)圖形有0:5+（n-1）x3=（3n+2）個(gè)，據(jù)此解答即可。

【詳解】3x5+2

=15+2

=17（個(gè)）

第n個(gè)圖形有0:5+（n-1）x3=5+3n-3=（3n+2）個(gè)

第5幅圖中“O”的個(gè)數(shù)為17個(gè)，第n幅圖中“O”的個(gè)數(shù)為（3n+2）個(gè)。

7.—

36

【分析】由圖可知，分?jǐn)?shù)的分母表示三角形的總數(shù)，分子表示陰影三角形的總

數(shù)。第1個(gè)圖中共有（2x2=4）個(gè)小三角形，陰影的三角形有3個(gè)，陰影三角

形占三角形總數(shù)的1；第2個(gè)圖中共有（3x3=9）個(gè)小三角形，陰影的三角形

有5個(gè)，陰影三角形占三角形總數(shù)的g；第3個(gè)圖中共有（4x4=16）個(gè)小三

角形，陰影的三角形有7個(gè)，陰影三角形占三角形總數(shù)的由此可知第4個(gè)

16

圖中共有（5x5=25）個(gè)小三角形，陰影的三角形有7+2=9個(gè)，陰影三角形

占三角形總數(shù)的《，……,據(jù)此再用同樣的方法寫出分?jǐn)?shù)。

【詳解】6x6=36

9+2=11

所以用分?jǐn)?shù)表示是上括號里應(yīng)該填

Jo36

【點(diǎn)睛】此題的關(guān)鍵是了解分?jǐn)?shù)分母表示的是三角形總數(shù)，分?jǐn)?shù)分子表示的是

陰影三角形的個(gè)數(shù)。

8.V

【分析】根據(jù)題意，黑色正方形的數(shù)量=圖形序號數(shù)，第n個(gè)圖形就有n個(gè)黑

第12頁共19頁

色正方形；白色正方形數(shù)量與序號數(shù)n(黑色數(shù)量)的數(shù)量關(guān)系是：白色數(shù)量

=5n+3,據(jù)此解答。

【詳解】當(dāng)n=8是，5x8+3=43；

照這樣畫下去，第8個(gè)圖形中白色小正方形的個(gè)數(shù)是43,故說法正確。

【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)與形的知識，關(guān)鍵能夠根據(jù)已知圖形數(shù)量找出數(shù)量關(guān)

系。

9.V

【分析】根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)：擺1個(gè)三角形需要小棒：3根；擺2個(gè)三角形需要小

棒(3+2)根；擺3個(gè)三角形需要小棒(3+2+2)根；……擺n個(gè)三角形需要

小棒的根數(shù)是3+2(n-l)。據(jù)此解答。

【詳解】擺n個(gè)三角形需要小棒

3+2(n-1)

=3+2n-2

=(2n+1)根

當(dāng)n=8時(shí)，

2x8+1

=16+1

=17(根)

用小棒擺圖形，擺第8個(gè)用了17根小棒。此說法正確。

故答案為：7

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，關(guān)鍵根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)這組圖形的規(guī)

律，并運(yùn)用規(guī)律做題。

第13頁共19頁

10.7

【分析】2條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)。3條直線兩兩相交，最多增加2個(gè)交

點(diǎn)，最多有3個(gè)交點(diǎn)。1+2=3個(gè)。4條直線兩兩相交，最多增加3個(gè)交點(diǎn)，

最多有6個(gè)交點(diǎn)。1+2+3=6個(gè)。5條直線兩兩相交，最多增加4個(gè)交點(diǎn)，最

多有10個(gè)交點(diǎn)。1+2+3+4=10個(gè)。6條直線兩兩相交，最多增加5個(gè)交

點(diǎn)，最多有15個(gè)交點(diǎn)。1+2+3+4+5=15個(gè)。根據(jù)以上規(guī)律可知，n條直線

兩兩相交，最多有1+2+3+4+…+(n-1)個(gè)交點(diǎn)。

【詳解】由分析可知：

1+2+3+4+5

=3+3+4+5

=6+4+5

=10+5

=15(個(gè))

則同一平面內(nèi)的6條直線，最多有15個(gè)交點(diǎn)。原題干說法正確。

故答案為：7

11.(1)見詳解；

(2)52；144

【分析】(])觀察圖形可知，第①幅圖中一共有9個(gè)圖形，表示為32,?有

1個(gè)，表示為12；。有8個(gè)，表示為32-12；

第②幅圖中一共有16個(gè)圖形，表示為42,?有4個(gè)，表示為22；。有12

個(gè)，表示為42-22；

第③幅圖中一共有25個(gè)圖形，表示為52,?有9個(gè)，表示為32；。有16

第14頁共19頁

個(gè)，表示為52-32；

由此可知，第n幅圖?有n2,。有(n+2)2-n2；第四幅圖?有42=16

個(gè)，。有62-42=20個(gè)，據(jù)此畫出第④幅圖；

(2)根據(jù)以上規(guī)律，第12幅圖中，。個(gè)數(shù)有(12+2)2-122個(gè)；?個(gè)數(shù)有

122個(gè),據(jù)此解答。

【詳解】分析可知：

OOOOOO

OOOOOO????O

OOOOO???OO????O

⑴OOOO???O

fO?OO??OO???OO????O

OOOooooooooooooooo

①②③

(2)。的個(gè)數(shù)：(12+2)2-122

=142-144

=196-144

=52(個(gè))

?個(gè)數(shù)：122=144(個(gè))

第12幅圖中有52個(gè)O,有144個(gè)?。

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)與形，關(guān)鍵是根據(jù)所給圖形找出規(guī)律，并利用規(guī)律解

答問題。

12.(1)386n+2

⑵200

(3)14

【分析】(1)根據(jù)題意分析可得：擺1條金魚需8根火柴棒，此后，每條金魚

都比前一條金魚多用6根，故按照上面的規(guī)律，擺n條“金魚”需用火柴棒的

第15頁共19頁

根數(shù)為8+(n-1)x6根；據(jù)此解答。

(2)根據(jù)(1)求出8條金魚需要多少根火柴棒，即一組需要多少根火柴棒，

進(jìn)而求出4組需要的火柴棒。

(3)我們需要用88根火柴棒減去2根火柴棒，因?yàn)榈谝粭l金魚用的是8根火

榮棒。其余都是用的6根。所以減去第一條多的2根，再除以6,就可以得到

88根火柴最多可以擺多少這樣的金魚。當(dāng)剩下不足6根火柴棒是不能組成一條

“金魚”。

【詳解】⑴8+(6-1)x6

=8+5x6

=8+30

=38(根)

8+(n-1)x6

=8+(6n-6)

=8+6n-6

=(6n+2)根

按照上面的規(guī)律，擺6條“金魚”需要38根火柴棒，擺n條“金魚”需要

(6n+2)根火柴棒。

(2)當(dāng)n=8時(shí)，

6n+2

=6x8+2

=48+2

=50(根)

第16頁共19頁

50x4=200（根）

如果要擺4組“金魚”，每組擺8條，按照上面的擺法，需要準(zhǔn)備200根火柴

棒。

（3）（88-2）+6

=86+6

-14（條）

準(zhǔn)備88根火柴棒最多能擺14條這樣的“金魚”。

13.40個(gè)

【分析】觀察題意可知，圖①的最外圈正方形個(gè)數(shù)=8x1,圖②的最外圈正方

形個(gè)數(shù)=8x2,圖③的最外圈正方形個(gè)數(shù)=8x3,……,據(jù)此推出圖n的最外圈

正方形個(gè)數(shù)=8n,據(jù)此可得第5個(gè)圖形最外圈有多少個(gè)小正方形。

【詳解】圖①的最外圈正方形個(gè)數(shù)：8=8x1

圖②的最外圈正方形個(gè)數(shù)：16=8x2

圖③的最外圈正方形個(gè)數(shù)：24=8x3

圖n的最外圈正方形個(gè)數(shù)：8n

當(dāng)n=5時(shí)，

8n

=8x5

=40（個(gè)）

答：第5個(gè)圖形最外圈有40個(gè)小正方形。

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，關(guān)鍵根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)這組圖形的規(guī)

第17頁共19頁

律，并運(yùn)用規(guī)律做題。

知識拓展

“數(shù)形結(jié)合”是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法之一。請你結(jié)合圖形回答。

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［,44881616nn

【分析】

表示把大正方形看作單位’T,把它平均分成2份，深