二項式定理教學(xué)課件

二項式定理教學(xué)課件二項式定理考點新知①能用計數(shù)原理證明二項式定理；會用二項式定理解決與二項式定理有關(guān)的簡單問題．②會用二項展開式以及展開式的通項，特別要注意有關(guān)二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別.1.(選修23P32練習(xí)5改編)在(1－x)6展開式中，含x3項的系數(shù)是________．答案：－20162.(選修23P32練習(xí)6改編)?x＋?x的二項展開式的常數(shù)項為________．答案：2013.(選修23P35習(xí)題7改編)?x2－n的展開式中，常數(shù)項為15，則n＝________.答案：6?x4.(選修23P35習(xí)題12改編)若(x－a)8＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a8x8，且a5＝56，則a0＋a1＋a2＋?＋a8＝________.答案：2563?n5.(xx·上海理)在二項式?＋的展開式中，各項系數(shù)之和為A，各項二項式系數(shù)之和?x?為B，且A＋B＝72，則n＝________..答案：31.二項式定理(a＋b)＝Cna＋Cnab＋?＋Cnab＋?＋Cnb(n∈N)．這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其n－rr中的系數(shù)C叫做二項式展(r＝0,1,2，?，n)叫做第r＋1項的二項式系數(shù)．式中的n－rr開式的第r＋1項(通項)，用Tr＋1表示，即展開式的第r＋1項；Tr＋1＝n0n1n－1rn－rrnn2.二項展開式形式上的特點(1)項數(shù)為(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.1n－1n(4)二項式的系數(shù)從0Cn，一直到Cn3.二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等．(2)如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)相等并且最大．1nn(3)二項式系數(shù)的和等于n，即0(4)二項式展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即0n－1＋C＋?＝C＋C2.題型1二項式展開式的特定項1n2例1如果?x－的展開式中，第四項和第七項的二項式系數(shù)相等，?x(1)求展開式的中間項；?1?n－1(2)求?4?展開式中所有的有理項．?2?1n23636解：(1)?x－展開式中，第四項和第七項的二項式系數(shù)分別是CC由Cn，n，n＝Cn，?x1126－3425得n＝9，所以?x2－9展開式的中間項為第5項和第6項，即T5＝(－1)4C49(x)(x)?xx126－3524T6＝(－1)5C59(x)(x)x(2)通項為rTr＋1＝C8(－1?r1?rr16－3r4?＝?－C8x(r＝0,1,2，?，8)，為使Tr＋1為有??24?2?8－r1?0044理項，必須r是4的倍數(shù)，所以r＝0,4,8，共有三個有理項，分別是T1＝?－C8x＝x，?2?1?44351－2?18C8T5＝?－Cx，T.8x＝9＝－8x?2??28256x題型2二項式系數(shù)11例2已知?x＋?n的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列．設(shè)?x＋?n＝a0＋a1x＋a2x2?2??2?＋?＋anxn.求：(1)a5的值；(2)a0－a1＋a2－a3＋?＋(－1)nan的值；(3)ai(i＝0,1,2，?，n)的最大值．1121解：(1)由題設(shè)，得C0n＋×Cn＝2××Cn，42即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，n＝1(舍)．Tr＋1＝C8xr8－r?1?r，令8－r＝5r＝3，所以a5＝7.?2?1(2)在等式的兩邊取x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋?＋a8＝.25611≥?22(3)設(shè)第r＋1的系數(shù)最大，則?11≥?22r8r8r＋1＋C8r－1－C8.?即?112r9－r118－r2?r＋1?，解得r＝2或r＝3.所以ai系數(shù)最大值為7.1.(xx·重慶理)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n＝________.答案：7n！n！56656解析：由題意可得C5nn3＝Cn3，即Cn＝3Cn5！?n－5?！6！?n－6?！＝7.2.(xx·安徽理)設(shè)(x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋?＋a21x，則a10＋a11＝________.答案：010解析：a10，a11分別是含x10和x11項的系數(shù)，所以a10＝－C1121，a11＝C21，所以a10＋a11＝－C21＋C21＝0.a??1?53.(xx·全國理)?x2x－的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項?x??x?為________．答案：40a5?x＋1解析：令x＝1得各項系數(shù)和為?1＋(2－1)＝(1＋a)＝2，∴a＝1，所以原式變?yōu)?1?x111021221?2x－15，?2x－1?5展開式的通項為Tr＋1＝Cr5(2x)5－r?－1?r＝Cr525－r(－1)rx5－2r.令5－2r＝－1，??x?x?x?232得r＝3；令5－2r＝1，得r＝2，所以常數(shù)項為(－1)322C35＋(－1)2C5＝40.4.(xx·浙江理)設(shè)二項式?x－?a?6(a>0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項為B，若B?＝4A，則a＝________.答案：2解析：由題意，得r6－rTr＋1＝C6x?－a?r＝(－a)rCrx6－3r，∴A＝(－a)2C2，B＝(－a)4C4.666??2222又∵B＝4A，∴(－a)4C46＝4(－a)C6，解之得a＝4.又∵a>0，∴a＝2.n－1n－2－15若n是奇數(shù)，則7n＋C1＋C2＋?＋Cnn7n7n7被9除的余數(shù)是________．答案：7解析：原式＝(7＋1)n－1＝(9－1)n－1＝9k－2＝9k′＋7(k和k′均為正整數(shù))．課堂教學(xué)安排課堂教學(xué)安排課堂教學(xué)安排授課內(nèi)容二項式定理（1）特定項的求法授課人姚紅雨二項式定理復(fù)習(xí)課計劃安排兩個課時，本課是第一課時，主要復(fù)習(xí)二項展開式和通項。高考要求：1、對二項式定理的掌握與應(yīng)用：以二項展開式（或多項展開式）中某一項（或某一項的系數(shù)）的問題為主打試題；2、對二項展開式的性質(zhì)的掌握與應(yīng)用：二項展開式中二項式系數(shù)的和與各項系數(shù)的和；組合多項式的求和等問題。根據(jù)歷年高考對這部分的考查情況，結(jié)合學(xué)生的特點，設(shè)定如下教學(xué)目標(biāo)：知識與技能（1）理解并掌握二項式定理，從項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、通項幾個特征熟記它的展開式。（2）會運(yùn)用展開式的通項公式求展開式的特定項。過程與方法在教學(xué)中中教給學(xué)生怎樣記憶數(shù)學(xué)公式，如何提高記憶的持久性和準(zhǔn)確性，從而優(yōu)化記憶品質(zhì)。記憶力是一般數(shù)學(xué)能力，是其它能力的基礎(chǔ)。在解題時樹立由一般到特殊的解決問題的意識。情感、態(tài)度、價值觀通過對二項式定理的復(fù)習(xí)，有意識地讓學(xué)生演練一些歷年高考試題，使學(xué)生體驗到成功，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。教學(xué)重點運(yùn)用展開式的通項公式求展開式的特定項教學(xué)難點轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng)教學(xué)方法講練結(jié)合學(xué)法指導(dǎo)在例題中培養(yǎng)解題常規(guī)方法及思想，通過課堂即時練習(xí)強(qiáng)化鞏固。教學(xué)過程1.知識點歸納（任務(wù)1）寫出二項式定理。?a?b?n?Cn0anb0???Can?rbr???Cnna0bn，?n?N*?所表示的定理，叫做二項式定理，右邊的多項式叫做?a?b?的二項式展開式。n（問題1）二項式系數(shù)是什么？通項是什么？（熱身練習(xí)1）按二項式定理展開（1）?1?x?（2）?1?2x?n3（問題2）系數(shù)和二項式系數(shù)是什么？（熱身練習(xí)2）求取下式的指定項?21?x??（1）求二項式???的展開式中的常數(shù)項；2x??（2）在x2?2?3x?的展開式中，x項的系數(shù)為6510例題組1、（1）求x2?2x?1展開式中的x的系數(shù).（2）、求(1?x?x2)6展開式中x5的系數(shù)．（3）求(1?x)3(1?x)10展開式中x5的系數(shù)；（1）分析：很明顯該式是一個完全平方式，可以轉(zhuǎn)化為二項式定理。解：完全平方法：x2?2x?1=?x?1?6??33??3rr通項Tr?1???1?C6x，取r=3r得x的系數(shù)為-20。（2）分析：(1?x?x2)6不是二項式，我們可以通過1?x?x2?(1?x)?x2或1?(x?x2)把它看成二項式展開．解：組合為兩項展開觀察法：(1?x?x2)6?(1?x)?x2?(1?x)6?6(1?x)5x2?15(1?x)4x4??53555其中含x的項為C5C16x?6C5x?154x?6x．53??65含x項的系數(shù)為6．組合為兩項通項公式法：(1?x?x2)6?1?(x?x2)r2通項Tr?1?C6x?x??6??r再對x?x2??使用通項公式rTS?!?Crsxr?s?x2=Crs??1?sxr?s得到Tr?1?C6Crs??1?xr?srs??s這里0?r?6，0?s?r5其中含x的項需滿足r?s?5，滿足條件的r、s記為?r,s?有?5,0?、?4,1?、?3,2?∴x項的系數(shù)為6．排列組合法：本題還可通過把(1?x?x)看成6個1?x?x相乘，每個因式各取2625一項相乘可得到乘積的一項，x5項可由下列幾種可能得到．5個因式中取x，一個取1得到5．C5x61323個因式中取x，一個取?x2，兩個取1得到C36?C3x?(?x)．2221個因式中取x，兩個取?x2，三個取1得到C16?C5x?(?x)．5311255合并同類項為(C5，項的系數(shù)為6．x?CC?CC)x?6x66365（3）分析：本題可以轉(zhuǎn)化為二項式展開的問題，視為兩個二項展開式相乘；解：局部展開法：注意到x次數(shù)不高，對其局部展開5?1?x?3?1?x?10=?1?3x?3x2?x3??1?10x?45x2?120x3?210x4?252x5??展開式中的x5可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類項：55用(1?x)展開式中的常數(shù)項乘以(1?x)展開式中的x5項，可以得到C10x；4用(1?x)3展開式中的一次項乘以(1?x)10展開式中的x項可得到3104445(?3x)(C10x)??3C10x；3335用(1?x)中的x乘以(1?x)展開式中的x可得到3x2?C10x?3C10x；2225用(1?x)中的x項乘以(1?x)展開式中的x項可得到?3x3?C10x??C10x，53210333102合并同類項得x項為：5432(C10?C10?3C10?C10)x5??63x5．變式練習(xí)1：1??1、求?x??1?的展開式中的常數(shù)項。(資料基7)x???1?1??2、1?x?（資料綜1）??展開式中的常數(shù)項為（）x??65??10A．1B.46C.4245D.42461??2、若?x??2?的展開式的常數(shù)項為?20，求n．x??分析：題中x?0，當(dāng)x?0時，把三項式n1???x??2?x??nn11????轉(zhuǎn)化為?x??2???x??xx????2nn2n；當(dāng)x?0時，同理11???n?然后寫出通項，令含x的冪指數(shù)為零，進(jìn)而解出n．?．?x??2??(?1)??x?x?x????11????解：當(dāng)x?0時?x??2???x??，其通項為xx????r2n?rTr?1?C2(?n(x)n2n1rr2n?2r，)?(?1)rC2n(x)x令2n?2r?0，得n?r，n∴展開式的常數(shù)項為(?1)nC2n；11????當(dāng)x?0時，?x??2??(?1)n??x??，x?x????n同理可得，展開式的常數(shù)項為(?1)nC2n．n無論哪一種情況，常數(shù)項均為(?1)nC2n．n令(?1)nC2n??20，以n?1,2,3,?，逐個代入，得n?3．n2n?1?x??3、在???的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項。2x??有理項定義：系數(shù)為有理數(shù)，次數(shù)為整數(shù)的項叫做有理項分析：本題是典型的特定項問題，涉及到前三項的系數(shù)及有理項，可以通過抓通項公式解決．解：二項式的展開式的通項公式為：nTr?1n?r?1?r1?Cr(x)???Cxnn??r2?2x?r2n?3r4前三項的r?0,1,2.1得系數(shù)為：t1?1,t2?Cn由已知：2t2?t1?t3∴n?8通項公式為1111?n,t3?C2?n(n?1)，n22481n?1?n(n?1)，