專(zhuān)題07 幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變換問(wèn)題（原卷版）-2023屆中考數(shù)學(xué)壓軸大題專(zhuān)項(xiàng)突破

專(zhuān)題07幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變換問(wèn)題幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變換在中考?jí)狠S題中的考查非常頻繁。旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)：圖形通過(guò)旋轉(zhuǎn)，圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)都是旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等，對(duì)應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，圖形的形狀、大小都沒(méi)有發(fā)生變化。在解決旋轉(zhuǎn)變換的題目時(shí)，不僅要把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和幾何圖形的性質(zhì)外，還要求考生能夠在圖形變換中找到不變的量，通過(guò)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，將未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，陌生模型轉(zhuǎn)化為熟悉模型。 （2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，于點(diǎn)D，在DA上取點(diǎn)E，使，連接BE、CE．(1)直接寫(xiě)出CE與AB的位置關(guān)系；(2)如圖2，將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，得到（點(diǎn)，分別與點(diǎn)B，E對(duì)應(yīng)），連接，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中與的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是否一致?請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3，當(dāng)繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，射線(xiàn)與AD、分別交于點(diǎn)G、F，若，求的長(zhǎng)．（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠DAB=45°，∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，可得結(jié)論；（2）通過(guò)證明，可得，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）由等腰直角的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【答案】(1)CE⊥AB，理由見(jiàn)解析；(2)一致，理由見(jiàn)解析；(3)【詳解】（1）如圖，延長(zhǎng)CE交AB于H，∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，∵DE=CD，∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，∴CE⊥AB；（2）在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中與的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是一致的，理由如下：如圖2，延長(zhǎng)交于H，由旋轉(zhuǎn)可得：CD=，=AD，∵∠ADC=∠ADB=90°，∴，∵，∴,，∵+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH，∴∠DA+∠AGH=90°，∴∠AHC=90°，；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DH于點(diǎn)H，∵△BED繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，∴，，，∴AD=2DH，AH=DH=，，由（2）可知：，，∵AD⊥BC，CD=，∴DG=1，CG=2DG=2，∴CG=FG=2，，∴AG=2GF=4，∴AD=AG+DG=4+1=5，∴．本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，D，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，當(dāng)射線(xiàn)交于點(diǎn)G，射線(xiàn)交于點(diǎn)N時(shí)，連接并延長(zhǎng)交射線(xiàn)于點(diǎn)M，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．（1）連接，可得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得，根據(jù)中位線(xiàn)定理可得，即可得證；（2）證明，根據(jù)（1）的結(jié)論即可得；（3）連接，過(guò)點(diǎn)作于，證明，可得，勾股定理求得，根據(jù)，，可得，進(jìn)而求得，根據(jù)求得，根據(jù)（2）的結(jié)論，即可求解．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)，理由見(jiàn)解析；(3)【詳解】（1）證明：如圖，連接，，D，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，，，，，（2），理由如下，連接，如圖，，D，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，，，，，，，（3）如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作于，中，,，，，，，，，中，，中，，，，，，，，，，．本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，中位線(xiàn)的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，求角的正確，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（2022·山西·中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點(diǎn)D放在Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點(diǎn)M，N，猜想證明：（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說(shuō)明理由；問(wèn)題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求線(xiàn)段CN的長(zhǎng)；（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AM=AN時(shí)，直接寫(xiě)出線(xiàn)段AN的長(zhǎng)．（1）由三角形中位線(xiàn)定理得到，證明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可證明結(jié)論；（2）證明△NDC是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥BC于點(diǎn)G，證明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）延長(zhǎng)ND，使DH=DN，證明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，證明∠MBH=90°，設(shè)AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．【答案】（1）四邊形AMDN為矩形；理由見(jiàn)解析；（2）；（3）．【詳解】解：（1）四邊形AMDN為矩形．理由如下：∵點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴，∴∠AMD+∠A=180°，∵∠A=90°，∴∠AMD=90°，∵∠EDF=90°，∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，四邊形AMDN為矩形；（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，∴∠B+∠C=90°，．∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴CD=BC=5．∵∠EDF=90°，∴∠MDB+∠1=90°．∵∠B=∠MDB，∴∠1=∠C．∴ND=NC．過(guò)點(diǎn)N作NG⊥BC于點(diǎn)G，則∠CGN=90°．∴CG=CD=．∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，∴△CGN∽△CAB．∴，即，∴；（3）延長(zhǎng)ND至H，使DH=DN，連接MH，NM，BH，∵M(jìn)D⊥HN，∴MN=MH，∵D是BC中點(diǎn)，∴BD=DC，又∵∠BDH=∠CDN，∴△BDH≌△CDN，∴BH=CN，∠DBH=∠C，∵∠BAC=90°，∵∠C+∠ABC=90°，∴∠DBH+∠ABC=90°，∴∠MBH=90°，設(shè)AM=AN=x，則BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，解得x=，∴線(xiàn)段AN的長(zhǎng)為．本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，解第（3）問(wèn)的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．1．（2022·山東德州·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，平分交于點(diǎn).連接，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到．(1)連接，，求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)恰好落在直線(xiàn)上時(shí)，若，求的值．2．（2022·內(nèi)蒙古包頭·包鋼第三中學(xué)校考三模）已知中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．設(shè)旋轉(zhuǎn)角為(1)試說(shuō)明；(2)若，，當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)恰好落在邊中點(diǎn)處，求的值；(3)若，，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，延長(zhǎng)交于，若，求的值．3．（2022·浙江紹興·校聯(lián)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC=6，P為線(xiàn)段BC上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PC＝x．(1)如圖①，當(dāng)x＝2時(shí)，求AQ的長(zhǎng)；(2)如圖②，當(dāng)x＝3時(shí)，把△CPQ繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β度，（0＜β＜90°），求此時(shí)AQ的長(zhǎng)；(3)如圖③，將△PCQ沿PQ翻折，得到△PQM，點(diǎn)M是否可以落在△ABC的某邊的中垂線(xiàn)上？如果可以，求出相應(yīng)的x的值；如果不可以，說(shuō)明理由。4．（2022·浙江金華·校聯(lián)考二模）如圖，菱形ABCD中，，，點(diǎn)E是射線(xiàn)AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線(xiàn)段BE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF，連接DE、DF．(1)求證：；(2)如圖2，連接BD，CF，當(dāng)與相似時(shí)，求CE的長(zhǎng)；(3)當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在菱形的邊上時(shí)，求AE的長(zhǎng)．5．（2022·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考二模）在正方形ABCD中，，E是邊CD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合），分別連接AE，BE，將線(xiàn)段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到EF，將線(xiàn)段BE繞點(diǎn)E逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到EG，連接DF，CG．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)時(shí)，求證：；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)．直接寫(xiě)出的值；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，取AB的中點(diǎn)H，連接EH．①EH的長(zhǎng)為；②DE的長(zhǎng)為．6．（2022·海南?？凇そy(tǒng)考二模）如圖1，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，