專題07 五大最值問(wèn)題模型（原卷版）

專題07五大最值問(wèn)題模型一、【知識(shí)回顧】（1）將軍飲馬模型：①一定兩動(dòng)②一定兩動(dòng)③兩定兩動(dòng)（2）費(fèi)馬點(diǎn)模型：（如圖：求PA+PB+PC最小值，圖3CD為所求最小值）（3）阿氏圓模型：（4）胡不歸模型：（5）隱圓最值模型：①四點(diǎn)共圓：②動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)等定長(zhǎng)：③直角所對(duì)的是直徑：④定弦對(duì)定角：二、【考點(diǎn)類型】考點(diǎn)1：將軍飲馬模型典例1：（2022春·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，弦AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)D作射線AC的垂線，垂足為M，點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：MD是⊙O的切線；(2)若∠B＝30°，AB＝8，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)E恰好運(yùn)動(dòng)到∠ACB的角平分線上，連接CE并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)P，連接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的長(zhǎng)．【變式1】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在等邊中，于，．點(diǎn)分別為上的兩個(gè)定點(diǎn)且，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為_(kāi)_____．【變式2】（2023春·山東青島·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是內(nèi)任意一點(diǎn)，，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線和射線上的動(dòng)點(diǎn)，，則周長(zhǎng)的最小值是______．【變式3】（2022春·貴州銅仁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像經(jīng)過(guò)A（1，4），B（4，1）兩點(diǎn)，并且交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D．(1)求該一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若y軸存在一點(diǎn)P使PA＋PB的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PA＋PB的最小值；(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使△MOA的面積等于△AOB的面積；若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)2：費(fèi)馬點(diǎn)模型典例2：（2021秋·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，P是內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值為_(kāi)_____．【變式1】（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC（不含點(diǎn)A）上任意一點(diǎn)，AB=；（1）如圖1，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，連接EF；①把圖形補(bǔ)充完整（無(wú)需寫(xiě)畫(huà)法）；

②求的取值范圍；(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．【變式2】（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求的最小值．【變式3】（2022春·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn)在軸的正半軸上，，OE為△BOD的中線，過(guò)B、兩點(diǎn)的拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)）.（1）求拋物線的解析式；（2）等邊△的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)為△內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值,以及取得最小值時(shí)，線段的長(zhǎng).考點(diǎn)3：阿氏圓模型典例3：（2023春·江蘇·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，的半徑為2，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是______．【變式1】（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為_(kāi)_______．【變式2】（2023秋·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？计谀┮阎c有公共頂點(diǎn)C，為等邊三角形，在中，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，連接AD，已知四邊形ABDC的面積為，求的值；(2)如圖2，，A、E、D三點(diǎn)共線，連接、，取中點(diǎn)M，連接，求證：；(3)如圖3，，，將以C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，取中點(diǎn)F，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求的值．【變式3】（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，求：①，②，③，④的最小值．考點(diǎn)4：胡不歸模型典例4：（2023秋·四川樂(lè)山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，若D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【變式1】（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．【變式2】（2022·湖北武漢·校聯(lián)考一模）如圖，在中，，，半徑為的經(jīng)過(guò)點(diǎn)，是圓的切線，且圓的直徑在線段上，設(shè)點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)不含端點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．【變式3】（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，則AM+BM的最小值為_(kāi)____．考點(diǎn)5：隱圓最值模型典例5：（2023秋·浙江金華·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且．連結(jié)，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1】（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形為矩形，，．點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)．，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形中，，，，，點(diǎn)是四邊形內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則面積的最小值為_(kāi)_____．【變式3】（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中點(diǎn)，E為AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)在△ABC內(nèi)（不含△ABC的邊上），則BE長(zhǎng)的范圍為_(kāi)_____．鞏固訓(xùn)練一、單選題1．（2022秋·安徽池州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，點(diǎn)P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D，則的最小值為（

）A． B． C．5 D．2．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，為正方形邊上一點(diǎn)，，，為對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．103．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)，若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，連接PD，則的最小值是（

）A．4 B． C． D．4．（2022·河南·校聯(lián)考三模）如圖1，正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)從向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，其中點(diǎn)是函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的半徑是，P是上一動(dòng)點(diǎn)，A是內(nèi)部一點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）①PA的最小值為；②PA的最大值為；③當(dāng)時(shí)，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面積最大為．A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④7．（2022秋·北京海淀·九年級(jí)校考期中）如圖，如圖，的半徑為2，圓心的坐標(biāo)為，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，，，與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．68．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．9．（2022·福建廈門·福建省廈門集美中學(xué)校考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)E、F分別是正方形OACD的邊OD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且，過(guò)原點(diǎn)O作，垂足為H，連接HA、HB，則面積的最大值為（

）A． B．12 C． D．10．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，若是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值（

）A． B． C． D．二、填空題11．（2022秋·山東菏澤·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在周長(zhǎng)為的菱形中，，，若為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．12．（2023秋·山東東營(yíng)·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，是⊙O的弦，點(diǎn)C在⊙O內(nèi)，，連接，若⊙O的半徑是4，則長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．13．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點(diǎn)，且CD＝3，E是BC邊上一點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連接BF，則BF的最小值為_(kāi)______．14．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l分別交x、y軸于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則的最小值是______．15．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點(diǎn)，點(diǎn)C（0，1）在y軸上，點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則PC＋PB的最小值為_(kāi)__．三、解答題16．（2023秋·江西宜春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，邊的垂直平分線交于點(diǎn)D，若，(1)求的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫(xiě)出的最小值為_(kāi)________．17．（2022秋·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，連接，，．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，則______°；(2)當(dāng)時(shí)，①如圖2，連接，判斷的形狀，并證明；②如圖3，直線與交于點(diǎn)，滿足．為直線上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，用等式表示，與之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，并證明．18．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系，，直線經(jīng)過(guò)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，求最小值．19．（2021春·江蘇蘇州·八年級(jí)校考期中）定義：既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”，如圖1，在中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，，連接、，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，且連接、．(1)觀察猜想線段與______填（“是”或“不是”）“等垂線段”．(2)繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接，，試判斷與是否為“等垂線段”，并說(shuō)明理由．(3)拓展延伸把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的積的最大值．20．（2022秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)山東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)（），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式：(2)設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為，△AEN的周長(zhǎng)為，若求m的值．(3)如圖2，在（2）的條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為（），連接、，求的最小值．21．（2022·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線（a為常數(shù)，）與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC．(1)求a的值；(2)點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P（m，n）是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，分別連接BD、BC、CD、BP，當(dāng)∠PBA＝∠CBD時(shí)，求m的值；(3)點(diǎn)K為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，DK＝2，點(diǎn)M為線段BK的中點(diǎn)，連接AM，當(dāng)AM最大時(shí)，求點(diǎn)K的坐標(biāo)．22．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）問(wèn)題情境：如圖1，P是⊙O外的一點(diǎn)，直線PO分別交⊙O于點(diǎn)A，B，則PA是點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最短距離．（1）探究證明：如圖2，在⊙O上任取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)A，B重合），連接PC，OC．求證：PA＜PC．（2）直接應(yīng)用：如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是弧CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則AP的最小值是．（3）構(gòu)造運(yùn)用：如圖4，在