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文檔簡介
專題07五大最值問題模型一、【知識回顧】(1)將軍飲馬模型:①一定兩動②一定兩動③兩定兩動(2)費馬點模型:(如圖:求PA+PB+PC最小值,圖3CD為所求最小值)(3)阿氏圓模型:(4)胡不歸模型:(5)隱圓最值模型:①四點共圓:②動點到定點等定長:③直角所對的是直徑:④定弦對定角:二、【考點類型】考點1:將軍飲馬模型典例1:(2022春·全國·九年級期末)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB為直徑,弦AD平分∠BAC,過點D作射線AC的垂線,垂足為M,點E為線段AB上的動點.(1)求證:MD是⊙O的切線;(2)若∠B=30°,AB=8,在點E運動過程中,EC+EM是否存在最小值?若存在,請求出最小值;若不存在,說明理由;(3)若點E恰好運動到∠ACB的角平分線上,連接CE并延長,交⊙O于點F,交AD于點P,連接AF,CP=3,EF=4,求AF的長.【變式1】(2023春·八年級課時練習)如圖,在等邊中,于,.點分別為上的兩個定點且,點為線段上一動點,連接,則的最小值為______.【變式2】(2023春·山東青島·九年級專題練習)如圖,點P是內任意一點,,點M和點N分別是射線和射線上的動點,,則周長的最小值是______.【變式3】(2022春·貴州銅仁·八年級統(tǒng)考期末)如圖,已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過A(1,4),B(4,1)兩點,并且交x軸于點C,交y軸于點D.(1)求該一次函數(shù)的表達式;(2)若y軸存在一點P使PA+PB的值最小,求此時點P的坐標及PA+PB的最小值;(3)在x軸上是否存在一點M,使△MOA的面積等于△AOB的面積;若存在請直接寫出點M的坐標,若不存在請說明理由.考點2:費馬點模型典例2:(2021秋·四川成都·九年級成都實外??茧A段練習)如圖,在中,,P是內一點,求的最小值為______.【變式1】(2022秋·全國·九年級專題練習)在正方形ABCD中,點E為對角線AC(不含點A)上任意一點,AB=;(1)如圖1,將△ADE繞點D逆時針旋轉90°得到△DCF,連接EF;①把圖形補充完整(無需寫畫法);
②求的取值范圍;(2)如圖2,求BE+AE+DE的最小值.【變式2】(2022春·全國·九年級專題練習)如圖,正方形的邊長為4,點是正方形內部一點,求的最小值.【變式3】(2022春·江蘇·九年級期末)如圖,在平面直角坐標系xoy中,點B的坐標為(0,2),點在軸的正半軸上,,OE為△BOD的中線,過B、兩點的拋物線與軸相交于、兩點(在的左側).(1)求拋物線的解析式;(2)等邊△的頂點M、N在線段AE上,求AE及的長;(3)點為△內的一個動點,設,請直接寫出的最小值,以及取得最小值時,線段的長.考點3:阿氏圓模型典例3:(2023春·江蘇·九年級校考階段練習)如圖,正方形的邊長為4,的半徑為2,為上的動點,則的最大值是______.【變式1】(2022春·江蘇·九年級專題練習)如圖,邊長為4的正方形,內切圓記為⊙O,P是⊙O上一動點,則PA+PB的最小值為________.【變式2】(2023秋·重慶九龍坡·九年級重慶市育才中學??计谀┮阎c有公共頂點C,為等邊三角形,在中,.(1)如圖1,當點E與點B重合時,連接AD,已知四邊形ABDC的面積為,求的值;(2)如圖2,,A、E、D三點共線,連接、,取中點M,連接,求證:;(3)如圖3,,,將以C為旋轉中心旋轉,取中點F,當?shù)闹底钚r,求的值.【變式3】(2021·全國·九年級專題練習)如圖1,在RT△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,圓C的半徑為2,點P為圓上一動點,連接AP,BP,求:①,②,③,④的最小值.考點4:胡不歸模型典例4:(2023秋·四川樂山·九年級統(tǒng)考期末)如圖,在中,,若D是邊上的動點,則的最小值是(
)A.6 B.8 C.10 D.12【變式1】(2022春·全國·九年級專題練習)如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=x2﹣2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點,與y軸交于點B(0,﹣3),若P是x軸上一動點,點D(0,1)在y軸上,連接PD,則PD+PC的最小值是(
)A.4 B.2+2 C.2 D.【變式2】(2022·湖北武漢·校聯(lián)考一模)如圖,在中,,,半徑為的經(jīng)過點,是圓的切線,且圓的直徑在線段上,設點是線段上任意一點不含端點,則的最小值為______.【變式3】(2022秋·浙江·九年級專題練習)如圖,四邊形ABCD是菱形,AB=8,且∠ABC=60°,M為對角線BD(不含B點)上任意一點,則AM+BM的最小值為_____.考點5:隱圓最值模型典例5:(2023秋·浙江金華·九年級統(tǒng)考期末)如圖,正方形的邊長為4,點E是正方形內的動點,點P是邊上的動點,且.連結,,,,則的最小值為(
)A. B. C. D.【變式1】(2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題)如圖,四邊形為矩形,,.點P是線段上一動點,點M為線段上一點.,則的最小值為(
)A. B. C. D.【變式2】(2023秋·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末)如圖,四邊形中,,,,,點是四邊形內的一個動點,滿足,則面積的最小值為______.【變式3】(2022春·全國·九年級專題練習)△ABC中,AB=AC=5,BC=6,D是BC的中點,E為AB上一動點,點B關于DE的對稱點在△ABC內(不含△ABC的邊上),則BE長的范圍為______.鞏固訓練一、單選題1.(2022秋·安徽池州·九年級統(tǒng)考期末)如圖,中,,點P為AC邊上的動點,過點P作于點D,則的最小值為(
)A. B. C.5 D.2.(2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市鳳鳴山中學校聯(lián)考期末)如圖,為正方形邊上一點,,,為對角線上一個動點,則的最小值為(
)A.5 B. C. D.103.(2022秋·浙江杭州·九年級杭州外國語學校校考開學考試)如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、C兩點,與x軸交于點,若P是x軸上一動點,點D的坐標為,連接PD,則的最小值是(
)A.4 B. C. D.4.(2022·河南·校聯(lián)考三模)如圖1,正方形中,點是的中點,點是對角線上的一個動點,設,,當點從向點運動時,與的函數(shù)關系如圖2所示,其中點是函數(shù)圖象的最低點,則點的坐標是(
)A. B. C. D.5.(2022秋·河北邢臺·九年級統(tǒng)考期末)如圖,的半徑是,P是上一動點,A是內部一點,且,則下列說法正確的是(
)①PA的最小值為;②PA的最大值為;③當時,△PAO是等腰直角三角形;④△PAO面積最大為.A.①③④ B.①②④ C.①②③ D.②③④7.(2022秋·北京海淀·九年級??计谥校┤鐖D,如圖,的半徑為2,圓心的坐標為,點是上的任意一點,,,與x軸分別交于A,B兩點,若點A、點B關于原點O對稱,則的最小值為(
)A.3 B.4 C.5 D.68.(2023春·九年級課時練習)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=7,AC=9,以C為圓心、3為半徑作⊙C,P為⊙C上一動點,連接AP、BP,則AP+BP的最小值為(
)A.7 B.5 C. D.9.(2022·福建廈門·福建省廈門集美中學校考一模)如圖,在平面直角坐標系中,直線分別與x軸、y軸相交于點A、B,點E、F分別是正方形OACD的邊OD、AC上的動點,且,過原點O作,垂足為H,連接HA、HB,則面積的最大值為(
)A. B.12 C. D.10.(2023春·全國·八年級專題練習)如圖,在中,,,,若是邊上的動點,則的最小值(
)A. B. C. D.二、填空題11.(2022秋·山東菏澤·九年級??茧A段練習)如圖,在周長為的菱形中,,,若為對角線上一動點,則的最小值為______.12.(2023秋·山東東營·九年級??计谀┤鐖D,是⊙O的弦,點C在⊙O內,,連接,若⊙O的半徑是4,則長的最小值為______.13.(2022春·全國·九年級專題練習)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,D是AC上一點,且CD=3,E是BC邊上一點,將△DCE沿DE折疊,使點C落在點F處,連接BF,則BF的最小值為_______.14.(2023春·全國·八年級專題練習)如圖,在平面直角坐標系中,直線l分別交x、y軸于B、C兩點,點A、C的坐標分別為(3,0)、(0,﹣3),且∠OCB=60°,點P是直線l上一動點,連接AP,則的最小值是______.15.(2022秋·浙江·九年級專題練習)如圖,直線y=x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點,點C(0,1)在y軸上,點P在x軸上運動,則PC+PB的最小值為___.三、解答題16.(2023秋·江西宜春·八年級統(tǒng)考期末)如圖,在中,邊的垂直平分線交于點D,若,(1)求的長;(2)若點P是直線上的動點,直接寫出的最小值為_________.17.(2022秋·河北保定·八年級統(tǒng)考期末)在中,,為延長線上一點,點為線段,的垂直平分線的交點,連接,,.(1)如圖1,當時,則______°;(2)當時,①如圖2,連接,判斷的形狀,并證明;②如圖3,直線與交于點,滿足.為直線上一動點.當?shù)闹底畲髸r,用等式表示,與之間的數(shù)量關系為______,并證明.18.(2022春·全國·九年級專題練習)在平面直角坐標系,,直線經(jīng)過,點在直線上運動,求最小值.19.(2021春·江蘇蘇州·八年級??计谥校┒x:既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”,如圖1,在中,,,點、分別在邊、上,,連接、,點、、分別為、、的中點,且連接、.(1)觀察猜想線段與______填(“是”或“不是”)“等垂線段”.(2)繞點按逆時針方向旋轉到圖2所示的位置,連接,,試判斷與是否為“等垂線段”,并說明理由.(3)拓展延伸把繞點在平面內自由旋轉,若,,請直接寫出與的積的最大值.20.(2022秋·山東濟南·九年級山東師范大學第二附屬中學校考階段練習)如圖1,拋物線與x軸交于點,與y軸交于點B,在x軸上有一動點(),過點E作x軸的垂線交直線AB于點N,交拋物線于點P,過點P作PM⊥AB于點M.(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達式:(2)設△PMN的周長為,△AEN的周長為,若求m的值.(3)如圖2,在(2)的條件下,將線段OE繞點O逆時針旋轉得到,旋轉角為(),連接、,求的最小值.21.(2022·湖南長沙·模擬預測)如圖,拋物線(a為常數(shù),)與x軸分別交于A,B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C,且OB=OC.(1)求a的值;(2)點D是該拋物線的頂點,點P(m,n)是第三象限內拋物線上的一個點,分別連接BD、BC、CD、BP,當∠PBA=∠CBD時,求m的值;(3)點K為坐標平面內一點,DK=2,點M為線段BK的中點,連接AM,當AM最大時,求點K的坐標.22.(2022秋·江蘇·九年級期中)問題情境:如圖1,P是⊙O外的一點,直線PO分別交⊙O于點A,B,則PA是點P到⊙O上的點的最短距離.(1)探究證明:如圖2,在⊙O上任取一點C(不與點A,B重合),連接PC,OC.求證:PA<PC.(2)直接應用:如圖3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,以BC為直徑的半圓交AB于D,P是弧CD上的一個動點,連接AP,則AP的最小值是.(3)構造運用:如圖4,在
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