第16章 三角形的“四心”-假期晉級(jí)利器之初升高數(shù)學(xué)銜接教材（解析版）

第16章三角形的“四心”【知識(shí)銜接】————初中知識(shí)回顧————1、重心：三角形的三條中線(xiàn)交點(diǎn)．2、外心：是三角形三邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)．3、內(nèi)心：是三角形的三內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)．4、垂心：是三角形三條高的交點(diǎn)．————高中知識(shí)鏈接————1、重心：它到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍，重心和三頂點(diǎn)的連線(xiàn)將△ABC的面積三等分，重心一定在三角形內(nèi)部．2、外心：它到各頂點(diǎn)的距離相等，銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，鈍角三角形的外心在三角形外．學(xué)-科網(wǎng)3、內(nèi)心：它到三邊的距離相等，內(nèi)心一定在三角形內(nèi)．4、垂心：垂心和三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三條高的垂足組成六組四點(diǎn)共圓，銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)，直角三角形的垂心為直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形外．【經(jīng)典題型】初中經(jīng)典題型例1：求證三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)，且被該交點(diǎn)分成的兩段長(zhǎng)度之比為2：1．已知：D、E、F分別為三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成2：1．證明：連結(jié)DE，設(shè)AD、BE交于點(diǎn)G，D、E分別為BC、AE的中點(diǎn)，則DE//AB，且，∽，且相似比為1：2，．設(shè)AD、CF交于點(diǎn)，同理可得，則與重合，AD、BE、CF交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成．例2：已知的三邊長(zhǎng)分別為，I為的內(nèi)心，且I在的邊上的射影分別為，求證：．證明：作的內(nèi)切圓，則分別為內(nèi)切圓在三邊上的切點(diǎn)，例3：已知：O為的重心和內(nèi)心，求證：為等邊三角形．證明：如圖，連AO并延長(zhǎng)交BC于D，O為三角形的內(nèi)心，故AD平分，（角平分線(xiàn)性質(zhì)定理）O為三角形的重心，D為BC的中點(diǎn)，即BD=DC．，即．同理可得，AB=BC．為等邊三角形．例4：已知：中，AD與BE交于H點(diǎn)．求證：．高中經(jīng)典題型1、已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為5，12，13，則其垂心到外心的距離為，重心到垂心的距離為．【答案】6.5，2、已知三角形的三邊長(zhǎng)為5，12，13，則其內(nèi)切圓的半徑＝．【答案】23、在△ABC中，∠A是鈍角，O是垂心，AO＝BC，則cos（∠OBC+∠OCB）=．【答案】4、設(shè)G為△ABC的重心，且AG＝6，BG＝8，CG＝10，則△ABC的面積為．【答案】725、若，那么以、、為三邊的△ABC的內(nèi)切圓，外接圓的半徑之和為．A、 B、C、 D、【答案】A【實(shí)戰(zhàn)演練】————先作初中題——夯實(shí)基礎(chǔ)————A組1．在三角形內(nèi)部，到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是（）A．三條中線(xiàn)的交點(diǎn)B．三條高線(xiàn)交點(diǎn)C．三個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)交點(diǎn)D．三邊垂直平分線(xiàn)交點(diǎn)【答案】C【解析】試題解析：如圖，∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG=OF，∴O在∠A的平分線(xiàn)上，同理O在∠B的平分線(xiàn)上，O在∠C的平分線(xiàn)上，即O是三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，故選C．2．已知等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，G是△ABC的重心，那么AG=_____．【答案】【解析】分析：如圖延長(zhǎng)AG交BC于H．利用等腰三角形的三線(xiàn)合一，可知AH是高，利用勾股定理求出AH，根據(jù)重心的性質(zhì)AG=AH計(jì)算即可．詳解：如圖延長(zhǎng)AG交BC于H．∵G是重心，∴BH=CH=3．∵AB=AC=5，∴AH⊥BC，∴AH==4，∴AG=AH=．故答案為：．3．如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，AG的延長(zhǎng)線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)G作GE∥BC交AC于點(diǎn)E，如果BC＝6，那么線(xiàn)段GE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】2【解析】分析：由點(diǎn)G是△ABC重心，BC=6，易得CD=3，AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可證得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得線(xiàn)段GE的長(zhǎng)．詳解：∵點(diǎn)G是△ABC重心，BC=6，∴CD=BC=3，AG：AD=2：3，∵GE∥BC，∴△AEG∽△ADC，∴GE：CD=AG：AD=2：3，∴GE=2．故答案為：2．點(diǎn)睛：本題考查了三角形重心的定義和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)．利用三角形重心的性質(zhì)得出AG：AD=2：3是解題的關(guān)鍵．4．已知點(diǎn)G是△ABC的重心，AG=8，那么點(diǎn)G與邊BC中點(diǎn)之間的距離是________．【答案】4【解析】分析：根據(jù)三角形重心的性質(zhì)進(jìn)行求解．詳解：如圖，D是BC邊的中點(diǎn)，∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD=8，即GD=4，故點(diǎn)G與邊BC中點(diǎn)之間的距離是4．故答案為4．5．如圖，等腰直角的中線(xiàn)、相交于點(diǎn)，若斜邊的長(zhǎng)為，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】【解析】∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴中線(xiàn)、的交點(diǎn)為的重心，∴，∵，等腰直角，∴，，于，∴中，．點(diǎn)睛：本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、三角形的中心的概念和性質(zhì)，掌握三角形的重心是三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍是解題的關(guān)鍵．6．．如圖，在△ABC中，AB=AC，AB邊的垂直平分線(xiàn)DE交AC于點(diǎn)D．已知△BDC的周長(zhǎng)為14，BC=6，則AB=___．【答案】8【解析】試題分析：根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，可知AD=BD，然后根據(jù)△BDC的周長(zhǎng)為BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8．故答案為：8．點(diǎn)睛：此題主要考查了線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，解題時(shí)，先利用線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)求出BD=AD，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)互相代換，即可其解．7．閱讀下面材料：如圖，AB是半圓的直徑，點(diǎn)C在半圓外，老師要求小明用無(wú)刻度的直尺畫(huà)出△ABC的三條高．小明的作法如下：（1）連接AD，BE，它們相交于點(diǎn)P；（2）連接CP并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)F．所以，線(xiàn)段AD，BE，CF就是所求的△ABC的三條高．請(qǐng)回答，小明的作圖依據(jù)是________．【答案】半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，三角形三條高線(xiàn)相交于一點(diǎn)．【解析】∵AB是直角，∴∠AEB＝90°，∠ADB=90°，∴AD,BE是△ABC的高．∵三角形三條高線(xiàn)相較于一點(diǎn)，∴CF是△ABC的高8．如圖，在中，，平分，于，如果，那么等于_________cm．【答案】3【解析】根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得，從而得出故填3．9．中，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)且到三邊的距離相等，，則_________．【答案】110°【解析】試題解析：如圖，∵O到三角形三邊距離相等，∴O是內(nèi)心，∴AO，BO，CO都是角平分線(xiàn)，∴∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°-70°=110°．10．兩個(gè)城鎮(zhèn)與一條公路，一條河流的位置如圖所示，某人要修建一避暑山莊，要求該山莊到的距離必須相等，到和的距離也必須相等，且在的內(nèi)部，請(qǐng)畫(huà)出該山莊的位置．(不要求寫(xiě)作法，保留作圖痕跡．)【答案】作圖見(jiàn)解析．試題解析：如下圖，作線(xiàn)段的中垂線(xiàn)與的平分線(xiàn)交于點(diǎn),點(diǎn)即為所求．————再戰(zhàn)高中題——能力提升————B組1、在銳角△ABC中，內(nèi)角為A、B、C三邊為a、b、c，則內(nèi)心到三邊的距離之比為，重心到三邊的距離為，外心到三邊的距離之比為，垂心到三邊的距離之比為．2、如圖，銳角△ABC的垂心為H，三條高的垂足分別為D、E、F，則H是△DEF的．AAFBDCEH3、如圖，D是△ABC的邊BC上任一點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是△ABD和△ACD的重心連結(jié)EF交AD于G點(diǎn)，則DG：GA＝．AABCEGFMDN4、設(shè)△ABC的重心為G，GA＝，，，則＝．5、若H為△ABC的重心，AH＝BC，則∠BAC的度數(shù)是（）A、45° B、30° C、30°或150° D、45°或135°6、已知平行四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，AB＝10，AC＝9，DE＝12，求平行四邊形ABCD的面積．B組