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第16章三角形的“四心”【知識銜接】————初中知識回顧————1、重心:三角形的三條中線交點.2、外心:是三角形三邊中垂線的交點.3、內(nèi)心:是三角形的三內(nèi)角平分線的交點.4、垂心:是三角形三條高的交點.————高中知識鏈接————1、重心:它到頂點的距離等于它到對邊中點的距離的2倍,重心和三頂點的連線將△ABC的面積三等分,重心一定在三角形內(nèi)部.2、外心:它到各頂點的距離相等,銳角三角形的外心在三角形內(nèi),直角三角形的外心是斜邊的中點,鈍角三角形的外心在三角形外.3、內(nèi)心:它到三邊的距離相等,內(nèi)心一定在三角形內(nèi).4、垂心:垂心和三角形的三個頂點,三條高的垂足組成六組四點共圓,銳角三角形的垂心在三角形內(nèi),直角三角形的垂心為直角頂點,鈍角三角形的垂心在三角形外.【經(jīng)典題型】初中經(jīng)典題型例1:求證三角形的三條中線交于一點,且被該交點分成的兩段長度之比為2:1.已知:D、E、F分別為三邊BC、CA、AB的中點,求證:AD、BE、CF交于一點,且都被該點分成2:1.例2:已知的三邊長分別為,I為的內(nèi)心,且I在的邊上的射影分別為,求證:.例3:已知:O為的重心和內(nèi)心,求證:為等邊三角形.例4:已知:中,AD與BE交于H點.求證:.學(xué)科!網(wǎng)高中經(jīng)典題型1、已知三角形的三邊長分別為5,12,13,則其垂心到外心的距離為,重心到垂心的距離為.2、已知三角形的三邊長為5,12,13,則其內(nèi)切圓的半徑=.3、在△ABC中,∠A是鈍角,O是垂心,AO=BC,則cos(∠OBC+∠OCB)=.4、設(shè)G為△ABC的重心,且AG=6,BG=8,CG=10,則△ABC的面積為.5、若,那么以、、為三邊的△ABC的內(nèi)切圓,外接圓的半徑之和為.A、 B、C、 D、【實戰(zhàn)演練】————先作初中題——夯實基礎(chǔ)————A組1.在三角形內(nèi)部,到三角形三邊距離相等的點是()A.三條中線的交點B.三條高線交點C.三個內(nèi)角平分線交點D.三邊垂直平分線交點2.已知等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,G是△ABC的重心,那么AG=_____.3.如圖,點G是△ABC的重心,AG的延長線交BC于點D,過點G作GE∥BC交AC于點E,如果BC=6,那么線段GE的長為______.4.已知點G是△ABC的重心,AG=8,那么點G與邊BC中點之間的距離是________.5.如圖,等腰直角的中線、相交于點,若斜邊的長為,則線段的長為_______.6..如圖,在△ABC中,AB=AC,AB邊的垂直平分線DE交AC于點D.已知△BDC的周長為14,BC=6,則AB=___.學(xué)*科網(wǎng)7.閱讀下面材料:如圖,AB是半圓的直徑,點C在半圓外,老師要求小明用無刻度的直尺畫出△ABC的三條高.小明的作法如下:(1)連接AD,BE,它們相交于點P;(2)連接CP并延長,交AB于點F.所以,線段AD,BE,CF就是所求的△ABC的三條高.請回答,小明的作圖依據(jù)是________.8.如圖,在中,,平分,于,如果,那么等于_________cm.9.中,點是內(nèi)一點且到三邊的距離相等,,則_________.10.兩個城鎮(zhèn)與一條公路,一條河流的位置如圖所示,某人要修建一避暑山莊,要求該山莊到的距離必須相等,到和的距離也必須相等,且在的內(nèi)部,請畫出該山莊的位置.(不要求寫作法,保留作圖痕跡.)————再戰(zhàn)高中題——能力提升————B組1、在銳角△ABC中,內(nèi)角為A、B、C三邊為a、b、c,則內(nèi)心到三邊的距離之比為,重心到三邊的距離為,外心到三邊的距離之比為,垂心到三邊的距離之比為.2、如圖,銳角△ABC的垂心為H,三條高的垂足分別為D、E、F,則H是△DEF的.AAFBDCEH3、如圖,D是△ABC的邊BC上任一點,點E、F分別是△ABD和△ACD的重心連結(jié)EF交AD于G點,則DG:GA=.AABCEGFMDN4、設(shè)△ABC的重心為G,GA=,,,則=.5、若H為△ABC的重心,AH=BC,則∠BAC的度數(shù)是(
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