第13章 函數(shù)的單調(diào)性與最值-假期晉級利器之初升高數(shù)學(xué)銜接教材（解析版）

第13章函數(shù)的單調(diào)性與最值【知識銜接】————初中知識回顧————正比例函數(shù)和一次函數(shù)：當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減小；反比例函數(shù)：當(dāng)時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。當(dāng)時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，隨x的增大而增大。二次函數(shù)：如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=時，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時，，當(dāng)時，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時，，當(dāng)時，。學(xué)科-網(wǎng)————高中知識鏈接————函數(shù)的單調(diào)性（1）增函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的任意兩個自變量、，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）減函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的任意兩個自變量、，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．函數(shù)的最值1．最大值：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我們稱是函數(shù)的最大值．2．最小值：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得．學(xué)*科網(wǎng)那么，我們稱是函數(shù)的最小值．【經(jīng)典題型】初中經(jīng)典題型1．下列函數(shù)中，對于任意實數(shù)，，當(dāng)時，滿足的是（）A．y=﹣3x+2B．y=2x+1C．y=2x2+1D．y=﹣【答案】A∴當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小，則對于任意實數(shù)x1，x2，當(dāng)x1＞x2時，足y1不一定大于y2，故選項C錯誤，∵y=﹣，∴y隨x的增大而增大，則對于任意實數(shù)x1，x2，當(dāng)x1＞x2時，滿足y1＞y2，故選項D錯誤，故選：A．點睛：本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象的變化特點．2．下列函數(shù)的圖像在每一個象限內(nèi)，值隨值的增大而增大的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】A選項：對于一次函數(shù)y=-x+1，k＜0，函數(shù)的圖象在每一個象限內(nèi)，y值隨x值的增大而減小，故本選項錯誤；

B選項：對于二次函數(shù)y=x2-1，當(dāng)x＞0時，y值隨x值的增大而增大，當(dāng)x＜0時，y值隨x值的增大而減小，故本選項錯誤；

C選項：對于反比例函數(shù)y＝，k＞0，函數(shù)的圖象在每一個象限內(nèi)，y值隨x值的增大而減小，故本選項錯誤；

D選項：對于反比例函數(shù)y＝?，k＜0，函數(shù)的圖象在每一個象限內(nèi)，y值隨x值的增大而增大，故本選項正確．

故選D．3．已知反比例函數(shù)y=﹣，當(dāng)﹣3＜x＜﹣2時，y的取值范圍是（）A．0＜y＜1B．1＜y＜2C．2＜y＜3D．﹣3＜y＜﹣2【答案】C【解析】分析：由題意易得當(dāng)﹣3＜x＜﹣2時，函數(shù)的圖象位于第二象限，且y隨x的增大而增大，再計算出當(dāng)x=-3和x=-2時對應(yīng)的函數(shù)值，即可作出判斷了．4．反比例函數(shù)的圖象如圖所示，以下結(jié)論：①常數(shù)m＜﹣1；②在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；③若A（﹣1，h），B（2，k）在圖象上，則h＜k；④若P（x，y）在圖象上，則P′（﹣x，﹣y）也在圖象上．其中正確的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】C【解析】∵反比例函數(shù)的圖象位于一三象限，∴m＞0故①錯誤；學(xué)科！網(wǎng)當(dāng)反比例函數(shù)的圖象位于一三象限時，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，故②錯誤；將A（﹣1，h），B（2，k）代入得到h=﹣m，2k=m，∵m＞0∴h＜k故③正確；將P（x，y）代入得到m=xy，將P′（﹣x，﹣y）代入得到m=xy，故P（x，y）在圖象上，則P′（﹣x，﹣y）也在圖象上故④正確，故選：C．5．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為-1、3，則下列說法錯誤的是（）A．對稱軸是直線x=1B．方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1，x2=3C．當(dāng)x＜1，y隨x的增大而增大D．當(dāng)-1＜x＜3時，y＜0【答案】C【解析】A．拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為-1、3,∴對稱軸是直線，故正確；B．∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為?1、3,∴方程ax2+bx+c=0的根是x?=?1,x?=3，故正確；C．根據(jù)圖象得拋物線對稱軸為x=1，而拋物線開口方向向上，∴當(dāng)x<1時，y隨x的增大而減小，故錯誤；D．拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，∴當(dāng)-1＜x＜3時，y＜0，故正確；故選C．6．若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）為二次函數(shù)y=x2+4x﹣m的圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3【答案】B7．下列關(guān)于二次函數(shù)y=x2+2x+3的最小值的描述正確的是（）A．有最小值是2B．有最小值是3C．有最大值是2D．有最大值是3【答案】A【解析】試題解析：∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2中，a＞0，∴二次函數(shù)y=x2+2x+3的最小值是2，故選A．【點睛】根據(jù)頂點式得到它的頂點坐標(biāo)是（-1，2），即可求出函數(shù)的最大值．8．當(dāng)－2≤x≤l時，二次函數(shù)有最大值4，則實數(shù)m的值為（）(A)(B)或(C)2或(D)2或或【答案】C【解析】試題分析：∵當(dāng)－2≤x≤l時，二次函數(shù)有最大值4，∴二次函數(shù)在－2≤x≤l上可能的取值是x=－2或x=1或x=m．當(dāng)x=－2時，由解得，此時，它在－2≤x≤l的最大值是，與題意不符．當(dāng)x=1時，由解得，此時，它在－2≤x≤l的最大值是4，與題意相符．當(dāng)x=m時，由解得，此時．對，它在－2≤x≤l的最大值是4，與題意相符；對，它在－2≤x≤l在x=1處取得，最大值小于4，與題意不符．綜上所述，實數(shù)m的值為2或．故選C．高中經(jīng)典題型1．若函數(shù)f(x)滿足“對任意x1，x2∈(0，＋∞)，當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)”，則f(x)的解析式可以是()A．B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)條件知，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．對于A，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，排除A；對于B，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，排除B；對于C，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，C正確；對于D，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，排除D．2．若函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax與g(x)＝(a＋1)1－x在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是()A．(－1,0) B．(－1,0)∪(0,1][來源:學(xué),科,網(wǎng)Z,X,X,K]C．(0,1) D．(0,1]【答案】D3．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2(x＋2)在區(qū)間[－1,1]上的最大值為________．【答案】3【解析】由于在R上單調(diào)遞減，在[－1,1]上遞增，所以f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減，故f(x)在[－1,1]上的最大值為f(－1)＝3．4．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【解析】∵其圖象如圖所示，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為和。5．的遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解不等式得或，因此函數(shù)的定義域為，令，，由于內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增，外層函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)得單調(diào)性可知，函數(shù)的遞增區(qū)間是，故選A．6．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)是（）A．B．C．和D．【答案】D【實戰(zhàn)演練】————先作初中題——夯實基礎(chǔ)————A組1．正比例函數(shù)y＝(2k＋1)x，若y隨x增大而減小，則k的取值范圍是()A．k＞－B．k＜－C．k＝D．k＝0【答案】B【解析】由題意得，，．故選B．2．已知二次函數(shù)y=﹣（x﹣h）2（h為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足2≤x≤5時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為﹣1，則h的值為（）A．3或6B．1或6C．1或3D．4或6【答案】B【解析】【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三種情況考慮：當(dāng)h＜2時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于h的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；當(dāng)2≤h≤5時，由此時函數(shù)的最大值為0與題意不符，可得出該情況不存在；當(dāng)h＞5時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于h的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．綜上即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，當(dāng)h＜2時，有﹣（2﹣h）2=﹣1，解得：h1=1，h2=3（舍去）；當(dāng)2≤h≤5時，y=﹣（x﹣h）2的最大值為0，不符合題意；當(dāng)h＞5時，有﹣（5﹣h）2=﹣1，解得：h3=4（舍去），h4=6，綜上所述：h的值為1或6，故選B．3．一次函數(shù)與二次函數(shù)交于x軸上一點，則當(dāng)時，二次函數(shù)的最小值為（）A．15B．-15C．16D．-16【答案】D4．一次函數(shù)若隨的增大而增大，則的取值范圍是_______．【答案】m＞﹣2【解析】【分析】根據(jù)圖象的增減性來確定（m+2）的取值范圍，從而求解．【詳解】∵一次函數(shù)y=（m+2）x+1，若y隨x的增大而增大，∴m+2＞0，解得，m＞﹣2，故答案為：m＞﹣2．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的增減性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．函數(shù)值y隨x的增大而減小?k＜0；函數(shù)值y隨x的增大而增大?k＞0．5．在一次函數(shù)中，如果的值隨自變量的值增大而增大，那么的取值范圍是________．【答案】k＞1【解析】分析：先根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)：y隨著x增大而增大得出關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍即可．詳解：在一次函數(shù)中，∵的值隨自變量的值增大而增大，∴，解得k＞1．故答案為：k＞1．6．已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點（-2017，2018），當(dāng)時，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而_________．（填“增大”或“減小”）【答案】增大【解析】∵反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點（-2017，2018），∴k=-2017×2018<0，∴當(dāng)x>0時，y隨x的增大而增大．故答案為：增大．7．二次函數(shù)y＝x2－2x－3，當(dāng)m－2≤x≤m時函數(shù)有最大值5，則m的值可能為___________【答案】0或4【解析】分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖像和解析式，判斷出函數(shù)的最值的自變量x的值，然后根據(jù)m的范圍求出m的值即可．詳解：令y=5，可得x2－2x－3=5，解得x=-2或x=4所以m-2=-2，m=4即m=0或4．故答案為：0或4．點睛：此題主要考查了二次函數(shù)的最值，求二次函數(shù)的最大（?。┲涤腥N方法，第一種可由圖像直接得出，第二種配方法，第三種公式法，此題關(guān)鍵是根據(jù)最值構(gòu)造一元二次方程求解．8．下列關(guān)于函數(shù)的四個命題：①當(dāng)時，有最小值10；②為任意實數(shù)，時的函數(shù)值大于時的函數(shù)值；③若，且是整數(shù)，當(dāng)時，的整數(shù)值有個；④若函數(shù)圖象過點和，其中，，則．其中真命題的序號是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】C．【解析】試題解析：∵y=x2-6x+10=（x-3）2+1，∴當(dāng)x=3時，y有最小值1，故①錯誤；當(dāng)x=3+n時，y=（3+n）2-6（3+n）+10，當(dāng)x=3-n時，y=（n-3）2-6（n-3）+10，∵（3+n）2-6（3+n）+10-[（n-3）2-6（n-3）+10]=0，∴n為任意實數(shù)，x=3+n時的函數(shù)值等于x=3-n時的函數(shù)值，故②錯誤；∵拋物線y=x2-6x+10的對稱軸為x=3，a=1＞0，∴當(dāng)x＞3時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x=n+1時，y=（n+1）2-6（n+1）+10，當(dāng)x=n時，y=n2-6n+10，（n+1）2-6（n+1）+10-[n2-6n+10]=2n-4，∵n是整數(shù)，∴2n-4是整數(shù)，故③正確；∵拋物線y=x2-6x+10的對稱軸為x=3，1＞0，∴當(dāng)x＞3時，y隨x的增大而增大，x＜0時，y隨x的增大而減小，∵y0+1＞y0，∴當(dāng)0＜a＜3，0＜b＜3時，a＞b，當(dāng)a＞3，b＞3時，a＜b，當(dāng)0＜a＜3，b＞3時，a，b的大小不確定，故④錯誤；故選C．————再戰(zhàn)高中題——能力提升————B組1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減的是()A．y＝eq\f(1,x)－x B．y＝x2－xC．y＝lnx－x D．y＝ex－x【答案】A2．定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上遞增，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(