2024年北京房山良鄉(xiāng)中學(xué)高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京房山良鄉(xiāng)中學(xué)高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)本試卷共8頁，滿分分，考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案填涂或書寫在答題卡上.考試結(jié)束后，將答題卡交回，第一頁選擇題不上交.第I卷（選擇題共40分）一、選擇題．本題共題每題分4，共計40分.在下列各題的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1A=xx2=?2，則BA1.已知集合，（）?0,1?0D.11,0A.B.C.2.已知命題：?x∈R+，x＞0，那么命題pA.?x∈R+，x≤0為（）B.?x∈R+lnx＜0D.?x∈R+，lnx≤0C.?xR+，lnx＜0R，且ab，則3.設(shè)a,b11bcC.a2b2D.a3b3A.acB.ab4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（）y=xy=2xy=xsinxA.y5.設(shè)2B.C.D.a,bab0”是“ab為實數(shù)，則“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件x6.曲線y=在點處的切線方程為（）2x?1x?y?2=0x+y?2=0x+4y?5=0x?y?5=0bacA.B.C.=c=9，則，b，c的大小關(guān)系是（D.D.a=log3πb37.已知）A.abcB.acbbcaC.8.已知函數(shù)f(x)=2x?x?，則不等式f(x)0的解集是（1A.(?B.(?∞,?1)∪(1,+∞)D.(?∞,0)∪(1,+∞)C.x()（單位：）與聲音強度（單位：W/m2）滿足()=fxfx10x9.聲音的等級.噴氣式飛機110起飛時，聲音的等級約為140dB；一般說話時，聲音的等級約為60dB，那么噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的（）A.106倍10.函數(shù)B.108倍C.1010倍D.1012倍()個不同的數(shù)xy=()的圖象如圖所示，在區(qū)間afxnnnNx、、2上可找到、1()()()fnnfxfx=2=n，則的取值為（x1，使得）n122,3,4,54,54,52,3,4D.A.B.C.二、填空題．本題共5題每題分，共計25分.1x?1()=+函數(shù)fxlog2x的定義域為___________.5(3?0+(3?π)2+4log23?+25=_______________12.計算：．21x?1“xx1，則x+”x13.能夠說明設(shè)是實數(shù)．若3是假命題的一個實數(shù)的值為________．1()fx()是定義在R上的偶函數(shù)，并滿足f(x+2)=fx，當1x2時()=?，則fxx214.已知()等于f．______x?3xf(x)=15.設(shè)函數(shù).x+1,xa①若a=1f(x)的值域為___________；②若f(x)在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是___________.三、解答題f(x)=x2+2(m?x+2.16.已知函數(shù)（1）若m=2，求x[2,3]時，函數(shù)f(x)的值域.+2(m?x+2的單調(diào)遞增區(qū)間為[4,+)，求實數(shù)m的值.f(x)=x222（2）若函數(shù)（3）若函球（4）若函數(shù)f(x)=xf(x)=x+2(m?x+2在區(qū)間[4,+)上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍.+2(m?x+2有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍.17.如圖，四棱錐P?ABCD的底面是矩形，PD底面⊥ABCD，PD==1，AD=2為BC，M的中點.（1）求證：⊥；（2）求平面PAM與平面所成的角的余弦值.1f(x)=x3?x?ax(aR)．218.已知函數(shù)3f(x)在x=?1時，有極值，求a的值；（1）若1（2）若a=1，求函數(shù)f(x)=x3?x?ax(aR)的單調(diào)區(qū)間．23f(x)（3）討論函數(shù)極值點的個數(shù)．19.某產(chǎn)業(yè)園生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的成本為50/件銷售單價依產(chǎn)品的等級來確定，其中優(yōu)等品、一等品、二等品、普通品的銷售單價分別為80元、75元、元、60為了解各等級產(chǎn)品的比例，檢測員從流水線上隨機抽取200件產(chǎn)品進行等級檢測，檢測結(jié)果如下表所示.產(chǎn)品等級優(yōu)等品一等品二等品普通品樣本數(shù)量（件）30506060（1）若從流水線上隨機抽取一件產(chǎn)品，估計該產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率；（2）從該流水線上隨機抽取3件產(chǎn)品，記其中單件產(chǎn)品利潤大于20元的件數(shù)為X，用頻率估計概率，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;（3）為拓寬市場，產(chǎn)業(yè)園決定對抽取的200件樣本產(chǎn)品進行讓利銷售，每件產(chǎn)品的銷售價格均降低了5元.設(shè)降價前后這200件樣本產(chǎn)品的利潤的方差分別為s21,s22，比較s21,s22的大小.（請直接寫出結(jié)論）1f(x)=(x?x?ax2(aR).20.已知函數(shù)2（1）當a=0時，求曲線y=f(x)在x=0處的切線方程；f(x)在2]（2）求函數(shù)上的最小值.2a,a滿足：，且=nn(=na1N*,124an121.已知數(shù)列.記集合n?2nn12*M=∣nN.na=21（1）若，寫出集合M的所有元素；（2）若集合M存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)；（3）求集合M的元素個數(shù)的最大值.參考答案第I卷（選擇題共40分）一、選擇題．本題共題每題分4，共計40分.在下列各題的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.【答案】D【分析】先計算集合A，再與集合B進行交集運算即可得正確選項.1=xx?10=x?1x1，A=xx22【詳解】因為B=?2，AB=0，所以故選：D.2.【答案】A【分析】利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】因為特稱命題的否定是全稱命題，故命題“p：x∈R+，lnx0”的否定p為：?x∈R+，x≤0.故選：A.【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，要注意兩個方面的變化：1.量詞，2.結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題.3.【答案】D【分析】y=x3取特殊值排除A，B，C，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出正確答案.【詳解】對A項，當c0時，abacbc，故A錯誤；111對B項，取a=?2，b=1時，?1，不滿足，故B錯誤；2ab()2對C項，取a=?2，b=?1(?)2?1，不滿足a2b2，故C錯誤；y=x3，則aba3b3對D項，函數(shù)故選：D在R上單調(diào)遞增，，故正確;D【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4.【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的定義及判斷方法判斷即可.【詳解】對于A，函數(shù)是偶函數(shù)，在(0,+∞)遞減，不合題意；故A錯誤，對于B，函數(shù)是偶函數(shù)，在(0,+∞)遞增，合題意；故B正確，對于C，函數(shù)不是偶函數(shù)，不符合題意；故C錯誤，對于D，函數(shù)在(0,+∞)不是單調(diào)遞增，不符合題意；故D錯誤.故選：B.5.【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)=x為單調(diào)遞增函數(shù)，結(jié)合充分條件和必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)f(x)=x為單調(diào)遞增函數(shù)，當ab0時，可得f(a)fb()，即成立，ab當ab，即()fb)時，可得faab，所以ab0不一定成立，所以“ab0”是“故選：A.ab”的充分而不必要條件.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及充分條件、必要條件的判定，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及熟練應(yīng)用充分條件和必要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于中檔題.6.【答案】B【分析】求導(dǎo)后由導(dǎo)數(shù)的意義求切線的斜率，再由點斜式得到直線方程即可；2x?1?2x12x1?)==y【詳解】求導(dǎo)可得，2(2x1?)2(所以切線的斜率為k=?1，y?1=?x?1()，即x+y?2=0，所以切線方程為故選：B.7.【答案】D【分析】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到a=bc1，比較出大小.1【詳解】=====31,a3b3πc93ππ故bac故選：D8.【答案】Dy=2xy=x+1【分析】作出函數(shù)和的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.【詳解】因為f(x)=2x?x?1，所以f(x)等價于02xx+1，y=2xy=x+1和的圖象如圖：在同一直角坐標系中作出2)兩函數(shù)圖象的交點坐標為，不等式2xx+1的解為x0或x1.所以不等式f(x)0的解集為：(?∞,0)∪(1,+∞).故選：D.【點睛】本題考查了圖象法解不等式，屬于基礎(chǔ)題.9.【答案】B【分析】首先設(shè)噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為x1，，根據(jù)題意得出x212f(1)=140，f(2)=，計算求的值．【詳解】設(shè)噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為x1，x，21110f(1)=10lg=140x=102，則1，，?122110f(2)=10=60，則210?=6?1212=108所以，因此噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的8倍．故選：B．10.【答案】A()()()fxnnf1f2===ky=kxy=f(x)n的圖象有個交點，【分析】設(shè)，可知直線與函數(shù)12n數(shù)形結(jié)合可得出的可能取值.()()?fxx?0()fxfx0y=f(x)上的點(x,fx()【詳解】，則代數(shù)式表示曲線與原點連線的斜率，xx()()()fxnnf1f22===k，設(shè)1()個交點，y=kxy=()fxnnnN可知直線作出函數(shù)與函數(shù)的圖象有y=fx()與直線y=kx的圖象如下圖所示：y=kxyfx35=()的圖象有2或或4或個交點，由圖象可知，直線與函數(shù)2,3,4,5n因此，的可能取值的集合為.故選：A.()()()fxfxfx1=2=n=k，將問題轉(zhuǎn)化為直【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查圖象的應(yīng)用，令12ny=kxy=()fx的圖象的交點個數(shù)問題是解題的關(guān)鍵，在解題時應(yīng)充分理解一些代數(shù)式的幾何線與函數(shù)意義，充分利用數(shù)形結(jié)合思想來求解.二、填空題．本題共5題每題分，共計25分.()0,1【答案】x【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零，分母不為零可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得原函數(shù)的定義域.x0()的定義域是()，解得：x0且x1，故函數(shù)fx0,1.【詳解】由題意得x?10故答案為：()0,1.12.【答案】8π+【分析】利用指數(shù)冪與對數(shù)的運算法則求解即可.552(3?0+(3?π)2+4log23?+25=13π22log2325+?++【詳解】225=1+π?3+2log92+25=π?2+9+1=π+8.故答案為：8+π.213.【答案】1x?11x?1【詳解】因為?>1，故x?10，x+=x?1++1等號成立的條件為1x?1x?1=x=2x=2，故當時函數(shù)值等于3.此時不滿足題干．故答案為2．點睛：這個題目是考查的均值不等式的條件，首先均值不等式的條件是一正，二定，三相等，積是定值時，和有最小值，和是定值時，積有最大值；故首先要構(gòu)造出乘積的定值，最終確定等號能否取到．14.【答案】?1()fx(+)=fx2()為偶函數(shù)可得fxf(?x)=f(x)從而有【分析】由可得函數(shù)的周期為4，再由()=()=(?)=()代入可求f6.5f2.5f1.5f1.51()fx(+)=fx2【詳解】，1fx4(+)=(+)+=fx22fx=()，即函數(shù)的周期為4(+)fx2f?x=fx是定義在R上的偶函數(shù)，則有()()()=()=(?)=()=?f6.5f2.5f1.5f1.50.5，故答案為?【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的條件：1()fx(+)=?fx2fx+4=f(x)()可得即可得函數(shù)的周期，從而把所求的()利用周期和奇偶性轉(zhuǎn)f化到所給的區(qū)間，代入即可求解．(?+).15.【答案】①.【分析】①=1，直接求值域；y=?和yx1的圖像，分析a的取值范圍.=+3x1②在同一個坐標系內(nèi)作出x?x13f(x)=【詳解】解：①若a=1，x+1,x1當x≤1時，fx)=3x1∈(﹣1，2]，當x>1f(x)=|x+1|>2，∴f(x)的值域為(﹣1，2]∪(2，+∞)=(﹣，+∞)；②在同一平面直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)y=3x﹣1與y=|+1|的圖象如圖：?3xxaf(x)=由圖可知，要使函數(shù)在R上的增函數(shù)，只需-1≤a≤1，x+1,xa則實數(shù)a的取值范圍是[﹣1，1].(?+)；②故答案為：①.【點睛】由分段函數(shù)（數(shù)列）單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法：(1)分段函數(shù)的每一段都單調(diào)；(2)根據(jù)單調(diào)性比較端點函數(shù)值的大小.三、解答題16.1）（2）m=?3（3）m3（4）m1+2或m1?2=(+)2+1的單調(diào)性再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得到函數(shù)值域）先確定f(x)x1.（2）求出二次函數(shù)的對稱軸，則根據(jù)單調(diào)遞增區(qū)間為[4,+)m，可求的值；m（3）求出二次函數(shù)的對稱軸，則根據(jù)利用二次函數(shù)的圖象與開口方向可求的范圍；（4）根據(jù)函數(shù)f(x)=x【小問12+2(m?x+2有兩個零點得出方程判別式大于零，再解一元二次不等式即可.當m=2時，f(x)=x2+2x+2=(x+)2+1，x[2,3]，??)?1,3上單調(diào)遞增，1函數(shù)在上單調(diào)遞減，在f(x)=f(=1?2+2=1f(x)=f3)=9+6+2=17，.的值域為.f(x)所以函數(shù)【小問2f(x)=x+2(m?x+2圖象開口向上，對稱軸為x=1?m.2根據(jù)函數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為[4,+)，所以1?m=4【小問3，所以m=?3.根據(jù)題意得函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為x=1?m.函數(shù)在區(qū)間[4,+)上是嚴格增函數(shù)，所以1?m4【小問4，所以m3.f(x)=x2+2(m?x+2有兩個零點，則x2+2(m?x+2=0有兩個根，函數(shù)所以=4(m?2?4120，化簡得m?1解得+或m1?m122.17.1）證明見解析；6（2）.6）證明出AD平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；⊥（2）以點D為坐標原點，DA、、DP所在直線分別為間向量法可求得平面PAM與平面所成的角的余弦值.【小問1x、yz、軸建立空間直角坐標系，利用空ABCD⊥，則，證明：因為四邊形ABCD為矩形，則⊥CD，平面ABCD，AD平面AD平面，平面，故⊥.【小問2解：平面ABCD，⊥CD，點D為坐標原點，DA、、DP所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，⊥xyz、、則()、()、()，=(?0,1)，=(?0)，AMA0,0M0P0,1AP=()x,y,z，設(shè)平面的法向量為m+z=0mm)，則，取x=1，可得m=2?x+y=06=1,0,0)，,n=，易知平面的一個法向量為nmn666因此，平面PAM與平面所成的角的余弦值為.618.1）a1（2）單調(diào)遞增區(qū)間為(1=；,1,)，單調(diào)遞減區(qū)間為(3))(；13a?0a?（3）當時，極值點個數(shù)為；當時，極值點個數(shù)為2.3?=f(0）求定義域，求導(dǎo)，根據(jù)求出a=1，檢驗后得到結(jié)果；（2）求定義域，求導(dǎo)，解不等式求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；f(x)（3）求導(dǎo)后，根據(jù)根的判別式，判斷出【小問1的變號零點個數(shù)，得到答案.()定義域為，f(x)=x?2x?a，fx2R?=f(0，即1+2?a=0，解得a=1，由題意得f(x)=x?2x?3=(x?3)(x+)，2當a=1時，得f(x)0x3或x1，令f(x)01x3，得令故()在(?)()上單調(diào)遞增，在(?)上單調(diào)遞減，fx,1,3故x=?1為極大值點，滿足要求，故a=1；【小問21?3x，f(x)=xx22?2x?3=(x?3)(x+)，a=1時，f(x)=x3?3由（1）可知()的單調(diào)遞增區(qū)間為(?)()，單調(diào)遞減區(qū)間為(?)；,1,1,3fx【小問31f(x)=x3?x2?ax(aR)定義域為，3=2?2x?a，=4+12a，f(x)x13當=4+12a0，即a?時，()fx恒成立，此時在R上單調(diào)遞增，無極值點；f(x)0故當13a?f(x)時，有兩個變號零點，=4+12a0，即故()有2個極值點，fx11a?a?故當時，極值點個數(shù)為；當時，極值點個數(shù)為33319.1）65（2）分布列見解析，（3）12=s22）由數(shù)據(jù)計算頻率后估計概率（2）由二項分布概念公式求解（3）由方差計算公式判斷【小問13=抽取的200件產(chǎn)品中優(yōu)等品有30件，抽取優(yōu)等品的頻率是，3用樣本估計總體，從流水線上隨機抽取一件產(chǎn)品，估計是優(yōu)等品的概率為..【小問230+5025=.從流水線上隨機抽取一件產(chǎn)品，估計利潤大于元的概率為X的可能取值為0，123.2003272354P(X=0)=C30()3=P(X==C31()1()=2，，521255512533628P(X=2)=C32()2()1=P(X==C33()3=，551255125分布列為X01238P543686X的數(shù)學(xué)期望E(X)0=++2+3=....1251251255【小問3s21=22設(shè)200件樣本利潤分別為x,x,，平均數(shù)為x，12x?x?則降價后200件樣本利潤分別為，平均數(shù)為x?5，12由方差計算公式可得12=s22y=120.1）（2）答案見解析）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程；(?a)f(x)=xexa0和a0兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，化簡為，再討論再求函數(shù)的最值.【小問1當a=0時，f(x)=(x,()?xfx=xexf(0)f(0)=1.=所以y=f(x)在x=1處的切線方程為：y=1.所以曲線【小問2f(x)=xex?ax=xe(?a).x①當a0時，ex?a0.x2]f(x)0.所以時，1f(x)在2]f(x)=f=?a所以上是增函數(shù).所以..2==lna,x2=0（舍）②當a0時，令f(x)0，解得x1，即0ae時，x2]時，f(x)01°當a1.1f(x)在2]f(x)=f=?a所以2°當1lna2，即eae2時，lna)a(lna,2)上是增函數(shù).所以2x()fx-0+()fx減函數(shù)極小值增函數(shù)1f(x)=f(lna)=?aln2a+a(lna?.所以23°當lna2，即ae2時，x2]f(x)0.時，f(x)在2]f(x)=f(2)=e?2a.2所以上是減函數(shù).所以1aef(x)=?a綜上，當時，；21當eae2時，f(x)=?a2a+a(lna?.2f(x)=e2?2a.當ae2時，8,1621.1）（2）見解析（35）根據(jù)遞推關(guān)系可求M的所有元素；（2）根據(jù)遞推關(guān)系結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法可得相應(yīng)的證明；（3）利用列舉法可求M的元素個數(shù)的最大值【小問1a=21a=2a=4a=2a=8a=2a=16若，則，，，213243a=2a?24=8中的項的大小從第項開始周期變化，且周期為a，故32.54nM=.故【小問2a=,mN*設(shè)若若故，kaaa12，則m=2a，因2,3互質(zhì)，故ak1為3的倍數(shù)；k1k112，則m=2a?24即2k1m24=3(m+8)=+，因2,3