數學課堂探究：2合情推理與演繹推理（第2課時）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一把演繹推理寫成三段論的形式三段論由大前提、小前提和結論組成;大前提提供一般原理，小前提提供特殊情況,兩者結合起來，體現一般原理與特殊情況的內在聯系．在用三段論寫推理過程時，關鍵是明確命題的大、小前提．【典型例題1】把下列演繹推理寫成三段論的形式．（1)在一個標準大氣壓下，水的沸點是100℃，所以在一個標準大氣壓下把水加熱到100℃時，水會沸騰;(2）一切奇數都不能被2整除，2100＋1是奇數，所以2100＋1不能被2整除；(3）三角函數都是周期函數，y＝tanα是三角函數,因此y＝tanα是周期函數．思路分析：解答本題的關鍵在于分清大、小前提和結論，還要準確利用三段論的形式．解：（1)在一個標準大氣壓下,水的沸點是100℃，大前提在一個標準大氣壓下把水加熱到100℃，小前提水會沸騰．結論(2)一切奇數都不能被2整除,大前提2100＋1是奇數,小前提2100＋1不能被2整除．結論（3）三角函數都是周期函數,大前提y＝tanα是三角函數，小前提y＝tanα是周期函數．結論探究二三段論在證明幾何問題中的應用1．數學證明主要是通過演繹推理來進行的，一個復雜的數學命題的推理往往是由多個“三段論"構成的．2．應用“三段論”解決問題時,首先要明確什么是大前提和小前提．如果大前提是顯然的，則可以省略．【典型例題2】已知平面α∥平面β，直線l⊥α，l∩α＝A，如圖所示，求證l⊥β.思路分析:本題可由線面垂直的定義證明l⊥β.證明：在平面β內任取一條直線b，平面γ是經過點A與直線b的平面．設γ∩α＝a。①如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行，大前提α∥β，且α∩γ＝a,β∩γ＝b，小前提所以a∥b.結論②如果一條直線與一個平面垂直，那么這條直線和這個平面內的任意一條直線都垂直,大前提且l⊥α,aα，小前提所以l⊥a。結論③如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么它也與另一條垂直,大前提a∥b,且l⊥a，小前提所以l⊥b.結論④如果一條直線和一個平面內的任意一條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直，大前提因為l⊥b，且直線b是平面β內的任意一條直線，小前提所以l⊥β。結論總結:“三段論"是演繹推理的一般模式，包括：(1)大前提—-已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情況；（3)結論—-根據一般原理，對特殊情況做出的判斷．明確大前提、小前提、結論是求解有關問題的關鍵．探究三演繹推理在代數中的應用應用三段論證明問題時，要充分挖掘題目外在和內在條件（小前提)，根據需要引入相關的適用的定理和性質（大前提），并保證每一步的推理都是正確的,嚴密的，才能得出正確的結論．常見的解題錯誤:①條件理解錯誤(小前提錯）；②定理引入和應用錯誤（大前提錯）;③推理過程錯誤等．【典型例題3】設a＞0，f(x）＝eq\f（ex,a)＋eq\f(a，ex)是R上的偶函數．(1)求a的值；(2)求證f(x)在（0,＋∞)上是增函數．思路分析：（1）可由偶函數的定義得f（－x)＝f(x)恒等式；(2)可由增函數的定義證明，即由定義法證明其單調性．（1）解：因為f(x）是R上的偶函數，所以對于一切x∈R，都有f（x）＝f（－x)，所以eq\f(ex，a）＋eq\f（a,ex）＝eq\f(e－x,a）＋eq\f（a，e－x)＝eq\f（1，aex)＋aex，即eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,a)－a））eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,ex)))＝0對一切x∈R成立．∵ex－eq\f（1，ex）不恒等于0,∴eq\f(1，a）－a＝0，即a2＝1，∴a＝±1，又∵a＞0，∴a＝1.（2)證明：任取x1，x2∈(0，＋∞），且x1＜x2，則f（x1)－f(x2）＝－＋－＝(－）＝（－1)·。∵x1＞0，x2＞0，且x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1＋x2＞0,∴－1＞0,＜0。∴f（x1）－f（x2)＜0，即f（x1）＜f（x2)．故f（x)在(0，＋∞）上是增函數．探究四易錯辨析易錯點因偷換論題而致錯【典型例題4】求證四邊形的內角和等于360°。錯解：設四邊形ABCD是矩形，則它的四個角都是直角,有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°。錯因分析:上述推理過程是錯誤的，犯了偷換論題的錯誤．在推理過程中,把論題中的四邊形改成了矩形．正解:如圖所示，在四邊形ABCD中,連接AC，在△ACD中，∠3＋∠4＋∠D＝180°，①在△ABC中，∠1＋∠2＋∠B＝180°，②①＋②，得（∠1＋∠3）＋（∠2＋∠4)＋∠B＋∠D＝360°，即∠DAB＋∠DCB