數(shù)學(xué)課堂探究：2離散型隨機(jī)變量的均值與方差（第2課時(shí)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一求離散型隨機(jī)變量的方差求離散型隨機(jī)變量的方差的步驟:（1）列出隨機(jī)變量的分布列;(2)求出隨機(jī)變量的均值；(3）求出隨機(jī)變量的方差．【典型例題1】袋中有20個(gè)大小相同的球,其中標(biāo)記0的有10個(gè)，標(biāo)記n的有n個(gè)(n＝1，2，3，4)．現(xiàn)從袋中任取一球．ξ表示所取球的標(biāo)號(hào)．(1)求ξ的分布列、期望和方差；（2)若η＝aξ＋b，E(η）＝1,D(η）＝11,試求a，b的值．思路分析:（1)根據(jù)題意，由古典概型概率公式求出分布列，再利用均值，方差公式求解．（2）運(yùn)用E(η)＝aE(ξ）＋b，D（η)＝a2D（ξ)，求a，b.解：（1)ξ的分布列為：ξ01234Peq\f（1，2)eq\f（1,20）eq\f(1,10）eq\f（3，20）eq\f（1，5）則E(ξ）＝0×eq\f(1,2）＋1×eq\f（1,20)＋2×eq\f（1，10）＋3×eq\f(3，20）＋4×eq\f(1，5)＝1.5。D（ξ)＝（0－1.5）2×eq\f(1，2）＋（1－1。5）2×eq\f(1,20)＋（2－1。5）2×eq\f(1，10)＋（3－1.5）2×eq\f(3,20）＋（4－1。5）2×eq\f（1，5）＝2。75。（2)由D（η）＝a2D（ξ），得a2×2.75＝11，得a＝±2.又E（η）＝aE(ξ）＋b，所以,當(dāng)a＝2時(shí)，由1＝2×1。5＋b，得b＝－2；當(dāng)a＝－2時(shí)，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4。所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝2,,b＝－2，)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－2，，b＝4.)）規(guī)律總結(jié)求離散型隨機(jī)變量的方差的關(guān)鍵是列分布列，而列分布列的關(guān)鍵是要清楚隨機(jī)試驗(yàn)中每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果．同時(shí)還要能正確求出每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率．探究二離散型隨機(jī)變量的方差的應(yīng)用離散型隨機(jī)變量的期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度．因此在實(shí)際決策問題中，需先運(yùn)算均值，看誰(shuí)的平均水平高，然后再計(jì)算方差,分析誰(shuí)的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定．當(dāng)然不同的情形要求不同，應(yīng)視情況而定．【典型例題2】2012年4月1日至7日是江西省“愛鳥周”，主題是“愛鳥護(hù)鳥觀鳥，共享自然之美”．為更好地保護(hù)鄱陽(yáng)湖候鳥資源，需評(píng)測(cè)保護(hù)區(qū)的管理水平．現(xiàn)甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且候鳥的種類和數(shù)量也大致相等，兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為：X0123P0.30。30.20.2Y012P0。10。50。4試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平．思路分析：要比較兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平,要先比較兩個(gè)保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件的平均次數(shù)，然后比較其穩(wěn)定性，即方差．解：甲保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E（X）＝0×0.3＋1×0.3＋2×0。2＋3×0.2＝1。3,D（X）＝(0－1。3）2×0.3＋（1－1。3)2×0。3＋（2－1。3）2×0。2＋（3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E（Y）＝0×0。1＋1×0。5＋2×0。4＝1.3,D（Y）＝（0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0。5＋（2－1。3)2×0。4＝0.41。因?yàn)镋（X）＝E(Y），D(X）＞D（Y),所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同，但甲保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散和波動(dòng)較大，乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更加集中和穩(wěn)定．相對(duì)而言，乙保護(hù)區(qū)的管理更好一些．規(guī)律總結(jié)在解決此類問題時(shí)，應(yīng)先比較均值，若均值相等，再比較方差，方差較小的數(shù)據(jù)較穩(wěn)定．探究三兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差（1）如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則其方差D(X）＝p（1－p)（p為成功概率）．(2)如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布即X~B(n,p）,則方差D（X）＝np(1－p)直接代入求解,從而避免了繁雜的計(jì)算過程．【典型例題3】一出租車司機(jī)從某飯店到火車站途中有六個(gè)交通崗,假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨(dú)立的，并且概率是eq\f(1，3）.(1)求這位司機(jī)遇到紅燈數(shù)ξ的期望與方差；(2）若遇上紅燈,則需等待30秒，求司機(jī)總共等待時(shí)間η的期望與方差．解：（1)易知司機(jī)遇上紅燈次數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3）））,∴E（ξ）＝6×eq\f(1，3）＝2，D(ξ)＝6×eq\f(1,3）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（1,3）))＝eq\f（4,3）.（2）由已知η＝30ξ，∴E（η）＝30E（ξ)＝60，D（η)＝900D(ξ）＝1200。規(guī)律總結(jié)在解決有關(guān)均值和方差問題時(shí)，如果題目中離散型隨機(jī)變量符合二項(xiàng)分布，就應(yīng)直接代入公式求期望和方差,以簡(jiǎn)化問題的解答過程．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)機(jī)械套用公式致誤【典型例題4】已知隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0。20.2a0.20。1求E(X）,D（X），D（－2X－3)．錯(cuò)解：E（X)＝0×0。2＋1×0.2＋2×a＋3×0。2＋4×0。1＝1。2＋2a，D(X)＝[0－（1.2＋2a)]2×0。2＋[1－(1。2＋2a)]2×0.2＋［2－（1。2＋2a)]2×a＋［3－（1。2＋2a）］2×0。2＋[4－（1.2＋2a)］2×0。1＝（1。2＋2a)2×0。2＋(0。2＋2a)2×0。2＋（0.8－2a）2×a＋(1.8－2a）2×0。2＋（2。8－2a）2×0.1，D（－2X－3）＝－2D（X)．錯(cuò)因分析:忽略了隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，這里只是機(jī)械地套用公式,且對(duì)D(ax＋b)＝a2D（x）應(yīng)用錯(cuò)誤．正解:∵0.2＋0。2＋a＋0。2＋0。1＝1，∴a＝0.3.∴E(X