數(shù)學課堂探究：兩角和與差的正弦

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一給值求值在解三角函數(shù)題目時，角度變換是三角恒等變換的首選方法，但具體怎樣變換，我們主要是分析它們之間的和、差、倍、分關(guān)系，以便通過角度變換，減少角的個數(shù)．其中，尋找一個或幾個基本量是快速定位這類題目解法的關(guān)鍵．【例1】已知〈β<α<,cos（α－β）＝，sin(α＋β）＝－,求sin2α．分析：注意變角思想（已知角與未知角之間的內(nèi)在聯(lián)系)．解：因為<β〈α〈，所以0〈α－β<，π〈α＋β<．又cos(α－β）＝，sin（α＋β)＝－，所以sin(α－β)＝，cos（α＋β)＝－．所以sin2α＝sin[（α－β）＋（α＋β）]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝×＋×＝－．探究二利用兩角和與差的正弦公式化簡化簡三角函數(shù)式的標準和要求：（1)能求出值的應(yīng)求出值;（2）使三角函數(shù)式的種數(shù)、項數(shù)及角的種類盡可能少；(3)使三角函數(shù)式的次數(shù)盡可能低；（4)使分母中盡量不含三角函數(shù)式和根式．【例2】化簡下列各式：（1)sin＋2sin－cos；(2）－2cos（α＋β)．分析：(1）各式中角的形式無法統(tǒng)一,且沒有明顯的拼角關(guān)系，所以只能利用兩角和與差的公式展開后尋求解決辦法．(2)觀察三個角之間的關(guān)系，知2α＋β＝α＋(α＋β）,所以首先考慮角的代換，再利用兩角和與差公式化復(fù)角為單角．解:(1)原式＝sinxcos＋cosxsin＋2sinxcos－2cosxsin－coscosx－sinsinx＝eq\f（1，2)sinx＋cosx＋sinx－cosx＋cosx－sinx＝sinx＋cosx＝0．(2)原式＝＝＝＝．探究三兩角和與差的公式在三角形中的應(yīng)用判定三角形的形狀，充分利用角的變換，借助A＋B＋C＝π,即A＋B＝π－C，＝－．因而有sin（A＋B)＝sinC，cos(A＋B）＝－cosC，sin＝cos，cos＝sin．【例3】在△ABC中,已知tanA＝，試判斷△ABC的形狀．解：因為tanA＝，所以＝．所以sinAsinC－sinAsinB＝cosAcosB－cosAcosC,所以cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosB＋sinAsinB，所以cos(A－C)＝cos(A－B），所以A－C＝A－B或A－C＝B－A，即B＝C或2A＝B＋C．所以△ABC為等腰三角形或為A等于60°的三角形．方法規(guī)律判斷三角形的形狀，關(guān)鍵是找出角A，B,C的關(guān)系．本題的巧妙之處在于角的和與差的公式的逆用,這也是解這類題的一條重要途徑．同時,注意隱含條件A＋B＋C＝π的限制作用．探究四三角函數(shù)形式的轉(zhuǎn)化研究形如f(x）＝asinx＋bcosx的函數(shù)的性質(zhì)，都要先把其化為整體角的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的形式,方法是提取,逆用公式Sα±β，Cα±β，特別注意角的范圍對三角函數(shù)值的影響．【例4】已知函數(shù)f（x)＝sinx－eq\r（3)cosx，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期與值域；（2）求f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間．分析：對于此類問題可把asinx＋bcosx化簡成sin（x＋θ）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（tanθ＝\f(b，a)）)的形式來求解．解：f（x）＝sinx－cosx＝2＝＝2sin，x∈R．(1)T＝＝2π，