地球物理反演方法作業(yè)及答案

Homework1:basedonAppendixA1.Normofthevector（矢量的范數）在歐式空間下，矢量可以表示為：a與三維空間中矢量長度的定義類似，我們引入了n維歐式空間中矢量的范數，表示為：a當矢量a是由實數組成時，a的范數a始終是一個非負的值。顯然，a的范數即為a與其自身的內積的平方根。2.Operator;Linearoperator（算子；線性算子）在歐式空間中，對任意一個矢量a，我們通過某種規(guī)律的作用使其對應到同在歐式空間中的某個矢量a’，即：a我們就將這種規(guī)律稱之為算子A。對歐式空間中的任意兩個矢量a1和a2，以及任意兩個標量α1A成立，那么我們就稱算子A是一個線性算子。3.Giveanexampleofoperatorbehavioringeophysics（舉出一個地球物理中的算子例子）地震走時層析是一種常用的地震反演手段，其基本原理就是利用地震射線的路徑與走時來建立觀測時間與地下速度參數模型的關系。假設地下模型由矩形網格組成，每個網格內的慢度Si為一個定值。那么，當震源設定好之后（假設震源和檢波器都設置在模型邊界），單個檢波器接收到的走時TT其中，Li那么，對所有檢波器接收到的走時數據，我們可以建立如下方程：T=LS其中TS是m*n行的列向量，代表模型依次每個網格的慢度。L是一個k行m*n列的矩陣，k是檢波點的個數（即射線數量）。因此，在求取地下模型速度信息的反演過程中，確定和構建矩陣L就成為了關鍵的因素。在這一地球物理反演問題中的算子A，就是矩陣L與慢度向量S的線性相乘。同時，在這里算子A還是一個線性算子。4.Normofoperator（算子的范數）某個算子的范數定義為滿足下式：a'中的所有M中最小的那個值，即：A5.Normoffunctional（泛函的范數）泛函是算子的一種特殊形式，因此泛函的范數的定義與算子的定義類似。某個泛函的范數定義為滿足下式：f(中的所有M中最小的那個值，即：f6.Innerproduct（內積）在有限維下，內積定義為兩個矢量的一種運算：A推廣到一般的線性空間中，內積是指在復數域上的一個線性空間V備有一個正定、對稱以及共軛雙線性形式。內積運算滿足以下性質：對稱性：線性：線性：正定性：7.Hilbertspace（希爾伯特空間）在一個復矢量空間H上給定內積定義后，可以導出任意一個矢量的范數：x如果空間H對于這個范數來說是完備的，則此空間稱為希爾伯特空間。希爾伯特空間擁有最豐富的幾何性質。它是歐式空間的一個推廣。在地球物理學中，我們可以把地球物理數據或模型看作是希爾伯特空間中的元素。比如說，我們可以利用相應數據之間的距離來計算觀測數據和模擬數據之間的精度。換句話說，我們可以利用希爾伯特空間幾何性質中所有的方法和捷徑來幫助我們解決地球物理反演問題。8.L1norm;L2norm;L2Cnorm;Lpnorm;L∞norm（L1范數；L2范數；L1范數：L2范數：L2C范數LP范數：L∞范數：Homework2:basedonAppendixB&C&D1.Inverseoperator（逆算子）對方程A來說，如果其解是唯一的，那么對解空間也即數據空間中的任意一個y’，在模型空間中都存在一個模型x’與之對應，這種y’與x’的對應關系就稱為算子A的逆算子Ax=2.ExplaintheprocedureofGram-Schmidtorthogonalizationprocessandtheroleitplays.（闡述Gram-Schmidt正交化方法的流程以及它的作用）在某些情況下，求解方程組i=1是很困難的。顯然，如果n個數據{d1,d2首先，令e下一步，構建與e1正交的向量d2e類似的，繼續(xù)構建與e1和e2都正交的向量de以此類推。這一過程稱為Gram-Schmidt正交化方法。它在反演問題的求解中扮演著非常重要的角色。3.What’sRieszrepresentationtheorem（什么是Riesz表示定理）Riesz表示定理：在希爾伯特空間中，所有有界的線性泛函f(x)都可以表示為形如(l,x)內積的形式，其中l(wèi)是希爾伯特空間中的一個由f唯一確定的元素。4.Adjointoperator;self-adjointoperators（伴隨算子；自伴算子）假設X和Y是希爾伯特空間，A是從X到Y的一個線性算子，即y定理：對任意作用在X上的線性算子A以及任意的y∈Y，存在唯一的x*∈X使得對所有(A基于這一定理，我們可以引入伴隨算子A*作用于任意的y∈Y使其對應于xx其中A*A當一個希爾伯特空間H中的線性算子A滿足A=時，稱A為自伴算子，顯然自伴算子A有如下性質：A5.Positivelydetermined(PD)andabsolutelypositivelydetermined(APD)operator（正定和完全正定算子）在實希爾伯特空間H中，給出其某個子集S，如果其中一個線性算子A滿足對所有的x∈S，我們都能夠找到一個常數γ>0A那么我們就稱算子A是正定的。正定的定義可以推廣到復數域。與實數域類似，在復希爾伯特空間H中，給出其某個子集S，如果其中一個線性算子A滿足對所有的x∈S，我們都能夠找到一個常數γ>0A那么我們就稱算子A是完全正定的。6.Fréchetderivativeordifferential（Fréchet導數或微分）假設X和Y是兩個巴拿赫空間（完全線性賦范空間），A是一個從X到Y的算子。在x∈X處如果存在一個從X到Y的線性有界算子FA其中，當δx→o(我們稱算子A是可微的，算子Fx就稱為A在x處的Fréchet導數F式Fxδx稱為Ax在x處的FFréchet導數和微分的定義可以從算子推廣到泛函，其定義方法完全一致。7.Variationalcalculus:computingtheminimumoffollowingproblems:1)g2)Φk（變分法：計算下列問題的最小值）1)由g(x)的定義易知，δgx,δxδg由于Fréchet導數Fx是一個線性有界算子，因此我們可以引入線性有界自伴算子FA當且僅當Fx*Ax-F現(xiàn)在假設算子A是線性的，那么它的Fréchet導數FxF將此關系代入關于x0A值得一提的是算子A*A是一個正的自伴算子，通過對x2)顯而易見，Φk的最小值與它的平方Φ考慮到復希爾伯特空間中內積的性質：x,y=δΦ=-=-δk函數Φ2k的最小值的必要條件為對任意δΦ在這里，我們可以選取如下形式的δkδk=代入必要條件中，同時利用復希爾伯特空間中內積的另一條性質：x,kyy,xy因此我們得到了關于最小點k0k將其代入Φk，我們便得到了函數ΦminΦ=Homework3:basedonAppendixE1.singularvalueofamatrix（矩陣的奇異值）2.singularmatrix;ill-conditionalmatrix（奇異矩陣；病態(tài)矩陣）3.Singularvaluedecomposition(SVD)theorem（奇異值分解定理）一個N*L的矩陣A（N≥L）總可以表示為三個矩陣的乘積，這三個矩陣分別是：N*L的列正交矩陣U，L*L的非負對角陣Q以及L階的正交方陣V，即A其中Q=diag(Qi在奇異值分解定理中，對于矩陣A，如果其奇異值中至少有一個值為零，那么就稱矩陣A是奇異的。類似的，如果奇異值中有一個值非常小，那么就稱矩陣A是病態(tài)的。因此，奇異值分解為我們所要處理矩陣的形式提供了一種明確的診斷方法。4.ExplaintheprocedureofthespectralLanczosdecompositionmethodandtheroleitplays（解釋Lanczos譜分解法的流程以及它的作用）解一個大型對稱特征值問題Av=λv最合適的方法是通過Lanczos法實現(xiàn)的，這種方法包含了對給出矩陣的三對角化。Lanczos法的優(yōu)點之一是在三對角化完成之前，我們就可以估計出特征值的極值，這使得我們將歐式空間EN中的一個由矢量c,Ac,……,KLanczos法是基于利用Gram-Schmidt正交化方法來生成克雷洛夫空間KL中的正交基來實現(xiàn)的。在矩陣運算中，這種方法是與將對稱陣A簡化為一個三對角陣TL以及TLT其中QL是克雷洛夫空間中的正交基，其中的矢量qj就稱為Lanczos矢量。所有的Lanczos矢量都是N維矢量，由假設βj我們首先考慮使用N維克雷洛夫空間下的三對角化過程，KN=spanc,Ac,……,A令上式中等式左右兩端的第j列相等，我們得到了一個循環(huán)公式：β該式在定義β0q0=βQN的正交性可以寫作：qiTqj=δij，其中δα其中I是N階單位陣。同理，利用βj>0,j=1,2,?,N-1以及β從（2）式我們還能得到q因此，我們就將Lanczos算法歸納為在滿足假設β時，已知qj-1，qj和βj-1來確定αjLanczos算法可以被總結如下：β通過Lanczos算法我們得到了矩陣QN和TN。值得一提的是，在通常情況下，我們可以調用Lanczos算法到j=L-1（L<N），在這種情況下我們得到的是L*L的矩陣QN和THomework4:basedonChapter21.Sensitivity;Resolution（靈敏度；分辨率）某種地球物理方法（正算子為A）的靈敏度定義為數據擾動范數與模型擾動范數的比。最大靈敏度定義為：S其中符號sup?(φ)代表變量φ如果我們知道了Smomax，我們就可以確定能夠產生比觀測誤差m因此，某種地球物理方法僅僅對那些超過δ/S我們假設在點m0附近，對任意?m正常數A根據附錄B中的定理64，存在一個線性有界的逆算子Amo-1，這就意味著反問題在m=同樣的關系可以對dδ成立，其中m由上面兩式我們得到m現(xiàn)在我們可以定義在給定觀測數據誤差δ=δ?由定理64A基于上式，我們可以定義某種地球物理方法的分辨率。如果下面的關系成立，那么在m0附近的兩個模型m1和m其中R就是給定地球物理問題的分辨率值。顯然R逆算子的范數越小，分辨率Rm2.ill-posedproblem;conditionallywell-posedproblem（不適定問題；條件適定問題）對反問題d如果如下條件都滿足：（1）解m存在（2）解m唯一（3）解m由d連續(xù)地確定換句話說，逆算子A-1在數據空間D中原問題中，假設我們知道一條先驗信息：該問題的精確解屬于一個集合C，集合C是由所有滿足定義在像AC下的逆算子A-1類似地，如果如下條件都滿足：（1）我們有先驗信息：原問題存在一個屬于特定集合C?M(模型空間（2）算子A是由C到AC?D（3）在AC?D上逆算子A那么我們稱該問題是條件適定的。我們稱集合C為正確性集合，集合C的引入使得不適定問題轉變成了條件適定問題。3.Quasisolutionoftheill-posedproblem（不適定問題的擬解）假設問題d是條件適定的。我們繼續(xù)假設等式右端存在一定誤差：d其中μ問題（1）在正確性集合C中的擬解是使得距離μDAmδ,dμ其中infφ指變量φ的最大下界。顯然，如果C是一個緊集，我們就可以在C中達到μDAm4.Regularizingoperator（正則化算子）在通常情況下，問題d是不適定的。正則化算法的中心思想就是設法將一個不適定問題轉化為一系列適定問題的疊加d這一問題在某種尺度下與原問題是近似的。標量參數α稱為正則化參數。我們同樣需要當α趨向于零時，mα趨向于mt，其中mt和mα=A換句話說，任何一種正則化算法都是基于用一系列與正則化參數α有關的連續(xù)逆算子Aα-1近似一個不連續(xù)逆算子如果存在一個函數α(δ)，滿足對任意?>0，都可以找到一個正數δ(?)使得μμ其中m那么我們就稱算子R(d,α換句話說，mα是數據的一個連續(xù)函數并且當αm如果算子R(d,α)是數據域D的一個子集D1中任意數據d鄰域內的正則化算子，那么我們稱R(5.Stabilizingfunctionalandtheroleitplays（穩(wěn)定泛函以及它的作用）對于某個度量空間M中的一個非負函數s(m)，取該函數值域中的任意一個正實數c，如果由滿足s(m)≤c的M中的元素m構成的子集MC是一個緊集，那么我們就稱s(穩(wěn)定泛函的作用是從所有可能模型構成的空間M中選取正確性子集MC。換句話說，穩(wěn)定器的主要應用就是從所有可能解組成的空間Qδs通過選取不同形式的穩(wěn)定泛函，我們可以挑選出反問題解中的不同組合。換句話說，穩(wěn)定泛函有助于我們應用關于反問題解的某些性質的先驗信息。6.Tikhonovparametricfunctional（吉洪諾夫參數化泛函）吉洪諾夫和Arsenin已經證明，對于很多類穩(wěn)定泛函，它們的最小值在mδ處達到，m因此，我們就可以用該條件來解決最小化問題

s解決這一問題的常用方法是引入一個無約束的參數化泛函PαP并通過求解該函數的最小化問題來解決原問題P函數μD2A因此，參數化泛函Pαm,dμ其中mα是使得Pαm7.List10kindsofstabilizingfunctionals（列出10種穩(wěn)定泛函）(1(2)s(3)s(4)s(5)s(6)sminentrom(7)s(8)sβTVm=(9)(10)s8.Unifiedexpressionforpseudo-quadraticparametricfunctional（偽二次參數化泛函的統(tǒng)一表達）前面列舉的所有穩(wěn)定泛函都可以表示為模型參數的偽二次函數：s其中We是一個線性算子，表示由m確定的函數we與模型參數泛函如果算子We與mr無關，我們就得到了一個二次函數，比如最小范數或者最大光滑穩(wěn)定泛函。通常情況下，函數we可能是m9.Regularizationparameterandtheroleitplays（正則化參數以及它的作用）正則化參數α是最佳數據擬合和最優(yōu)模型約束之間的一個權衡。如果α取得過小，參數化泛函Pαm的最小化就與目標函數的最小化等價，因此我們就沒有正則化過程，得出的結果是不穩(wěn)定不準確的。如果α取得過大，參數化泛函Pαm的最小化就與穩(wěn)定泛函s10.Howtoselecttheoptimalregularizationparameter?（如何選取最佳的正則化參數？）我們假設觀測數據dδ帶有噪音，dδ=dtμ那么正則化參數就可以通過目標關系來決定μ為了證明這種方法我們要更細致地研究正則化過程中的三個泛函：吉洪諾夫參數化泛函、穩(wěn)定泛函和目標函數：psi性質一：pα，sα和iα是單調函數。其中pα和性質二：如果元素mα是唯一的，那么pα，sα下圖表現(xiàn)了三個函數的上述性質：由于iα的單調性，只有一個αi我們考慮一種簡單的非數值方法來選取參數α。比如，考慮一系列α：α對任意一個αk我們可以找到一個元素mαk使得Pαk參數α的最優(yōu)值是α0μ該式被稱為目標關系。目前最常用的選取參數α的具體方法是L曲線法。L曲線分析為定性選取近似最優(yōu)正則化參數提供了簡單的圖形工具。該方法基于對所有可能的α繪出目標函數iα和穩(wěn)定函數sα的曲線，由于在對數坐標下，該曲線大致呈L形，故稱之為L曲線。L曲線說明了最佳數據擬合和最優(yōu)模型約束之間的一種權衡。在Homework5:basedonChapter31.Data&modelresolutionmatrices（數據和模型的分辨率矩陣）由于偽逆矩陣A+解決了反問題Am=d，它也因此常常被稱為廣義逆矩陣：根據關系m0A反問題的擬解可以表示為m我們回頭考慮這個估計的模型m0與觀測數據dd其中N階方陣N稱作數據分辨率矩陣。如果N是一個單位陣，那么dp=d，并且預測誤差為零。矩陣N…0000.10.90.1000…那么數據的第i行為：d從該式我們可以看出預測值dip是觀測數據di-1，di和di+1的加權平均。因此，分辨率矩陣N的每一行揭示了相鄰數據可以被獨立地預測或解決的程度。數據分辨率矩陣的對角元素則揭示了某個數據被預測時的權重大小。這也就是為什么這些對角元素被稱為數據的重要性模型分辨率矩陣揭示了模型參數是否可以被很好地預測或是求得。假設mtured=A我們將上式代入mestm其中，L階方陣R=稱作模型分辨率矩陣。由上述關系我們有m估計的模型參數是真實模型參數的加權平均，其中的權系數是由模型分辨率矩陣的行決定的。當R是單位陣時，得到模型參數是準確的。與數據分辨率矩陣類似，模型分辨率矩陣完全由正問題的算子矩陣決定。2.Solutionsofpurelyunderdeterminedproblemandweightedleast-squares（完全欠定問題的解和加權最小二乘）假設問題d=Am是完全欠定的，因此就存在著不止一組精確符合觀測數據的模型參數。我們嘗試從所有可能的解中選取在某種情況下最簡單的一個，比如說，最小歐式范數解：l其中m2=m,m=mTm?其中，λ是拉格朗日乘子對角陣。我們計算函數?mδ最小必要條件要求對任意δmTδ因此我們得到問題的解mestm另一方面，這個解必須滿足d=矩陣AAT是一個λ=將上式代入mestm這就是欠定問題的最小范數解。我們引入權重系數wi2來估計殘差rif我們再引入作用在數據域D上的線性加權算子W：W因此fwf加權目標函數的最小問題可以通過計算該函數的一階變分并令它為零來解決。δ因此我們得到A假設矩陣ATWm矩陣A被稱為加權廣義逆矩陣。3.Variance,standarddeviation,covariance,chi-square（方差，標準差，協(xié)方差，卡方）離散隨機變量d的方差σ2描述了dσσ被稱為數據d的標準差。對一組數據d=cov某個數據自身的協(xié)方差就是方差cov因此對于觀測數據d=σ該矩陣是對稱的。如果數據是不相關的，那么協(xié)方差矩陣就變成了對角陣σ=其主對角線上的元素為該數據的方差，在這種情況下，加權最小二乘中的權系數就由下式給出：W函數f稱為卡方。當觀測數據呈正態(tài)分布時，量χ2代表了N個正態(tài)分布變量平方的和。因此，通過應用加權最小二乘方法我們可以為有較大卡方差的數據（低精度數據）選取較小的權系數而為有較小標準差的數據（更準確的數據）選取較大的權系數。如果數據擁有相同的方差σW并且卡方函數這時就與普通的目標函數相等了。4.Regularizedsolutionforlinearinverseproblem,thesolutionanditsadvantagesaftertheapplicationofSLDM（線性反問題的正則化解，應用Lanczos譜分解方法后其解及其具有的優(yōu)點）線性反問題的最小二乘解的各種不同修正是由直接令相應的目標函數最小化來得到的。這些解都存在很多限制，并且對于觀測數據的微小變化非常敏感。比如說當逆矩陣(ATA我們引入相應的如下形式的參數化泛函：P其中Wd和Wm是數據和模型的加權矩陣，根據正則化方法的基本原理，我們需要找到一個反問題的擬解mα使得參數化泛函P正則化參數α是由目標狀態(tài)決定的：W其中δ是數據加權噪聲尺度的先驗估計W為了解決這一問題我們求Pαδ從該式我們可以得出反問題d=Am的標準正則化方程：A以及它的正則化解：m通常加權矩陣Wd和Wm該式給出了廣義最小二乘問題的正則化解。在正則化解m中，我們做變量代換cB同時為了簡便假設maprm引入函數ff我們最終得到m至此，我們面對的問題是計算關于B的函數。這個問題可以很有效率地通過應用Lanczos譜分解方法來解決。根據Homework3中關于Lanczos譜分解法的討論，我們找到了一個由Lanczos矢量構成的正交矩陣QN，以及一個由系數αj和βj構成的三對角對稱矩陣TN。附錄E中介紹，我們可以將計算關于B的函數fαm其中el(N)是一個N維矢量，它的第一個元素是1，其他元素均為考慮到fαB的表達式，我們得到應用了m這種表達相比于一般的正則化解，其優(yōu)點在于對所有不同的正則化參數α我們只需要調用一次Lanczos算法，之后我們只需要對不同的α求一次三對角陣TN+α5.Definitionsoftheweightingmatricesforthemodelparametersanddata（模型參數和數據的加權矩陣的定義）我們研究數據對某個特定模型參數mkd兩邊求微分，有δ上式中，Aik是正演算子矩陣A中δ我們定義數據對模型參數mkS可以看到，綜合靈敏度的值取決于參數k。換句話說，數據對不同模型參數的靈敏度是不同的，因為不同參數對觀測數據的貢獻是不同的。我們再定義由SkS也即它是由矩陣A列的范數組成的。我們將S作為模型參數的加權矩陣W因此權系數就與靈敏度相等W我們進而引入加權模型參數m通過這些關系，我們可以將反問題d=Am寫為d=其中Aw是一個加權正算子，A下面我們對一個特定的加權模型參數mkδ并且對參數mkS即新的綜合靈敏度矩陣Sw相應的加權穩(wěn)定泛函形式為：s它為那些為數據提供較大貢獻的模型參數偏離先驗模型加上了一個較強的約束。因此，模型加權在不同的模型參數下得到了幾乎相同的反演結果。類似地，我們可以定義由矩陣A行的范數構成的對角數據加權矩陣：W數據加權矩陣使得標準數據較小地依賴于特定的觀測數據，提升了反演方法的分辨率。6.Approximateregularizedsolutionoflinearinverseproblem,correspondingweightingmatrixforthemodelparameters（線性反問題的近似正則化解，相應的模型參數加權矩陣）在實際地球物理應用中，線性反問題d=Am往往會很龐大，直接求矩陣的逆會耗費大量時間，這一問題在地震和電磁數據反演中尤為凸顯。在這種情況下，我們可以使用一種簡單的方法來得到反問題的近似解。我們將標準正則化方程A改寫為A因為我們在近似的情況下要引入不同的模型參數加權，所以我們在Wm我們假設正則化參數α非常大，以至于我們可以忽視ATWα進而我們得到了近似正則化解m我們可以看出，求解近似解mα并不需要求矩陣A系數α-1A在求近似解的情形下，模型參數的加權矩陣是對綜合靈敏度矩陣求開方得到的。W我們用mαm那么m其中mHomework6:basedonChapter41.Listtheiterativeprocess(programflowchart)ofminimalresidualmethod(MRM)algorithmforthelinearinverseproblemd=Am（列出線性反問題d=Am的最小殘差算法的迭代流程（流程圖））計算殘差rn=Amn-d計算殘差r計算方向l計算步長k已知觀測數據已知觀測數據d和正算子AA給出初始模型給出初始模型m0，令是否達到預定收斂條件，如果否是否達到預定收斂條件，如果否更新模型更新模型mn+1=是否達到預定收斂條件，如果是是否達到預定收斂條件，如果是迭代結束，得到反演結果迭代結束，得到反演結果m2.Listtheiterativeprocess(programflowchart)ofgeneralizedMRM(GMRM)algorithmforthelinearinverseproblemd=Am（列出線性反問題d=Am的廣義最小殘差算法的迭代流程（流程圖））已知觀測數據已知觀測數據d和正算子AA給出初始模型給出初始模型m0，令計算殘差計算殘差r計算l計算ln+1,(1)=計算計算l計算計算l是否達到預定收斂條件，如果否是否達到預定收斂條件，如果否計算計算βpln更新模型更新模型mn+1=是否達到預定收斂條件，如果是是否達到預定收斂條件，如果是迭代結束，得到反演結果迭代結束，得到反演結果m3.Listtheiterativeprocess(programflowchart)oftheregularizedMRMalgorithmfortheill-posedlinearinverseproblemd=Am（列出不適定線性反問題d=Am的正則化廣義最小殘差算法的迭代流程（流程圖））計算殘差rn=A計算殘差r計算方向l已知觀測數據已知觀測數據d和正算子AA給出初始模型給出初始模型m0，令是否達到預定收斂條件，如果否是否達到預定收斂條件，如果否計算步長計算步長k更新模型更新模型mn+1=是否達到預定收斂條件，如果是是否達到預定收斂條件，如果是迭代結束，得到反演結果迭代結束，得到反演結果m4.Listtheiterativeprocess(programflowchart)oftheregularizedGMRMalgorithmfortheill-posedlinearinverseproblemd=Am（列出不適定線性反問題d=Am的正則化最小殘差算法的迭代流程（流程圖））已知觀測數據已知觀測數據d和正算子AA給出初始模型給出初始模型m0，令計算殘差rn計算殘差r計算l計算ln+1,(1)α計算計算lnα計算計算l是否達到預定收斂條件，如果否是否達到預定收斂條件，如果否計算計算βpln更新模型更新模型mn+1=是否達到預定收斂條件，如果是是否達到預定收斂條件，如果是迭代結束，得到反演結果迭代結束，得到反演結果mHomework7:basedonChapter51.Listtwokindsofapproachestodeterminethesteplengthusinglinesearchmethod;listthecorrespondingalgorithm’siterativeprocesses(programflowchart)forthesteepestdecentmethod（列舉兩種使用線型搜索方法確定步長的方法；并且列出相應算法對最速下降法的迭代流程（流程圖））步長的基本作用是使得目標函數在當前迭代環(huán)境下達到最小，因此最優(yōu)化的步長必定使得目標函數的一階導數為零。經引入伴隨算子，我們得到關系F如果算子A近似于一個線性算子，那么我們可以作近似：A進而得到步長k當A是一個普通的非線性算子時，我們就要用到二次近似：A其中Fmn(2)通過這個形式的近似，我們最終可以將原最小化問題轉變成關于k(k=kn)p其中pg該問題的最優(yōu)解即為在這種近似下的最優(yōu)步長。第一種步長確定方法下的最速下降迭代流程為計算殘差rn=A(mn計算殘差r計算方向l計算步長k已知觀測數據已知觀測數據d和正算子AA給出初始模型給出初始模型m0，令是否達到預定收斂條件，如果否是否達到預定收斂條件，如果否是否達到預定收斂條件，如果是更新模型mn+1=m是否達到預定收斂條件，如果是更新模型mn+1=迭代結束，得到反演結果迭代結束，得到反演結果m第二種步長確定方法下的最速下降迭代流程與第一種類似，唯一的區(qū)別在于每次迭代計算方向時需要多計算出rn+11和hn的值，進而得到p0，p1，p22.Listthealgorithm’siterativeprocess(programflowchart)ofNewtonmethodwithlinearandquadraticlinesearches（列出線性線型搜索和二次線型搜索牛頓法的算法迭代流程（流程圖））基于線性線型搜索的牛頓法迭代流程為計算殘差rn=A(計算殘差r計算方向l已知觀測數據已知觀測數據d和正算子AA給出初始模型給出初始模型m0，令是否達到預定收斂條件，如果否是否達到預定收斂條件，如果否計算步長計算步長k更新模型更新模型mn+1=是否達到預定收斂條件，如果是是否達到預定收斂條件，如果是迭代結束，得到反演結果迭代結束，得到反演結果m基于二次線型搜索的牛頓法迭代流程為計算殘差rn計算殘差r已知觀測數據已知觀測數據d和正算子AA給出初始模型給出初始模型m0，令計算r計算rn+11=A計算方向計算方向l是否達到預定收斂條件，如果否是否達到預定收斂條件，如果否計算計算p0=rn,rn，通過通過關系p0更新模型更新模型mn+1=是否達到預定收斂條件，如果是是否達到預定收斂條件，如果是迭代結束，得到反演結果迭代結束，得到反演結果m3.Whatisthepreconditionedsteepestdecentmethod?（什么是預處理最速下降法？）鑒于求海森矩陣的逆在很多情況下非常困難，我們用另一個矩陣Gn來代替它。最簡單的選取GG那么模型更新的關系就變?yōu)閙類似地，其中kn?例如在線性線型搜索中，上式的最優(yōu)解為k應用上述修改后的梯度法，被稱作預處理最速下降法。通過不同選取Gn4.Listthealgorithm’siterativeprocess(programflowchart)fortheconjugategradient(CG)method（列出共軛梯度法的算法迭代流程（流程圖））計算殘差rn計算殘差r已知觀測數據已知觀測數據d和正算子AA給出初始模型給出初始模型m0，令計算計算ln=Fm是否達到預定收斂條件，如果否是否達到預定收斂條件，如果否計算方向計算方向l計算步長計算步長k更新模型更新模型mn+1=是否達到預定收斂條件，如果是是否達到預定收斂條件，如果是迭代結束，得到反演結果迭代結束，得到反演結果m5.Listthealgorithm’siterativeprocess(programflowchart)fortheregularizedsteepestdecentmethod（列出正則化最速下降法的算法迭代流程（流程圖））計算殘差rn=A計算殘差r計算方向l已知觀測數據已知觀測數據d和正算子AA給出初始模型給出初始模型m0，令是否達到預定收斂條件，如果否是否達到預定收斂條件，如果否計算步長計算步長k更新模型更新模型mn+1=是否達到預定收斂條件，如果是是否達到預定收斂條件，如果是迭代結束，得到反演結果迭代結束，得到反演結果m6.Listthealgorithm’siterativeprocess(programflowchart)fortheregularizedconjugategradient(RCG)method（列出正則化共軛梯度法的算法迭代流程（流程圖））計算殘差r計算殘差r已知觀測數據已知觀測