2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點第十章統(tǒng)計與概率變量間的相關(guān)關(guān)系統(tǒng)計案例理

PAGEPAGE1變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例1．相關(guān)關(guān)系與回來方程(1)相關(guān)關(guān)系的分類①正相關(guān)在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)．②負相關(guān)在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負相關(guān)．(2)線性相關(guān)關(guān)系假如散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線旁邊，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回來直線．(3)回來方程①最小二乘法求回來直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．②回來方程方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回來方程，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是待定參數(shù)．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x).))(4)回來分析①定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．②樣本點的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))稱為樣本點的中心．③相關(guān)系數(shù)當(dāng)r>0時，表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時，表明兩個變量負相關(guān)．r的肯定值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強．r的肯定值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性．2．獨立性檢驗(1)分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．(2)列聯(lián)表：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為2×2列聯(lián)表y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d構(gòu)造一個隨機變量K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．(3)獨立性檢驗利用隨機變量K2來推斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗．概念方法微思索1．變量的相關(guān)關(guān)系與變量的函數(shù)關(guān)系有什么區(qū)分？提示相同點：兩者均是指兩個變量的關(guān)系．不同點：①函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系．②函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不肯定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．2．線性回來方程是否都有實際意義？依據(jù)回來方程進行預(yù)報是否肯定精確？提示(1)不肯定都有實際意義．回來分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的線性回來方程才有實際意義，否則，求出的線性回來方程毫無意義．(2)依據(jù)回來方程進行預(yù)報，僅是一個預(yù)報值，而不是真實發(fā)生的值．1．（2024?新課標Ⅰ）某校一個課外學(xué)習(xí)小組為探討某作物種子的發(fā)芽率和溫度（單位：的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽試驗，由試驗數(shù)據(jù)，，2，，得到下面的散點圖：由此散點圖，在至之間，下面四個回來方程類型中最相宜作為發(fā)芽率和溫度的回來方程類型的是A． B． C． D．【答案】D【解析】由散點圖可知，在至之間，發(fā)芽率和溫度所對應(yīng)的點在一段對數(shù)函數(shù)的曲線旁邊，結(jié)合選項可知，可作為發(fā)芽率和溫度的回來方程類型．故選．2．（2024?山東）為了探討某班學(xué)生的腳長（單位：厘米）和身高（單位：厘米）的關(guān)系，從該班隨機抽取10名學(xué)生，依據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回來直線方程為，已知，，，該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為A．160 B．163 C．166 D．170【答案】C【解析】由線性回來方程為，則，，則數(shù)據(jù)的樣本中心點，由回來直線方程樣本中心點，則，回來直線方程為，當(dāng)時，，則估計其身高為166，故選．3．（2024?新課標Ⅱ）如圖是某地區(qū)2000年至2024年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖．為了預(yù)料該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回來模型．依據(jù)2000年至2024年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為1，2，，建立模型①：；依據(jù)2010年至2024年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為1，2，，建立模型②：．（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值；（2）你認為用哪個模型得到的預(yù)料值更牢靠？并說明理由．【解析】（1）依據(jù)模型①：，計算時，；利用這個模型，求出該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值是226.1億元；依據(jù)模型②：，計算時，；利用這個模型，求該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值是256.5億元；（2）模型②得到的預(yù)料值更牢靠；因為從總體數(shù)據(jù)看，該地區(qū)從2000年到2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額是逐年上升的，而從2000年到2009年間遞增的幅度較小些，從2010年到2024年間遞增的幅度較大些，所以，利用模型②的預(yù)料值更牢靠些．1．（2024?河南模擬）某公司的廣告費支出x與銷售額y（單位：萬元）之間有下列對應(yīng)數(shù)據(jù)：已知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，且回來方程為y^=6.5x+17.5，工作人員不慎將表格中x24568y40605070A．28 B．30 C．32 D．35【答案】B【解析】設(shè)第一個數(shù)據(jù)遺失為y，由表中數(shù)據(jù)，可得：x=且回來方程y^=6.5x+17.5，過樣本中心點（x，即y=所以y=15解得y＝30．故選B．2．（2024?衡水模擬）某公司某型號無人機以其小巧輕巧、高效機動、影像清楚、智能化、用途廣等突出特點，得到廣闊用戶的青睞，該型號無人機近5年銷售量數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表所示．年份20242024202420242024年份代碼x01234年銷量y/萬件1015203035依據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關(guān)于x的線性回來方程為y?=6.5x+t，則可以預(yù)料A．40萬件 B．41.5萬件 C．45萬件 D．48萬件【答案】B【解析】x=0+1+2+3+45又因為直線y?故6.5×2+t＝22，解得t＝9．故預(yù)料2024年該型號無人機的銷量大約為y?故選B．3．（2024?東湖區(qū)校級模擬）某產(chǎn)品的宣揚費用x（萬元）與銷售額y（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：宣揚費用x（萬元）4235銷售額y（萬元）4524a50依據(jù)上表可得回來方程y?=9.6x+2.9，則宣揚費用為3萬元時，對應(yīng)的銷售額A．36.5 B．30 C．33 D．27【答案】D【解析】由題意產(chǎn)品的宣揚費用x（萬元）與銷售額y（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)滿意回來方程y?則x=4+2+3+54=3.5，所以119+a4解得a＝27，宣揚費用為3萬元時，y?故選D．4．（2024?桃城區(qū)校級模擬）已知某種商品的廣告費支出x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040m6570依據(jù)表中供應(yīng)的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出y關(guān)于x的線性回來方程為y?=7x+15，則表中A．45 B．50 C．55 D．60【答案】A【解析】∵x=2+4+5+6+85∴樣本點的中心坐標為（5，205+m5代入y?=7x+15，得205+m5故選A．5．（2024?吉林四模）若通過10組數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，…，10）得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回來方程為y^=3x+a?，且i=110A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】∵x=110∴樣本點的中心為（1，9），代入y?=3x+a即a?故選C．6．（2024?衡水模擬）某市2024年至2024年新能源汽車年銷量y（單位：百臺）與年份代號x之間的關(guān)系如表所示：年份20242024202420242024年份代號x01234年銷量y101520m35若依據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關(guān)于x的回來直線方程為y?=6.5x+9，則表中A．22 B．25.5 C．28.5 D．30【答案】D【解析】因為x=0+1+2+3+45=2因為回來直線方程過樣本中心，所以10+15+20+m+35＝22×5，解得m＝30．故選D．7．（2024?茂名二模）某市2024年至2024年新能源汽車年銷量y（單位：百臺）與年份代號x的數(shù)據(jù)如表：年份20242024202420242024年份代號x01234年銷量y101520m35若依據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關(guān)于x的回來直線方程為y^=6.5x+9，則表中A．22 B．25 C．30 D．無法確定【答案】C【解析】因為x=0+1+2+3+45=2，代入回來直線方程為于是得10+15+20+m+35＝22×5，解得m＝30．故選C．8．（2024?沈陽三模）已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如表：x1234y1mn4如表數(shù)據(jù)中y的平均值為2.5，若某同學(xué)對m賦了三個值分別為1.5，2，2.5，得到三條線性回來直線方程分別為y＝b1x+a1，y＝b2x+a2，y＝b3x+a3，對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)分別為r1，r2，r3，下列結(jié)論中錯誤的是（）參考公式：線性回來方程y=b?x+a?中，其中b?A．三條回來直線有共同交點 B．相關(guān)系數(shù)中，r2最大 C．b1＞b2 D．a(chǎn)1＞a2【答案】D【解析】由題意，1+m+n+4＝10，即m+n＝5．若m＝1.5，則n＝3.5，此時x=1+2+3+44i=14+（3﹣2.5）（3.5﹣2.5）+（4﹣2.5）（4﹣2.5）＝5.5，i=14(xi-x)2i=14(yi-y)2則b1=5.55=1.1，若m＝2，則n＝3，此時x=1+2+3+44i=14i=14(xi-x)2=5，b2=55=1，若m＝2.5，則n＝2.5，此時x=1+2+3+44i=14+（3﹣2.5）（2.5﹣2.5）+（4﹣2.5）（4﹣2.5）＝4.5，i=14(xi-x)2由樣本點的中心相同，故A正確；由以上計算可得，相關(guān)系數(shù)中，r2最大，b1＞b2，a1＜a2，故B，C正確，D錯誤．故選D．9．（2024?雅安模擬）一車間為規(guī)定工時定額，須要確定加工零件所花費的時間，為此進行了4次試驗，測得的數(shù)據(jù)如下，依據(jù)如表可得回來方程y?=8x+11，則實數(shù)零件數(shù)x（個）2345加工時間y（分鐘）30a4050A．34 B．35 C．36 D．37【答案】C【解析】x=2+3+4+54則樣本點的中心坐標為（3.5，120+a4代入線性回來方程，得120+a4解得a＝36．故選C．10．（2024?包頭二模）對兩個變量x與y進行線性相關(guān)性和回來效果分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn），則下列說法不正確的是（）A．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好 B．由樣本數(shù)據(jù)利用最小二乘法得到的回來方程表示的直線必過樣本點的中心（x，y） C．若變量x與y之間的相關(guān)系數(shù)r＝0.80，則變量x與y之間具有很強的線性相關(guān)性 D．用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回來效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好【答案】D【解析】對兩個變量x與y進行線性相關(guān)性和回來效果分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，故A正確；由樣本數(shù)據(jù)利用最小二乘法得到的回來方程表示的直線必過樣本點的中心（x，y），故B正確；若變量x與y之間的相關(guān)系數(shù)r＝0.80＞0.75，則變量x與y之間具有很強的線性相關(guān)性，故C正確；用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回來效果，R2越大，說明模型的擬合效果，故D錯誤．故選D．11．（2024?南崗區(qū)校級模擬）某市為了解中學(xué)老師學(xué)習(xí)強國的狀況，調(diào)查了中學(xué)、初中各5所學(xué)校，依據(jù)老師學(xué)習(xí)強國人數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（單位：人），畫出如圖莖葉圖（其中一個數(shù)字被污損）．并從學(xué)習(xí)強國的老師中隨機抽取了4人，統(tǒng)計了其學(xué)習(xí)強國的周平均時間（單位：小時）與年齡（單位：歲），并繪制了如圖：年齡20304050周平均學(xué)校強國時間2.5344.5（I）若所調(diào)查的5所初中與5所中學(xué)學(xué)習(xí)強國的平均人數(shù)相同，求莖葉圖中被污損的數(shù)字a；（II）依據(jù)表（2）中供應(yīng)的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出周平均學(xué)習(xí)強國時間y關(guān)于年齡x的回來直線方程y?=b?x+a?，并依據(jù)求出的參考公式：b^=i=1【解析】（1）設(shè)被污損的數(shù)字為a則88+89+90+91+92解得a＝8，（2）由表中數(shù)據(jù)，計算得x=20+30+40+504b?a?∴周平均學(xué)校強國時間y關(guān)于年齡x回來直線方程為y?當(dāng)x＝52時，y?即預(yù)料年齡為52歲的老師周均學(xué)習(xí)強國的時間為4.69小時．12．（2024?衡陽三模）某新興環(huán)保公司為了確定新開發(fā)的產(chǎn)品下一季度的營銷安排，需了解月宣揚費x（單位：千元）對月銷售量y（單位：t）和月利潤z（單位：千元）的影響，收集了2024年12月至2024年5月共6個月的月宣揚費xi和月銷售量yi（i＝1，2，…，6）的數(shù)據(jù)如表：月份1212345宣揚費x1357911月銷售量y14.2120.3131.831.1837.8344.67現(xiàn)分別用兩種模型①y＝bx+a，②y＝aebx分別進行擬合，得到相應(yīng)的回來方程并進行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值：（注殘差在數(shù)理統(tǒng)計中是指實際視察值與估計值（擬合值）之間的差．）xyi=16i=16xi6301284.24286（1）依據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由；（2）殘差肯定值大于2的數(shù)據(jù)被認為是異樣數(shù)據(jù)，須要剔除，剔除異樣數(shù)據(jù)后求出（1）中所選模型的回來方程；（3）已知該產(chǎn)品的月利潤z與x，y的關(guān)系為z=23(5y-（i）若月宜傳費x＝15時，該模型下月銷售量y的預(yù)報值為多少？（ii）當(dāng)月宣揚費x為何值時，月利潤z的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回來直線y^=b^x+【解析】（1）應(yīng)當(dāng)選擇模型①，因為模型①殘差點一是整體上更接近y＝0，二是比較勻稱地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明該模型擬合精度越高，回來方程的預(yù)報精度越高．（2）剔除異樣數(shù)據(jù)，即2024年2月的數(shù)據(jù)后，得x=15i=15i=15b^a^所以y關(guān)于x的線性回來方程為：y^（3）（?。┌褁＝15代入回來方程得：y^故預(yù)報值約為53.04（千元），（ⅱ）z=2所以當(dāng)x=1513．（2024?南崗區(qū)校級模擬）某中學(xué)數(shù)學(xué)建模愛好小組的同學(xué)為了探討所在地區(qū)男中學(xué)生的身高與體重的關(guān)系，從若干個中學(xué)男學(xué)生中抽取了1000個樣本，得到如下數(shù)據(jù)．?dāng)?shù)據(jù)一：身高在[170，180）（單位：cm）的體重頻數(shù)統(tǒng)計體重（kg）[50，55）[55，60）[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）人數(shù)206010010080201010數(shù)據(jù)二：身高所在的區(qū)間含樣本的個數(shù)及部分數(shù)據(jù)身高x（cm）[140，150）[150，160）[160﹣170）[170﹣180）[180﹣190）平均體重y（kg）4553.66075（Ⅰ）依據(jù)數(shù)據(jù)一將下面男中學(xué)生身高在[170﹣180）（單位：cm）體重的頻率分布直方圖補充完整，并利用頻率分布直方圖估計身高在[170﹣180）（單位：cm）的中學(xué)生的平均體重；（保留小數(shù)點后一位）（Ⅱ）依據(jù)數(shù)據(jù)一、二，計算身高（取值為區(qū)間中點）和體重的相關(guān)系數(shù)約為0.99，能否用線性回來直線來刻畫中學(xué)生身高與體重的相關(guān)關(guān)系，請說明理由；若能，求出該回來直線方程；（Ⅲ）說明殘差平方和或相關(guān)指數(shù)R2與線性回來模型擬合效果之間關(guān)系．（只需寫出結(jié)論，不須要計算）參考公式：b?=i=1參考數(shù)據(jù)：（1）145×45+155×53.6+165×60+185×75＝38608；（2）1452+1552+1652+1752+1852﹣5×1652＝1000．（3）663×175＝116025，664×175＝116200，665×175＝116375．（4）728×165＝120120．【解析】（1）身高在[170，180）的總?cè)藬?shù)為：20+60+100+100+80+20+10+10＝400，體重在[55﹣60）的頻率為：60400體重在[70﹣75）的頻率為：80400平均體重為：52.5×0.05+57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.25+72.5×0.2+77.5×0.05+82.5×0.025+87.5×0.025≈66.4，（2）因為r＝0.99→1，線性相關(guān)很強，故可以用線性回來直線來刻畫中學(xué)生身高與體重的相關(guān)，x=145+155+165+175+1855b?a?所以回來直線方程為：y?（3）殘差平方和越小或相關(guān)指數(shù)R2越接近于1，線性回來模型擬合效果越好．14．（2024?二模擬）在肯定范圍內(nèi)，植物的生長受到空氣、水、溫度、光照和養(yǎng)分等因素的影響，某試驗小組為了探討光照時長對某種植物增長高度的影響，在保證其他因素相同的條件下，對該植物進行不同時長的光照試驗，經(jīng)過試驗，得到6組該植物每8的光照時間x（單位：h）和每日平均增長高度）（單位：mm）的數(shù)據(jù)．x5678910y0.43.55.27.08.610.7（1）該小組分別用模型①y?=b?x+a?和模型②y?=em?x+n?對以上數(shù)據(jù)進行擬合，得到回來模型，并計算出模型的殘差如表：（模型①x5678910y0.43.55.37.08.610.7e1﹣0.60.540.280.12﹣0.24﹣0.1e2﹣0.631.712.101.63﹣0.7﹣5.42依據(jù)上表的殘差數(shù)據(jù)，應(yīng)選擇哪個模型來刻畫該植物每日的光照時間與每日平均增長高度的關(guān)系較為合適，簡要說明理由；（2）為了優(yōu)化模型，將（1）中選擇的模型殘差肯定值最大所對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)（x．y）剔除，依據(jù)剩余的5組數(shù)據(jù)，求該模型的回來方程，并預(yù)料光照時間為11h時，該植物的平均增長高度．（剔除數(shù)據(jù)前的參考數(shù)據(jù)：x=7.5，y=5.9，i=16xiyi＝299.8，i=16xi2=355，z＝lny．z≈-1.41，i=16參考公式：b?=i=1【解析】（1）應(yīng)選擇模型①，因為模型①每組數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差肯定值都比模型②的小，殘差波動小，殘差點比較勻稱地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說明擬合精度高；（2）由（1）知，需剔除第一組數(shù)據(jù)，則剔除后的x=7.5×6-555xy=280，5x2∴b?=i=1得①的回來方程為y?則當(dāng)x＝11時，y?=1.78×11-7.24=12.34（故光照時間為11h時，該植物的平均增長高度為12.34mm．15．（2024?龍鳳區(qū)校級模擬）交通平安法有規(guī)定：機動車行經(jīng)人行橫道時，應(yīng)當(dāng)減速行駛，遇行人正在通過人行橫道，應(yīng)當(dāng)停車讓行．機動車行經(jīng)沒有交通信號的道路時，遇行人橫過公路，應(yīng)當(dāng)避讓．我們將符合這條規(guī)定的稱為“禮讓斑馬線”，不符合這條規(guī)定的稱為“不禮讓斑馬線”．如表是大慶市某十字路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個月內(nèi)駕駛員“不禮讓斑馬線”行為的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：月份x12345“不禮讓斑馬線”的駕駛員人數(shù)y1201051008590（1）依據(jù)表中所給的5個月的數(shù)據(jù)，可用線性回來模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）求“不禮讓斑馬線”的駕駛員人數(shù)y關(guān)于月份x之間的線性回來方程；（3）若從4，5月份“不禮讓斑馬線”的駕駛員中分別選取4人和2人，再從所選取的6人中隨意抽取2人進行交規(guī)調(diào)查，求抽取的2人分別來自兩個月份的概率；參考公式，線性回來方程y?=b?x+a相關(guān)系數(shù)r=i=1【解析】（1）依題意x=3，y=100，i=15i=15(計算r=i=1∵|r|＝0.921＞0.75，∴y與x具有很強的線性相關(guān)關(guān)系；（2）b?=i=1∴y關(guān)于月份x之間的線性回來方程為y＝﹣8x+124；