廣東省佛山市高明區(qū)高一上學期期中數(shù)學試卷（含答案解析）

2024-2025學年廣東省佛山市高明區(qū)高一（上）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則（）A.-1 B.1 C.0 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合相等的定義，即可求解.【詳解】由可知，.故選：A2.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)有意義列出不等式求解即得.【詳解】函數(shù)有意義，則，解得，所以原函數(shù)的定義域為.故選：A3.已知命題，，若命題是假命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知：，是真命題，解不等式即可求解.【詳解】由于命題是假命題，則是真命題，即，是真命題，，解得．故選：B．4.“是函數(shù)且）的圖象經(jīng)過第三象限”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象特征，結合與0的關系，即可分別求解充分性和必要性，進而根據(jù)充要條件的定義求解.【詳解】解：對于函數(shù)且），當時，，結合指數(shù)函數(shù)的圖象特征，可知的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，所以充分性成立；對于函數(shù)且），當時，且單調遞減，此時它不經(jīng)過第三象限，當時，為增函數(shù)且，經(jīng)過第三象限，故符合題意，必要性成立，綜上所述，“”是“函數(shù)且）圖象經(jīng)過第三象限”的充要條件．故選：C．5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的零點排除選項，結合的變化趨勢，推出的變化趨勢，推出結果即可．【詳解】函數(shù)的定義域為，令，即，解得或，所以函數(shù)有個零點、，排除選項A，B；當時且，，的增長速度更快，所以，故排除D.故選：C．6.已知函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，則，，的大小順序是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定函數(shù)圖象的對稱軸，再結合單調性比較大小即得.【詳解】由函數(shù)滿足，得函數(shù)的圖象關于直線對稱，顯然，，而，在上是增函數(shù)，因此，所以故選：B7.已知定義在上的偶函數(shù)，若正實數(shù)a、b滿足，則的最小值為（）A. B.9 C. D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可得，由題意分析可得，結合基本不等式分析運算.【詳解】若函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，可得，整理得，故，解得，∴.若正實數(shù)a、b滿足，即，可得，可得，當且僅當，即時，等號成立，∴的最小值為.故選：A.8.已知函數(shù)是三次函數(shù)且冪函數(shù)，，則（）A.4047 B.8092 C.8094 D.9086【答案】C【解析】【分析】函數(shù)fx是三次函數(shù)且是冪函數(shù)得，然后再結合函數(shù)的奇偶性即可求解.【詳解】因為是三次函數(shù)且是冪函數(shù)，所以，所以.令，，則是奇函數(shù)，所以:.故C項正確.故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在下列四個命題中，正確的是（）A.若，則B.若，則C.已知，則D.為互不相等的正數(shù)，且，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質，即可求解ACD，舉反例即可求解B.【詳解】對于A，由，則，故，因此A正確；對于B,取，則，顯然，因此B錯誤；對于C，由，故，則，即，因此C正確；對于D，由為互不相等的正數(shù)，則，又，即，即，又，，即，因此D正確．故選：ACD．10.已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.若，則 B.存在最小值，則C.的單調遞減區(qū)間為 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式直接求得函數(shù)值可判斷AD選項，再根據(jù)分段函數(shù)的單調性判斷方法分別判斷BC選項.【詳解】A選項：，，所以，解得，A選項正確；B選項：當時，，所以，即函數(shù)在上的最小值為，又當時，，所以函數(shù)在上單調遞減，所以當時，，所以若函數(shù)存在最小值，則，B選項正確；C選項：在上單調遞減，在上單調遞減，不能說函數(shù)在上單調遞減；D選項：由已知得，所以，又函數(shù)在上的最小值為，所以，解得，D選項正確；故選：ABD11.已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，對于任意都滿足，則下列說法正確的是（）A.fB.是奇函數(shù)C.若，則D.若當時，，則在0,+∞單調遞減【答案】ABD【解析】【分析】令即可判斷A；令，求出，再令，即可判斷B；令即可判斷C；由，得，再根據(jù)函數(shù)單調性定義即可判斷D.【詳解】因為，令，得，所以，故A正確；令，得，所以，令，得，又，所以，又因為定義域為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故B正確；令，得，又，所以，故C錯誤；當時，由，可得，又，，在上任取，不妨設，，，故在單調遞減，故D正確.故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于對和準確的賦值以及對單調性定義計算的精簡.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數(shù)滿足，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用冪函數(shù)的解析式可得，再代入計算即得.【詳解】設，則，所以.故答案為：13.甲乙兩家服裝店同時對一款原價500元的服裝減價促銷，甲店每天比前一天減價20元，乙店每天比前一天減價5%，例如：甲店這款減價服裝第1天售價為480元，乙店的第1天售價475元，假設甲乙兩店的這款減價服裝在20天內(nèi)均沒有售完，則從第______天起，甲店這款減價服裝的售價開始低于乙店.【答案】11【解析】【分析】設從第天起，由題設條件列出不等式，再借助計算器計算即得.【詳解】假設從第天起，甲店這款減價服裝的售價開始低于乙店，則，整理得，由計算器計算，當時，，當時，，所以從第11天開始，甲店這款減價服裝的售價開始低于乙店.故答案為：1114.已知函數(shù)，若關于的不等式恰有兩個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，作出函數(shù)圖象，解不等式可得：，討論和的大小關系，確定不等式的解集，結合函數(shù)圖象確定解集中的兩個整數(shù)解，進而確定的取值范圍.【詳解】由于函數(shù)，作出圖象如圖所示：由可得：.當時，，不等式無解；當時，由得：，若不等式恰有兩個整數(shù)解，由于，，，則整數(shù)解為和，又，∴；當時，由得：，若不等式恰有兩個整數(shù)解，由于，則整數(shù)解為和，又，，∴，綜上所述：實數(shù)的取值范圍為：.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（1）已知，，求的值；（2）化簡：.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】利用指數(shù)冪的運算法則即可得解.【詳解】（1）因為，，所以.（2）.16.已知函數(shù)．（1）用定義法證明是減函數(shù)；（2）解關于t的不等式．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用減函數(shù)的定義推理論證即得.（2）判斷函數(shù)的奇偶性，結合單調性求解不等式.【小問1詳解】，且，則，由，得，而，因此，即，所以是減函數(shù).【小問2詳解】由，得，，即函數(shù)是奇函數(shù)，不等式，而是減函數(shù)，因此，解得，所以原不等式的解集是.17.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了打造“網(wǎng)紅”城鎮(zhèn)發(fā)展經(jīng)濟，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關系：，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費）20x元.已知這種水果的市場售價大約15元/千克，且銷售暢通供不應求，記該水果單株利潤為（單位：元）（1）寫單株利潤（元）關于施用肥料x（千克）的關系式；（2）當施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大?最大利潤是多少?【答案】（1）；（2）當施用肥料為4千克時，單株利潤最大，最大利潤是480元.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的函數(shù)關系，直接求出的解析式.（2）結合二次函數(shù)最值、基本不等式求最值，分段求出函數(shù)的最大值，再比較大小即可.【小問1詳解】依題意，，又，所以.【小問2詳解】當時，，其圖象開口向上，對稱軸為，因此在上單調遞減，在上單調遞增，在0,2上的最大值為；當時，，當且僅當時，即時等號成立，而，則當時，，所以當施用肥料為4千克時，單株利潤最大，最大利潤是480元.18.已知a為實數(shù)，函數(shù)，．（1）設，，若函數(shù)的最大值等于2，求a的值；（2）若對任意，都存在，使得，求a的取值范圍；（3）設，求的最小值．【答案】（1）或.（2）（3）【解析】【分析】（1）因為,的最大值等于2,只能在或處取到，分別討論和的情況，即可求得結果；（2）因為對任意，都存在，使，由此可得，解不等式組即可；（3）先去絕對值，得到，對a的范圍進行分類討論，從而得出的單調性，即可求出的最小值．【小問1詳解】因，當時，，即，解得：（舍）或.當時，，即，解得：（舍）或.綜上，或.【小問2詳解】設在區(qū)間上值域為A，在區(qū)間上的值域為B，則，．因為對任意，都存在，使，所以得，所以a的取值范圍是【小問3詳解】①當時，在上單調遞減，上單調遞增，；②當時，在上單調遞減，上單調遞增，；③當時，在上單調遞減，上單調遞增，；綜上．19.已知函數(shù)的圖象可由函數(shù)（且）的圖象先向下平移2個單位長度，再向左平移1個單位長度得到，且.（1）求的值；（2）若函數(shù)，證明：；（3）若函數(shù)與在區(qū)間上都是單調的，且單調性相同，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象平移的性質得到平移后的解析式即可求出的值；（2）由（1）求出解析式，代入即可證明；（3）由（1）求出和解析式，根據(jù)函數(shù)性質列出關于增函數(shù)的不