專題13 導數(shù)的應用-函數(shù)的極值問題-2025年高考數(shù)學二輪復習考點突破(原卷)

高中數(shù)學精編資源2/2專題13導數(shù)的應用--函數(shù)的極值問題5題型分類1、函數(shù)的極值函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點．求可導函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗在方程的根的左右兩側的符號，如果在根的左側附近為正，在右側附近為負，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側附近為負，在右側附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值．注：①可導函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導函數(shù)的變號零點，即，且在左側與右側，的符號導號．②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點．另外，極值點也可以是不可導的，如函數(shù)，在極小值點是不可導的，于是有如下結論：為可導函數(shù)的極值點；但為的極值點．（一）函數(shù)極值、極值點的辨識解答此類問題要先搞清楚所給的圖象是原函數(shù)還是導函數(shù)的，對于導函數(shù)的圖象，重點考查在哪個區(qū)間上為正，哪個區(qū)間上為負，在哪個點處與x軸相交，在該點附近的導數(shù)值是如何變化的，若是由正值變?yōu)樨撝?，則在該點處取得極大值；若是由負值變?yōu)檎?，則在該點處取得極小值．題型1：函數(shù)極值、極值點的辨識1-1．（2024·遼寧）設函數(shù)滿足則時，A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值1-2．（2024高三·全國·專題練習）已知e為自然對數(shù)的底數(shù),設函數(shù),則．A．當k=1時,f(x)在x=1處取到極小值 B．當k=1時,f(x)在x=1處取到極大值C．當k=2時,f(x)在x=1處取到極小值 D．當k=2時,f(x)在x=1處取到極大值1-3．（2024·陜西）設函數(shù)f（x）=+lnx，則（）A．x=為f(x)的極大值點 B．x=為f(x)的極小值點C．x=2為f(x)的極大值點 D．x=2為f(x)的極小值點題型2：函數(shù)(導函數(shù))的圖象與極值(點)關系2-1．（2024·重慶）設函數(shù)在R上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結論中一定成立的是A．函數(shù)有極大值和極小值B．函數(shù)有極大值和極小值C．函數(shù)有極大值和極小值D．函數(shù)有極大值和極小值2-2．（2024高二下·黑龍江鶴崗·期中）函數(shù)的定義域為，導函數(shù)在內的圖像如圖所示，則函數(shù)在內極小值點的個數(shù)是（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2-3．（2024高二上·陜西漢中·期末）定義在區(qū)間上的函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調遞增B．函數(shù)在區(qū)間上單調遞減C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在處取得極大值2-4．（2024高三上·四川自貢·階段練習）已知函數(shù)的定義域為，導函數(shù)在內的圖像如圖所示，則函數(shù)在內的極小值有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個（二）求已知函數(shù)的極值、極值點1、因此，在求函數(shù)極值問題中，一定要檢驗方程根左右的符號，更要注意變號后極大值與極小值是否與已知有矛盾．2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時，導函數(shù)正處于零點，歸納起來一句話：原極導零．這個零點必須穿越軸，否則不是極值點．判斷口訣：從左往右找穿越（導函數(shù)與軸的交點）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大．注：（1）可導函數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側與右側f′(x)的符號不同；（2）若f(x)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內絕不是單調函數(shù)，即在某區(qū)間上單調增或減的函數(shù)沒有極值．題型3：求已知函數(shù)的極值、極值點3-1．（2024·重慶）設函數(shù)，其中在，曲線在點處的切線垂直于軸（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函數(shù)極值．3-2．（2024高二下·重慶巫溪·期中）已知函數(shù)．(1)若曲線在點處的切線與x軸平行，求a的值；(2)求函數(shù)的極值．3-3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù).求的極值；3-4．（2024·廣西南寧·一模）設函數(shù)，，為的導函數(shù)．(1)當時，過點作曲線的切線，求切點坐標；(2)若，，且和的零點均在集合中，求的極小值．3-5．（2024·河北·模擬預測）已知函數(shù)．(1)證明：當時，有唯一的極值點為，并求取最大值時的值；(2)當時，討論極值點的個數(shù)．（三）根據(jù)函數(shù)的極值、極值點求參數(shù)根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領：①列式:根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進行驗證.題型4：根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)4-1．（2024高三上·四川綿陽·階段練習）已知函數(shù)．(1)若在上存在單調減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；(2)若在區(qū)間上有極小值，求實數(shù)的取值范圍．4-2．（2024·湖南·模擬預測）已知函數(shù)在處取得極大值4，則（

）A．8 B． C．2 D．4-3．（2024高三下·貴州·階段練習）已知函數(shù)在處取得極小值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4-4．（2024·陜西商洛·三模）若函數(shù)無極值，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．4-5．（2024高三下·湖南長沙·階段練習）函數(shù)在區(qū)間上存在極值，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5題型5：根據(jù)函數(shù)的極值點求參數(shù)5-1．（2024高三上·遼寧鞍山·階段練習）已知函數(shù)為實數(shù)．(1)時，求的極小值點；(2)若是的極小值點，求的取值范圍．5-2．（2024高三上·河南洛陽·開學考試）已知函數(shù)(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若是的極大值點，求的取值范圍.5-3．（2024高三上·安徽阜陽·階段練習）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若函數(shù)存在唯一的極值點，求實數(shù)a的取值范圍．5-4．（2024高二下·江蘇南通·期末）若x＝a是函數(shù)的極大值點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5-5．（2024高三下·江蘇南京·開學考試）已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．一、單選題1．（2024·全國）若是函數(shù)的極值點，則的極小值為．A． B． C． D．2．（2024高二下·安徽亳州·期末）設函數(shù)一定正確的是（）A． B．C． D．3．（2024高三上·全國·單元測試）設，若為函數(shù)的極大值點，則（

）A． B． C． D．4．（2024高三·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)5．（2024·吉林通化·模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為k，則函數(shù)在上（

）A．有極大值，無最小值 B．無極大值，有最小值C．有極大值，有最大值 D．無極大值，無最大值6．（2024高二下·河北秦皇島·期末）已知是函數(shù)的導函數(shù)，若函數(shù)的圖象大致如圖所示，則極值點的個數(shù)為（

）

A．1 B．2 C．3 D．47．（2024高三上·陜西渭南·階段練習）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是（

）A．是函數(shù)的極小值點B．是函數(shù)的極大值點C．函數(shù)在上單調遞增D．函數(shù)在處的切線斜率小于零8．（2024·陜西）對二次函數(shù)（為非零整數(shù)），四位同學分別給出下列結論，其中有且僅有一個結論是錯誤的，則錯誤的結論是A．是的零點 B．1是的極值點C．3是的極值 D．點在曲線上9．（2024高三上·陜西漢中·階段練習）已知函數(shù)，則的極小值為（

）A． B． C． D．10．（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)的大致圖像如圖所示，，是函數(shù)的兩個極值點，則等于（

）

A． B． C． D．11．（2024高二下·吉林長春·階段練習）已知實數(shù)成等比數(shù)列，且曲線的極大值點為，極大值為，則等于（

）A．2 B． C． D．112．（2024高二下·新疆昌吉·期末）如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，給出下列命題：①x=-2是函數(shù)的極值點；②x=1是函數(shù)的極值點；③的圖象在處切線的斜率小于零；④函數(shù)在區(qū)間上單調遞增．則正確命題的序號是（

）A．①② B．②④ C．②③ D．①④13．（2024高二下·全國·期中）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．是的極小值點 B．是的極小值點C．在區(qū)間上單調遞減 D．曲線在處的切線斜率小于零14．（2024高三上·湖北武漢·階段練習）若函數(shù)存在一個極大值與一個極小值滿足，則至少有（

）個單調區(qū)間.A．3 B．4 C．5 D．615．（2024高三·全國·專題練習）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（

）A．B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得極小值D．函數(shù)的最小值為16．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)的導函數(shù)為，則“在上有兩個零點”是“在上有兩個極值點”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件二、多選題17．（2024·全國·模擬預測）設函數(shù)在R上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結論中一定成立的是（

）

A．有兩個極值點 B．為函數(shù)的極大值C．有兩個極小值 D．為的極小值18．（2024·全國）已知函數(shù)的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點19．（2024·全國）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．20．（江西省豐城中學2024屆高三上學期入學考試數(shù)學試題）如圖所示是的導數(shù)的圖象，下列結論中正確的有（

）

A．的單調遞增區(qū)間是B．是的極小值點C．在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)D．是的極小值點21．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知函數(shù)和的圖像都是上連續(xù)不斷的曲線，如果，當且僅當時，那么下列情形可能出現(xiàn)的是（

）A．1是的極大值，也是的極大值 B．1是的極大值，也是的極小值C．1是的極小值，也是的極小值 D．1是的極小值，也是的極大值22．（2024高二下·福建廈門·期末）函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）

A．在區(qū)間上單調遞減B．在處取得極大值C．在區(qū)間上有2個極大值點D．在處取得最大值23．（2024高三上·廣西百色·階段練習）函數(shù)的兩個極值點分別是，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．24．（2024·全國）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線25．（2024高三上·福建莆田·階段練習）已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A．在上有兩個極值點 B．在處取得最小值C．在處取得極小值 D．函數(shù)在上有三個不同的零點26．（2024高三上·福建福州·階段練習）函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．為函數(shù)的零點 B．為函數(shù)的極小值點C．函數(shù)在上單調遞減 D．是函數(shù)的最大值三、填空題27．（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)的極大值點和極大值分別為，28．（2024·全國）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是．29．（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)的極大值為；極小值為.30．（2024高二下·陜西渭南·期末）已知函數(shù)，在時有極大值，則的極大值為31．（2024高三上·貴州遵義·階段練習）函數(shù)的極值點的個數(shù)為.32．（安徽省池州市貴池區(qū)2023-2024學年高二下學期期中考試數(shù)學試題）已知函數(shù)在時有極值為0，則.33．（2024高三上·新疆伊犁·階段練習）已知函數(shù)有兩個極值點，則的取值范圍為.四、解答題34．（2024·北京）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設函數(shù)，求的單調區(qū)間；(3)求的極值點個數(shù)．35．（2024高二下·福建龍巖·期中）設函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函數(shù)（1）求b、c的值．（2）求g（x）的單調區(qū)間與極值．36．（2007·安徽）設函數(shù)，其中．將的最小值記為．(1)求的表達式；(2)討論在區(qū)間內的單調性并求極值．37．（2024·山東）設函數(shù)，其中．證明：當時，函數(shù)沒有極值點；當時，函數(shù)有且只有一個極值點，并求出極值．38．（2024·福建）已知函數(shù)的圖象過點，且函數(shù)的圖象關于軸對稱.(1)求的值及函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若，求函數(shù)在區(qū)間內的極值.39．（2024高三上·遼寧大連·階段練習）已知函數(shù)，.(1)當時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值.40．（2024高二下·湖南長沙·期中）設函數(shù)f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1，（1）求f(x)的單調區(qū)間；（2）求f(x)的極值．41．（2024·全國）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.42．（2024·北京）設函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為0，求a；（Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍.43．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知函數(shù)，.(1)當時，求在上的值域；(2)若的極大值為4，求實數(shù)的值.44．（2024·北京）設函數(shù)=[]．（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．45．（2024高三上·湖南·開學考試）已知函數(shù)，．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)若存在極值點，且，求的值