江蘇省南京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源-2023學(xué)年南京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一下期中考試一?選擇題（共8小題，每題5分，共40分）1.已知向量，不共線，向量，且，則的值為（）A.1 B. C.±1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量共線定理及平面向量基本定理列出等式解出即可.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，不共線，且，所以，即，，所以，解得或.故選：C2.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得向量的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)椋?，則.故選：A.3.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則即可計(jì)算.【詳解】.故選：A.4.已知函數(shù)，則的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期.【詳解】，因此，函數(shù)的最小正周期為，故選：B.5.已知，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，分別求出，，從而求出的值；當(dāng)時(shí)對(duì)原式兩邊同時(shí)除以得到，的關(guān)系式，利用的公式求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，；原式變?yōu)椋?，所以?此時(shí).當(dāng)時(shí)，對(duì)兩邊同時(shí)除以，得，即，所以.綜上所述，.故選：A.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將看成整體，轉(zhuǎn)化，然后利用二倍角整體代換，求解即可.【詳解】,，所以，故選：D7.古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國(guó)最早的一部測(cè)量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，根據(jù)劉徽的《重差》測(cè)量一個(gè)球體建筑的高度，已知點(diǎn)A是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)），地面上B，C兩點(diǎn)與點(diǎn)A在同一條直線上，且在點(diǎn)A的同側(cè)，若在B，C處分別測(cè)量球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且BC=100，則該球體建筑物的高度約為（）（cos10°≈0.985）A.45.25 B.50.76 C.56.74 D.58.60【答案】B【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，根據(jù)三角函數(shù)解三角形求解即可；【詳解】設(shè)球的半徑為R，，，故選:B.8.將函數(shù)和直線的所有交點(diǎn)從左到右依次記為A1，A2，A3，…，An，若P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），則（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】在同一坐標(biāo)系中作出和g(x)=x﹣1的圖象，所有交點(diǎn)從左到右依次記為A1，A2，A3，A4，A5根據(jù)為的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，得到關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，再用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到求解.【詳解】由題意作出圖象如圖，共得5個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)余弦函數(shù)的中心對(duì)稱性可知，和，和關(guān)于對(duì)稱，，，∴.故選：A.二?多選題（共4小題，每題5分，共20分）9.若四邊形ABCD是矩形，則下列命題中正確的是（）A.共線 B.相等C.模相等，方向相反 D.模相等【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)向量的加法和減法的幾何意義（平行四邊形法則)，結(jié)合矩形的判定與性質(zhì)進(jìn)行分析可解.【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，,所以共線，模相等,故A、D正確;∵矩形的對(duì)角線相等,∴|AC|=|BD|,模相等,但的方向不同，故B不正確;|AD|=|CB|且AD∥CB，所以的模相等，方向相反，故C正確.【點(diǎn)睛】本題考查向量的共線，相等，模，向量的加減法的幾何意義，屬基礎(chǔ)題，根據(jù)向量的加減法的平行四邊形法則和矩形的性質(zhì)綜合判定是關(guān)鍵.10.下列各式中，值為1的是（

）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】選項(xiàng)A利用二倍角的余弦公式計(jì)算得出結(jié)果；選項(xiàng)B利用二倍角的正弦公式計(jì)算得出結(jié)果；選項(xiàng)C利用兩角和的余弦公式計(jì)算得出結(jié)果；選項(xiàng)D利用兩角和的正切公式計(jì)算得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（）A.為實(shí)數(shù) B.為實(shí)數(shù)C.為實(shí)數(shù) D.為實(shí)數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)且，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，設(shè)且，則，由，所以A正確；由，所以B錯(cuò)誤；由為實(shí)數(shù)，所以C正確；由為實(shí)數(shù)，所以D正確.故選：ACD.12.在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A.若B+C=2A，則面積的最大值為B.若，且只有一解，則b的取值范圍為C.若C=2A，且為銳角三角形，則c的取值范圍為D.為的外心，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，由正弦定理可得，根據(jù)求出，再由余弦定理、基本不等式和三角形面積公式可判斷A；由正弦定理得，利用可判斷B；求出，利用為銳角三角形得的范圍，由正弦定理得，求出的范圍可判斷C；做交于點(diǎn)點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)可得，利用數(shù)量積公式計(jì)算可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，所以，若，且，所以，由余弦定理得，由，可得，即，則面積，所以面積的最大值為，故A正確；對(duì)于B，若，且，由正弦定理得，所以，當(dāng)時(shí)即，所以時(shí)有一解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若C=2A，所以，且為銳角三角形，所以，解得，所以，由正弦定理得，故C正確；對(duì)于D，如圖做交于點(diǎn)點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，設(shè)，所以，所以，故D正確.故選：ACD.三?填空題（共3小題）13.函數(shù)的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)，由正弦型函數(shù)值域可求得結(jié)果.【詳解】，當(dāng)時(shí)，.故答案為：.14.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足，那么的形狀一定是______.【答案】等腰或直角三角形【解析】【分析】利用余弦定理化簡(jiǎn)已知條件，由此判斷出三角形的形狀.【詳解】由和余弦定理得，即，整理得，所以或，即或，所以三角形是等腰或直角三角形.故答案為：等腰或直角三角形【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題.15.如圖在直角梯形中，已知，，，，，則__________.【答案】22【解析】【分析】根據(jù)向量的加法原理和數(shù)量積求解即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，，所以，因?yàn)橹苯翘菪?，所以，故，所以原等?故答案為：22.16.笛卡爾坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系與斜角坐標(biāo)系的統(tǒng)稱，如圖，在平面斜角坐標(biāo)系中，兩坐標(biāo)軸的正半軸的夾角為，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則稱有序?qū)崝?shù)對(duì)為在該斜角坐標(biāo)系下的坐標(biāo).若向量，在該斜角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為，，當(dāng)_______時(shí)，.【答案】【解析】【分析】根據(jù)斜角坐標(biāo)定義寫出向量（用兩個(gè)已知單位向量表示），然后由向量數(shù)量積計(jì)算可得．【詳解】由已知，，，，解得：．故答案為：．四?解答題（共6小題，共70分）17.已知（1）求的值（2）求值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)求出然后代入公式求解即可；（2）結(jié)合誘導(dǎo)公式與齊次式化簡(jiǎn)，代入求解即可；【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以；【小?wèn)2詳解】=，齊次式化簡(jiǎn)：，故18.平面內(nèi)給定三個(gè)向量，，.（1）求；（2）求；（3）若，求實(shí)數(shù)k.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量夾角的坐標(biāo)公式即可求解；（2）根據(jù)平面向量模長(zhǎng)公式坐標(biāo)表示即可求解；（3）根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，，所以，，，所以；【小?wèn)2詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以；小?wèn)3詳解】解：因?yàn)?，，，又，所以，解?19.如圖，在平面四邊形中，，，，，．（1）求邊的長(zhǎng)；（2）求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中利用正弦定理可得解；（2）在中，先由余弦定理得，進(jìn)而得，最后利用面積公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】在中，，由正弦定理得．【小問(wèn)2詳解】在中，由余弦定理得．∴．∴．20.“不以規(guī)矩，不能成方圓”，出自《孟子·離婁章句上》．“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長(zhǎng)短兩條直尺構(gòu)成的角尺，是用來(lái)測(cè)量、畫圓和方形圖案的工具。有一塊圓形木板，以“矩”量之，較長(zhǎng)邊為10cm，較短邊為5cm，如圖所示，將這塊圓形木板截出一塊三角形木塊，三角形頂點(diǎn)都在圓周上，角的對(duì)邊分別為，，，滿足（1）求；（2）若的面積為，且，求的周長(zhǎng)【答案】（1）（2）cm【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可求圓的直徑，再結(jié)合正弦定理運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合面積公式和余弦定理運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的外接圓半徑為，則（cm），由正弦定理，可得.【小問(wèn)2詳解】∵，則，故為銳角，∴，由面積公式，即，可得，由余弦定理，即，可得，解得（cm），故的周長(zhǎng)為（cm）.21.如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形中，D是的中點(diǎn).（1）求向量與向量的夾角；（2）若O是線段上任意一點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量的夾角公式計(jì)算可得結(jié)果；（2）將表示為的函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意可得