7.5《三角形內(nèi)角和定理》數(shù)學(xué)北師大版八年級上冊第2課時教案

第七章平行線的證明7.5三角形內(nèi)角和定理第2課時一、教學(xué)目標(biāo)1．掌握三角形內(nèi)角和定理的兩個推理，并能運(yùn)用這些定理解決簡單的問題．2．經(jīng)歷探索與證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展推理能力．3．在一題多解、一題多變中，積累解決幾何問題的經(jīng)驗，提升解決問題的能力．二、教學(xué)重點及難點重點：了解并掌握三角形的外角的定義．難點：掌握三角形內(nèi)角和定理的兩個推論，利用這兩個推論進(jìn)行簡單的證明和計算．三、教學(xué)用具多媒體課件，三角板、直尺。四、相關(guān)資《三角形外角》動畫，《三角形其他外角》動畫．五、教學(xué)過程【新知導(dǎo)入】△ABC內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長線組成的角，稱為△ABC的外角.請試著畫出△ABC的其他外角.設(shè)計意圖：外角概念探究意義不大，所以直接明晰這一概念，通過在圖中標(biāo)注其他外角，深化學(xué)生對外角概念的理解，同時，在圖中標(biāo)注其他外角的過程也為發(fā)現(xiàn)有關(guān)外角的結(jié)論做了鋪墊.【合作探究】圖中，∠ACD與其他角有什么關(guān)系？請證明你的結(jié)論.通過學(xué)生討論，發(fā)現(xiàn)：定理三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.定理三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.已知：△ABC.求證：∠ACD=∠A+∠B，∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.證明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠A+∠B=180°－∠ACB（等式的性質(zhì)），∵∠ACD+∠ACB=180°（平角的定義）∴∠ACD=180°－∠ACB（等式的性質(zhì)）∴∠ACD=∠A+∠B（等量代換）∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.在這里，我們通過三角形的內(nèi)角和定理直接推導(dǎo)出兩個新定理.像這樣，由一個基本事實或定理直接推出的定理，叫做這個基本事實或定理的推論.推論可以當(dāng)做定理使用.設(shè)計意圖：希望發(fā)現(xiàn)有關(guān)外角的兩個定理.可以對學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，關(guān)系既可以是不等關(guān)系，也可以是等量關(guān)系.【典例精析】例1已知，如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．求證：AD∥BCBBACDE分析：要證明AD∥BC,只需證明“同位角相等”或“內(nèi)錯角相等”或“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”.證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∠B=∠C（已知）∴∠B=∠EAC（等式的性質(zhì)）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAE=∠EAC（角平分線的定義）∴∠DAE=∠B（等量代換）∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行）想一想，還有沒有其他的證明方法呢？這個題還可以用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”來證.證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性質(zhì)）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC（角平分線的定義）∴∠DAC=∠C（等量代換）∴AD∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）還可以用“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”來證.證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性質(zhì)）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC∴∠DAC=∠C（等量代換）∵∠B+∠BAC+∠C=180°∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°即：∠B+∠DAB=180°∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）設(shè)計意圖：例題的圖形較復(fù)雜，可以給出分析過程，鼓勵學(xué)生先自行解決，同時對有困難的學(xué)生給予必要的指導(dǎo).“想一想”關(guān)注解決問題方法的多樣化，通過多種解法，開拓學(xué)生思維.例2如圖，P是△ABC內(nèi)的一點，求證：∠BPC＞∠A.解析：由題意無法直接得出∠BPC＞∠A，延長BP交AC于D，就能得到∠BPC＞∠PDC，∠PDC＞∠A.即可得證．證明：延長BP,交AC于D，∵∠BPC是△PDC的外角(外角定義)，∴∠BPC＞∠PDC(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角)．∵∠PDC是△ABD的外角(外角定義)，∴∠PDC＞∠A(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角)．∴∠BPC＞∠A.方法總結(jié)：利用推論2證明角的大小時，兩個角應(yīng)是同一個三角形的內(nèi)角和外角．若不是，就需借助中間量轉(zhuǎn)化求證．設(shè)計意圖：讓學(xué)生復(fù)習(xí)“三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角”，同時體會某些不等關(guān)系的遞推和論證過程.鼓勵學(xué)生尋求多種解法，如還可以連接AP，并延長AP交BC于點D,這時∠BPC和∠A分別被分成了兩個小角，用“三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角”可以證明.【課堂練習(xí)】1.判斷下列命題的對錯.（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.（）×（2）三角形的外角和等于它的內(nèi)角和的2倍.（）√（3）三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和.（）×（4）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.（）√（5）三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角.（）×（6）三角形的一個內(nèi)角小于任何一個與它不相鄰的外角.（）√2.若一個三角形的一個外角小于與它相鄰的內(nèi)角,則這個三角形是()CA.直角三角形B.銳角三角形FEFEDCBA3.如圖所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,則∠DFE等于()BA.120°B.115°C.110°D.105°FAFABECDA.26°B.63°C.37°D.60°5.如圖，如果∠1＝100°，∠2＝145°，那么∠3等于()A．110°B．160°C．137°D．115°解析：eq\x(\a\al(∠1＝100°,∠2＝145°))eq\x(\a\al(∠BAC＝80°,∠ABC＝35°))eq\x(\a\al(∠3＝∠BAC＋,∠ABC＝115°))方法總結(jié)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，而不是等于任意兩個內(nèi)角的和．6.如圖，求證：（1）∠BDC>∠A.（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.證法一：（1）連接AD，并延長AD，如圖，則∠1是△ABD的一個外角，∠2是△ACD的一個外角.∴∠1>∠3.∠2>∠4（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角）∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性質(zhì)）即：∠BDC>∠BAC.（2）連結(jié)AD，并延長AD，如圖.則∠1是△ABD的一個外角，∠2是△ACD的一個外角.∴∠1=∠3+∠B∠2=∠4+∠C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性質(zhì)）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC證法二：（1）延長BD交AC于E（或延長CD交AB于E），如圖.則∠BDC是△CDE的一個外角.∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角）∵∠DEC是△ABE的一個外角（已作）∴∠DEC>∠A（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角）∴∠BDC>∠A（不等式的性質(zhì)）（2）延長BD交AC于E，則∠BDC是△DCE的一個外角.∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∵∠DEC是△ABE的一個外角∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代換）設(shè)計意圖：鞏固三角形外角定理.六、課堂小結(jié)今天這節(jié)課你學(xué)到了什么知識？1．外角2．三角形的外角等于與它不相