2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)某中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)南洋模范中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一.填空題（共54分，1?6題每題4分，7?12題每題5分）

1.（4分）已知函數(shù)/（x）=/gx,若/（ab）=l,則/（/）+/&）=-

2.（4分）已知集合/={1,2},S={X|2X5-4X3+X2+6X+7=0},則/pp=

3.（4分）函數(shù)y==二一的值域是.

x—x+4

4.（4分）下列函數(shù)中，偶函數(shù)的序號為.

①y=A/1-x2+Vx2-1

③尸”j）,x<0

[x（l+x）,x>0

三[x（2-x\x>0

@y=\

[-x（2+x）,x<0

5.（4分）若關(guān)于x的方程（x-2）（/一4x+"）=0有三個根，且這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊

的長，則機的取值范圍是—.

6.（4分）設(shè)/（-oo,0）,關(guān)于x的方程/+2尤+4=0的解集為8,若只有1個元素，則實數(shù)4的取值

范圍是—.

7.（5分）對任意實數(shù)xe[0,2]都有|"+6《2,則實數(shù)。的最大值為.

8.（5分）若函數(shù)/（x）=J/nx2-6??x+加+8的值域為[0,+<?）,則實數(shù)機的取值范圍為.

9.（5分）設(shè)不等式log2（2-x）Wbg2（3x+10）的解集為M,設(shè)函數(shù)/（尤）=/-x-a（a>0且aK1）與x軸有

兩個交點時實數(shù)。的取值集合為N,則M0|N=.

10.（5分）已知函數(shù)/=+辦+6）,若對于任意的xeR,都有〃幻=/（4-x）,則的最

小值是—.

11.（5分）函數(shù)/（x）="2-（a+l）x+l,若/（x）在定義域上滿足：①沒有奇偶性；②不單調(diào);

③有最大值，則。的取值范圍是一.

12.（5分）已知實數(shù)〃>6>c,a+b+c=],a2+b2+c2=1,則c的取值范圍為.

二.選擇題（4題共18分，13?14每題4分，15?16每題5分）

13.（4分）已知xeR,則“0-2）。一3）（0成立”是“|》-2|+|》一3|=1成立”的（）條件.

A.充要B.充分非必要

C.必要非充分D.既不充分也非必要

14.（4分）對于非空集合河和N,把所有屬于河但不屬于N的元素組成的集合稱為河和N的差集，記

為M-N,那么"-（M-N）總等于（）

A.B.C.MD.N

15.（5分）已知/（l,0）,點8在曲線G:y=/〃x上，若線段與曲線“：y=L相交且交點恰為線段的

X

中點，則稱8為曲線G關(guān)于曲線”的一個關(guān)聯(lián)點.那么曲線G關(guān)于曲線”的關(guān)聯(lián)點的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.4

16.（5分）①德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷（高斯的學(xué)生）在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，著名的狄利克雷函數(shù)定義域

在R上的解析式可表示為：/（x）=[l'xe°,下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)說法正確的序號為（）

①狄利克雷為偶函數(shù)

②狄利克雷為奇函數(shù)

③狄利克雷函數(shù)值域為[0,1]

④對于任意xeR,均有/（/（f））=1

⑤狄利克雷函數(shù)的圖像可以通過列表描點法畫出

⑥在狄利克雷函數(shù)上不存在可以構(gòu)成等邊三角形的三點

A.①③④⑥B.②③⑤C.①④D.②④⑥

三.解答題（共78分，17?19每題14分，20?21每題18分）

17.（14分）命題甲：集合N={x|-2<x<6},B={x\x+a-\>Q},且"Ix>-2}.

命題乙：集合A—{x\x2+（a+2）x+1=0},Z?={x|x>0},且=

問題：若命題甲和乙中有且只有一個真命題，求：實數(shù)。的取值范圍.

18.（14分）除了直接作差以外，利用函數(shù)，基本不等式，反證法比大小也是解決不等關(guān)系的主要方法.

（1）已知實數(shù)X],x2,x3,x4,x5,滿足X]+X2+w+羽+%=5.求證：X],x2,x3,x4,三中至少

有一個實數(shù)不小于1.

（2）已知°=血5,b=203,c=O.30-2,試比較：a、b、c三者的大小關(guān)系.

22

(3)若實數(shù)”，b,x,y滿足與-4=1,試比較：/一〃和(了一歷2的大小，并指明等號成立的條件.

19.(14分)由于濃酸泄漏對河流形成了污染，現(xiàn)決定向河中投入固體堿.1個單位的固體堿在水中逐步

溶化，水中的堿濃度y與時間x的關(guān)系，可近似地表示為>=，-m-x+8，°Wx<2.只有當(dāng)河流中堿的濃

4-x,2<我4

度不低于1時，才能對污染產(chǎn)生有效的抑制作用.

(1)如果只投放1個單位的固體堿，則能夠維持有效抑制作用的時間有多長？

(2)當(dāng)河中的堿濃度開始下降時，即刻第二次投放1個單位的固體堿，此后，每一時刻河中的堿濃度認(rèn)

為是各次投放的堿在該時刻相應(yīng)的堿濃度的和，求河中堿濃度可能取得的最大值.

20.(18分)利用數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)研究方程與不等式問題是解決抽象代數(shù)問題的捷徑.

(1)已知函數(shù)/'(x)=|x-a|-工+a,aeR,若對任意xe(0-],恒成立，求：實數(shù)a的取值范圍.

x2

(2)設(shè)aeR,若存在定義域為R的函數(shù)同時滿足①，②兩個條件，求：a的取值范圍.

①對于任意/€及，/(%)的值為X；或天；

②關(guān)于x的方程/(x)=a無實數(shù)解.

(3)已知函數(shù)/(*)=2/一x+a(ae&,若方程/(x)=0有實根，求:集合""[〃切=0｝的元素的可能

個數(shù).

21.(18分)對于函數(shù)/(x),若其定義域內(nèi)存在非零實數(shù)x滿足/(-%)=-/?，則稱為“偽奇函數(shù)”.若

其定義域內(nèi)存在非零實數(shù)x滿足/(x)=/(-x),則稱“X)為“偽偶函數(shù)”.

(1)已知函數(shù)〃x)=3,判斷/(x)是否為“偽奇函數(shù)”；是否為“偽偶函數(shù)”并說明理由；

X+1

(2)若幕函數(shù)8(尤)=(〃-1)針"(〃€火)使得/@)=28(，)+加在[-1,1]上是“偽奇函數(shù)”，A(x)=[g(x)]2+m

是“偽偶函數(shù)”，求：實數(shù)機的取值范圍；

(3)若整數(shù)機使得〃x)=4'-小2+1+蘇-3是定義在尺上的“偽奇函數(shù)"，求：，"的取值集合.

參考答案

一.填空題(12題共54分，1?6題每題4分，7?12題每題5分)

1.(4分)已知函數(shù)/(x)=/gx,若/(助=1,則/(/)+/(6知=2.

解：?.?函數(shù)/(x)=/gx,f(ab)=lg(ab)=l,

f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2

=lg(ab)2=21g(ab)=2.

故答案為：2.

2.(4分)已知集合/={1,2},5={X|2X5-4X3+X2+6X+7=0},則/0|8=一。

解：,.tA={1,2},B={x\2x5-4x3+x2+6x+7=0},

把x=1代入方程-4x，+x?+6x+7=0,方程不成立，故

再把x=2代入方程2x$-4x3+x?+6x+7=0,方程不成立，故2史2,

.?.始人。?

故答案為：0.

3.(4分)函數(shù)y=—的值域是—[-2,2

解：當(dāng)x=0時，歹=0,

2x2

當(dāng)xwO,=——=—

x2-x+4.,4

X—1H---

X

若時，當(dāng)且僅當(dāng)

x>0x+->2.x--=4,x=±,即x=2時等號成立,

xVxx

222?

止匕時>=—=BPO<j；<-,

4-13”3

X-1H---

X

若X<0時，XH—=—[(—X)+(—)]W—2./(—X)?(—

-)=-4,

xxV;

當(dāng)且僅當(dāng)-％=-4,即x=-2時等號成立，

222?

止匕時歹=—=BP--<j<0,

-4-4-155.

X-1H---

X

綜上所述，函數(shù)的值域為[-gg].

故答案為…I。?

4.（4分）下列函數(shù)中，偶函數(shù)的序號為①②④.

①y=A/1-x2+Vx2-1

②片Q7—

|x+5|+13-x|

③片”17),X<0

[x(l+x),x>0

fx(2-x),x>0

@y=\

[-x(2+x),x<0

解：①由[>/20,解得X=±l,

[x2-l>0

則原函數(shù)為y=O(x=±l),函數(shù)為偶函數(shù);

②由19-,解得—3<XW3.

|j%+5|+|3—x|wO

JQ-X2JQ-Y2

此時7"x=且三,函數(shù)為偶函數(shù)；

x+5+3—x8

③『[MEX<0,

[x(l+x),x>0

當(dāng)％<0時，一x〉0,此時/(一%)=-x(l-x)=-/(x),

當(dāng)x>0時，—x<0,此時/(—x)=-x(l+x)=—/(x),

綜上可知，函數(shù)>=<為奇函數(shù)；

[x(l+x),x>0

三[x(2-x),x>0

@y=\\,

[-x(2+x),x<0

當(dāng)％<0時，一x>0,止匕時/(一%)=一工(2+x)=/(x),

當(dāng)%>0時，一x<0,止匕時/(-%)=%(2—％)=/(x)，

jt一八一w,[x(2-x\x>0、，3rw,

綜上可知，函數(shù)y=<為偶函數(shù).

[-x(2+x),x<0

故答案為：①②④.

5.(4分)若關(guān)于x的方程(x-2)，—4x+")=0有三個根，且這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊

的長，則加的取值范圍是_(3_4]_.

解：???(x-2)?(12—4x+加)=0有三個根(允許相等)，

設(shè)這三根為：%=2,%2，，不妨設(shè)%2@31

即x2,x3為方程--4x+m=0的兩正根，

所以，加〉0且△=16—4機20,解得0<冽(4,

??,這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，

/.兩邊之和：入2+%3=4=2再，貝!J工2<2^%3，

兩邊之差：|%2-％31<2，

2

即(x2+x3)-4X2X3<4,

所以，16—4m<4,解得m>3f

因此，3<加?4,

故實數(shù)機的取值范圍是(3,4].

6.(4分)設(shè)/(-oo,0),關(guān)于x的方程V+2x+左=0的解集為5,若只有1個元素，則實數(shù)左的取值

范圍是—{左或左=1}—.

解：因為/=(-8,0),關(guān)于X的方程-+2x+左=0的解集為5,

若只有1個元素，則關(guān)于x的方程-+2x+左=0只有一個負(fù)根，

「人=4-44=0

①一+2X+左=0只有一個根且為負(fù)根，~,解得左=1,

[k>0

fA—4—4k>0

②f+2x+左=0有兩個根且一個負(fù)根，一，止匕時左W0，

辰0

故左的取值范圍為彷|仁0或左=1}.

故答案為：依IK0或左=1}.

7.(5分)對任意實數(shù)xe[0,2]都有|辦+6區(qū)2,則實數(shù)。的最大值為2.

解:依題意，16-2,|2a+6《2,

所以|2a+6]+|6|?|2a+6-b|=2|a|,

則2|q|W4,即|〃|<2,當(dāng)〃=2,4-2或。=0,6=2時等號成立.

則a的最大值為2.

故答案為：2.

8.(5分)若函數(shù)/(%)=，冽%2一6加工+冽+8的值域為[0,+oo),則實數(shù)冽的取值范圍為—[1+oo)—.

解：因為函數(shù)/(x)=Jox'-6冽x+冽+8的值域為[0,+oo),

所以冽/一6冽%+冽+8能夠取到大于等于0的所有數(shù)，

當(dāng)冽=0時f(x)=卡>=2也,不合題意；

fm>0

當(dāng)WHO時，則、2，解得心1;

[△=(-6w)2-4m(w+8)^0

綜上可得+<?).

故答案為：[1,+co).

9.(5分)設(shè)不等式k)g2(2-x)Wlog2(3x+10)的解集為A/,設(shè)函數(shù)/(x)=a*-x-a(a>0且aK1)與x軸有

兩個交點時實數(shù)a的取值集合為N,則M0|N=_(1,2)_.

解：由log?(2-x)Wlog?(3尤+10)，得0<2-xW3x+10,

解得-2令<2,從而M=[-2,2).

設(shè)函數(shù)了=a*(a>0,aw1)和函數(shù)y=x+a(a>0,aw1),

則函數(shù)/(無)=(/-%-或°>0且0片1)與》軸有兩個交點，

就是函數(shù)了=/(。>0,。/1)的圖象與函數(shù)了=工+。(°>0,。片1)的圖象有兩個交點.

當(dāng)0<a<l時，如圖，由圖可知，兩函數(shù)圖象只有一個交點，不符合題意；

當(dāng)。>1時，如圖，因為函數(shù)了="(a>l)的圖象過點(0,1),

而直線y=x+a與y軸的交點一定在點(0,1)的上方，所以兩圖象一定有兩個交點.

綜上，實數(shù)。的取值范圍是。>1,從而N=(l,+oo).

則Mp|N=(l,2).

故答案為：(1,2).

10.(5分)已知函數(shù)/(X)=(f-I)。:?+ax+6),若對于任意的xeR,都有/(x)=/(4-x),則/(x)的最

小值是—-16—.

解：對任意的xeR,都有〃x)=〃4-x),

因為/(1)=/(-I)=0,

則f(3)=f(5)=0,

則/(x)=(x2-l)(x-3)(x-5)=(無2-4x+3)(x2-4x-5),

令:=x?-4x+4>0,

則g")=(1)(-9)=("5>一16,

則當(dāng)"5時，g⑷有最小值-16,

則有最小值-16.

故答案為：-16.

11.(5分)函數(shù)/■(x)="2-(a+l)尤+1,若〃x)在定義域上滿足：①沒有奇偶性；②不單調(diào);

③有最大值，則“的取值范圍是.

解：由①可知，Q+1W0,即QW—1；

由③可知，4<0；

I―rbr1。+11口口。+1{

由②可知，一—<----<-,即一1<----<1,

22。2a

3^q<0,貝UQ<a+1<—ci，角軍a<—；

2

綜上，實數(shù)。的取值范圍為(-oo,T)U(T,-g)-

故答案為：-i)U(—i，—；).

12.(5分)已知實數(shù)。>b>c,a+b+c=\,a2+b2+c2=l,則c的取值范圍為—

解：因為a+b+c=l,6Z2+62+c2=1,

所以(Q+6+°)?-(2〃6+2ac+2bc)=a2+b2+c2,

BP1-2(ab+ac+be)=1,

故ab+QC+be=0,

又Q+b=l-c,ab=-ac-bc=-c(a+b)=-c(l-c)，

將a,6看成方程f—(l—c)x—c(l-c)=O的兩根，則△》(),

即(1-C)2+4C(1—C)》0,故(c-l)(l+3c)<0,解得一；4c41.

故答案為：

二.選擇題(4題共18分，13?14每題4分，15?16每題5分)

13.(4分)已知xeR,則“0-2)。一3)(0成立”是“|》-2|+|;<:-3|=1成立”的()條件.

A.充要B.充分非必要

C.必要非充分D.既不充分也非必要

解：若(x-2)(x-3)W0，貝|2令43,

若x>3時，|x-2|+|x-3|=2x-5,

若2WW3時，|x-2|+|x-3hl,

若x<2時，|x-2|+|x-3|=5-2x,

則當(dāng)|x-2|+|x-3|=l時，2WW3,

則“0-2)0-3)@成立”是“|x-2|+|x-3|=l成立”的充要條件.

故選：A.

14.(4分)對于非空集合M和N,把所有屬于"但不屬于N的元素組成的集合稱為"和N的差集，記

為M-N,那么河-(M-N)總等于()

A.B.M\jNC.MD.N

解：由題意可知，M-N指圖(1)中陰影部分構(gòu)成的集合，

所以M-(M-N)指圖(2)中陰影部分構(gòu)成的集合，

(1)(2)

由降幅圖可知，M_(M_N)=M，\N.

故選：A.

15.(5分)已知/(1,0),點8在曲線G:y=/〃x上，若線段與曲線M:y=!相交且交點恰為線段N8的

X

中點，則稱8為曲線G關(guān)于曲線M的一個關(guān)聯(lián)點.那么曲線G關(guān)于曲線〃的關(guān)聯(lián)點的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.4

解：如圖所示：設(shè)線段與曲線的交點為C,

x

1y1

如圖所示，令點、則點C(下一,-Inx).

117

由于點C在函數(shù)＞=—的圖象上，故有一歷、=——，

x21+x

4

BPInx=----.

1+x

故曲線G關(guān)于曲線M的關(guān)聯(lián)點的個數(shù)，

即為函數(shù)〉和曲線y=「匚的交點的個數(shù).

1+x

4

在同一個坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=和曲線》=----的圖象,

1+X

數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)＞=/小

故選：B.

16.(5分)①德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷(高斯的學(xué)生)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，著名的狄利克雷函數(shù)定義域

在R上的解析式可表示為：=下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)說法正確的序號為()

[O,xiQ

①狄利克雷為偶函數(shù)

②狄利克雷為奇函數(shù)

③狄利克雷函數(shù)值域為[0，1]

④對于任意xeR,均有/(/(-x))=1

⑤狄利克雷函數(shù)的圖像可以通過列表描點法畫出

⑥在狄利克雷函數(shù)上不存在可以構(gòu)成等邊三角形的三點

A.①③④⑥B.②③⑤C.①④D.②④⑥

解：狄利克雷函數(shù),

若X為有理數(shù)，則-X也是有理數(shù)，

D(x)=1,。(一x)=l,即D(x)=D(-x),

若X為無理數(shù)，則-X也是無理數(shù)，

D(x)=0,D(-x)=0,即。(x)=r>(f),

又函數(shù)D(x)的定義域為R,所以函數(shù)〃(x)是R上的偶函數(shù)，故①正確，②錯誤；

狄利克雷函數(shù)值域為{0,1},故③錯誤；

對于任意xeR,有-xeR，。(-》)=0或1,都是有理數(shù)，

:NxsR,有/(/(x))=l，故④正確；

狄利克雷函數(shù)的圖象不可以通過列表描點法畫出，故⑤錯誤；

取40,1),3(、-,0),C(-\-,0)得到△/BC為等邊三角形，

即在狄利克雷函數(shù)上存在可以構(gòu)成等邊三角形的三點，故⑥錯誤.

故選：C.

三.解答題(共78分，17?19每題14分，20?21每題18分)

17.(14分)命題甲：集合N={x|-2<x<6},8={x|x+“-l>0},且/(JB=2x>-2}.

命題乙：集合/={x|x?+(a+2)x+l=0},B={x|x>0},且=

問題：若命題甲和乙中有且只有一個真命題，求：實數(shù)a的取值范圍.

解：命題甲：集合A={x\-2<x<6],B={x\x+a—\>={x\x>\-a],且={x|x>-2},

-2W1-a<6,得—5<°W3,

當(dāng)命題甲是真命題，實數(shù)。的取值范圍為{a|-5<aW3}.

?.?命題乙：集合幺=3/+(0+2)》+1=0},B={x\x>0],且/0|5=0,

：.A=0或集合A中元素是非正數(shù)，

又/={x|x?+(a+2)x+1=0},

A中元素是方程尤2+伍+2)x+1=0的解，

當(dāng)/=0時，△=(a+2)2-4<0,解得-4<a<0,

當(dāng)集合/中元素是非正數(shù)時，

設(shè)X],乙是方程X?+(。+2)卜+1=0的根,

XjX2=1,則△=(a+2)2-420J3.X]+x2=-a-2<0,解得a?0,

.,.當(dāng)命題乙是真命題時，實數(shù)a的取值范圍為{。|a>-4}.

?.?命題甲和乙中有且只有一個真命題，

，命題甲是真命題，命題乙是假命題或命題甲是假命題，命題乙是真命題，

當(dāng)命題甲是真命題，命題乙是假命題時，[-5<"'3,得到一5<”-4,

[a<-4

當(dāng)命題甲是假命題，命題乙是真命題時，!“<一5或[。>3,得到〃>3,

[q>—4[a>—4

.一.命題甲和乙中有且只有一個真命題，實數(shù)。的取值范圍為{a|-5<。<-4或。>3}.

18.(14分)除了直接作差以外，利用函數(shù)，基本不等式，反證法比大小也是解決不等關(guān)系的主要方法.

(1)已知實數(shù)X],x2,x3,x4,x5,滿足X]+超+X3+X4+X5=5.求證：X1,x2,x3,x4,X5中至少

有一個實數(shù)不小于1.

（2）已知a=b=203,c=O.30-2,試比較：a、b、c三者的大小關(guān)系.

（3）若實數(shù)“，b,x,y滿足￡-[=1,試比較：/一/和（x-y）2的大小，并指明等號成立的條件.

ab

X9

解：（1）證明：（反證法）假設(shè)再，/，3%4，/全小于1，即石<1，X2<1,X3<1,X4<1,X5<1,

所以石+%+%3+<5，這與石+/+%3+%4+=5矛盾，

故假設(shè)不成立，所以再，%，、3，%，/中至少有一個實數(shù)不小于

（2）因為函數(shù)>=0.3"在R上為減函數(shù)，又：1>0.2>0,所以0.321<0.3°2<0.3°,

即Q<C<1,

又函數(shù)>在R上為增函數(shù)，又0.3〉0,所以2°3〉2°=1,

所以6>C>Q；

(2、2,2/212X2\22。2r心2。22

1V

(3)a-b-^{a--6-)(—=+y2――,——=+寸)

ababab

/）2222

當(dāng)且僅當(dāng)駕=巴白，即6與2=/必取等號，

ab

所以Q2_令2+「_2|肛]令2+y2_2xy=（X-J）2,

當(dāng)且僅當(dāng)且％,>同號時取等號.

19.（14分）由于濃酸泄漏對河流形成了污染，現(xiàn)決定向河中投入固體堿.1個單位的固體堿在水中逐步

溶化，水中的堿濃度y與時間x的關(guān)系，可近似地表示為了=，一不一X+8，0<X<2.只有當(dāng)河流中堿的濃

4-x,2<x<4

度不低于1時，才能對污染產(chǎn)生有效的抑制作用.

（1）如果只投放1個單位的固體堿，則能夠維持有效抑制作用的時間有多長？

（2）當(dāng)河中的堿濃度開始下降時，即刻第二次投放1個單位的固體堿，此后，每一時刻河中的堿濃度認(rèn)

為是各次投放的堿在該時刻相應(yīng)的堿濃度的和，求河中堿濃度可能取得的最大值.

解：（1）由題意，當(dāng)0WxW2時，一一---x+8>1,Ax2-5x+2^0,‘一炳令/+M,

x+222

0令W2,----------

2

當(dāng)2<xW4時，4-2<x<4,2<

綜上，得三叵令43,

2

即若1個單位的固體堿只投放一次，則能夠維持有效抑制作用的時間為3-匕叵=1±2叵；

22

(2)當(dāng)0〈x<2時，y=—一^一x+8,y1T>°,二函數(shù)>=一~^-x+8在［0,2］上單調(diào)遞增,

當(dāng)2<xW4時，>=4-x單調(diào)遞減，所以當(dāng)河中的堿濃度開始下降時，即刻第二次投放1個單位的固體堿,

即2<工忘4時，y=4-x+［-(%-2)+8］=14-(2x+，

(%—2)+2x

故當(dāng)且僅當(dāng)2%=3，即x=2及時，y有最大值14-8夜.

X

20.(18分)利用數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)研究方程與不等式問題是解決抽象代數(shù)問題的捷徑.

(1)已知函數(shù)-，aeR,若對任意％￡(0」］,/(x)(0恒成立，求：實數(shù)Q的取值范圍.

x2

(2)設(shè)?！昊穑舸嬖诙x域為R的函數(shù)/(%)同時滿足①，②兩個條件，求：。的取值范圍.

①對于任意/eR,/(x0)的值為片或與；

②關(guān)于x的方程/(%)=Q無實數(shù)解.

(3)已知函數(shù)/(1)=2/一工+心^及),若方程/(x)=0有實根，求：集合｛x[/[/(%)]=0｝的元素的可能

個數(shù).

解：(1)①當(dāng)時,x-a>0,

則f(x)—x—a-----ci=x9xG(0,-],

xx2

此時/(%)40恒成立，故”0;

②當(dāng)42工時，X—Q40,

2

貝[Jf(X)——X+Q-----d—2Q—(XH),XG(0,-],

xx2

若2。一(x+-)V0，即。W[彳(1+一)]加〃，

x2x

令g(x)=La+3為對勾函數(shù)，在(0-]上單調(diào)遞減，

2x2

所以Q?g(X+J)]加〃=g(|)=|，

,,15

故一Wa<—；

24

③當(dāng)0<q<L時，

2

若X<4,則/(X)=一1+Q-▲+Q=2。-(X+▲),XG(0,—],

xx2

同②，符合題意；

若貝l|/(x)=x-a-L+q=x—工，xG[0,—],同①，符合題意；

xx2

綜上所述，。的取值范圍為(f，

(2)由條件①得，X；=%,解得/=0或%=1,

所以當(dāng)/=0時，/(0)=0；當(dāng)％=1時，f(1)=1,

又因為關(guān)于x的方程“X)=a無實數(shù)解，

所以qwO且awl,

所以a￡(-00,0)U(0,1)U(1,+oo)；

(3)①若函數(shù)/(x)=2Y—X+。有兩個相等的實數(shù)根，

貝lJ△=l_8a=0,得。=工，實數(shù)木艮％=!，

84

令/=2x2—x+a?20)，

則/a)=2?7+a,

當(dāng)/=；時，f(t)=0,

此時，=。有2個解；

②若函數(shù)/(x