2024-2025學(xué)年人教版七年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末專項復(fù)習(xí)：有理數(shù)（知識串講+熱考題型+試題訓(xùn)練）（解析版）

專題01有理數(shù)

?？键c歸納

【考點01］正負(fù)數(shù)

【考點02］相反意義的量表示

【考點03】有理數(shù)的概念辨析

【考點04】有理數(shù)的分類

【考點05】有理數(shù)的大小比較

【考點06］數(shù)軸的三要素及其畫法

【考點07】利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

【考點08】數(shù)軸上兩點之間的距離【考點題型九】數(shù)軸上的動點問題

【考點09］相反數(shù)的概念

【考點10］相反數(shù)的性質(zhì)運用

【考點U】絕對值定義、絕對值的性質(zhì)

【考點12］化簡絕對值

【考點13］非負(fù)性的性質(zhì)

識梳理

知識點1：正數(shù)和負(fù)數(shù)

（1）概念

正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。

負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上負(fù)號“一”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。

注：。既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù)。

（不是帶“一”號的數(shù)都是負(fù)數(shù)，而是在正數(shù)前加“一”的數(shù)。）

（2）意義：在同一個問題上，用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量。.

知識點1：有理數(shù)

（1）概念

整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。

分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)。（有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。）

注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)，負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱

為非正整數(shù)。

（2）分類：兩種

⑴按正、負(fù)性質(zhì)分類：⑵按整數(shù)、分?jǐn)?shù)分類：

「正有理數(shù)正整數(shù)正整數(shù)

有理數(shù)正分?jǐn)?shù)整數(shù)V0

Y

零有理數(shù)J'負(fù)整數(shù)

1負(fù)有理數(shù)1〔分?jǐn)?shù)_

-負(fù)整數(shù)｛正分?jǐn)?shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

知識點L數(shù)軸

（1）概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。

三要素：原點、正方向、單位長度

（2）對應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的點和有理數(shù)是一一對應(yīng)的。

比較大?。涸跀?shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

（3）應(yīng)用j求兩點之間的距離：兩點在原點的同側(cè)作減法，在原點的兩側(cè)作加法。

（注意不帶“+”“一”號）

知識點1：相反數(shù)

（1）概念代數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做相反數(shù)。（0的相反數(shù)是0）

幾何：在數(shù)軸上，離原點的距離相等的兩個點所表示的數(shù)叫做相反數(shù)。

（2）性質(zhì)：若a與b互為相反數(shù)，則a+b=0,即a=-b；反之，

若a+b=0,則a與b互為相反數(shù)。

「兩個符號：符號相同是正數(shù)，符號不同是負(fù)數(shù)。

（3）多重符號的化簡-

-多個符號：三個或三個以上的符號的化簡，看負(fù)號的個數(shù)

（注意：當(dāng)“一”號的個數(shù)是偶數(shù)個時，結(jié)果取正號當(dāng)“一”號的個數(shù)是奇數(shù)個時，結(jié)果取負(fù)號）

知識點1：絕對值

（1）幾何意義：一個數(shù)的數(shù)量大小叫作這個數(shù)的絕對值。

廠個正數(shù)的絕對值是它的本身(若|a|=|b|,貝！|a=b或a=-b)

(2)代數(shù)意義j一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)

0的絕對值是0

(3)代數(shù)符號意義：

-a>0,|a|=a反之，|a|=a,則a，0,|a|=-a,貝ljaW0|

.a=0,|a|=0

,a<0,|a|=-a

注：非負(fù)數(shù)的絕對值是它本身，非正數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。

(4)性質(zhì)：絕對值是a(a>0)的數(shù)有2個，他們互為相反數(shù)。即土a。

(5)非負(fù)性：任意一個有理數(shù)的絕對值都大于等于零，即|a|20。幾個非負(fù)數(shù)之和等于0,則每個非負(fù)數(shù)都

等于0。故若|a|+|b|=0,則a=0,b=0

1.數(shù)軸比較法：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

(6)比較大小

L2.代數(shù)比較法：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。

兩個負(fù)數(shù)比較大小時，絕對值大的反而小。

度M點精講

【考點01］正負(fù)數(shù)

【典例1】中國人很早開始使用負(fù)數(shù)，中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的“方程”一章，在世界數(shù)學(xué)史上

首次正式引入負(fù)數(shù).如果支出1000元記作-1000元，那么+1080元表示()

A.支出80元B.收入80元C.支出1080元D.收入1080元

【答案】D

【分析】此題考查了正負(fù)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)正負(fù)數(shù)是表示一對意義相反的量進(jìn)行辨別，解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)

確問題間的數(shù)量關(guān)系和具有意義相反的量.

【詳解】解：回支出1000元記作一1000元，

國+1080元表示表示收入1080元，

故選：D.

【變式1-1】受全球新冠肺炎疫情的影響，全球經(jīng)濟(jì)大幅下滑，經(jīng)合組織預(yù)計，2020年全球經(jīng)濟(jì)下降為

4.5%,記作-4.5%,與此同時，經(jīng)合組織預(yù)計2020年美國經(jīng)濟(jì)增速預(yù)期為-3.8%,2020年歐元區(qū)經(jīng)濟(jì)

增速為-7.9%.按照經(jīng)合組織的預(yù)期，2020年中國經(jīng)濟(jì)將實現(xiàn)1.8%的增長，應(yīng)記作（），是二十國

集團(tuán)中唯一實現(xiàn)經(jīng)濟(jì)正增長的國家

A.+1.8%B.-1.8%C.+1.8D.-7.9%

【答案】A

【分析】本題主要考查了正負(fù)數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解"正〃和"負(fù)”的相對性，明確什么是一對具有相

反意義的量，在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負(fù)表示.首先審清題意，

明確"正"和"負(fù)"所表示的意義；再根據(jù)題意作答.

【詳解】解：下降記為"一"，則增長記為"+〃，所以增長1.8%,記為+1.8%.

故選：A

【變式1-2】在一2,+3,5,0,-j,-0.7,11中，負(fù)分?jǐn)?shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題主要考查有理數(shù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：在一2,+3.5,0.一%-0.7,U中，負(fù)分?jǐn)?shù)有一|,一0.7,共2個，

故選：B

【變式1-3】在一2,+3,5,0,-|,-0.7,H中，負(fù)分?jǐn)?shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題主要考查有理數(shù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：在一2,+3.5,0,一|,一0.7,11中，負(fù)分?jǐn)?shù)有一：,一0.7,共2個，

故選：B

【變式1-4】有一組數(shù)為：—1,一；，；，-i…找規(guī)律得到第7個數(shù)是（）

23456

11

A.--B.-C.-7D.7

【答案】A

【分析】通過觀察，按照排列順序，第奇數(shù)個都是負(fù)數(shù)，偶數(shù)個都是正數(shù)，分母就是它們的序數(shù)，分子

都是1.

本題是信息給予題，認(rèn)清規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：團(tuán)第7個數(shù)，7是奇數(shù)，

國應(yīng)該是負(fù)數(shù)，即—

故選A.

【考點02］相反意義的量表示

【典例2】如果收入100元記作+100元，那么支出300元記作（）

A.一300元B.+300元C.1300元D.+1300元

【答案】A

【分析】本題主要考查正負(fù)數(shù)的意義，正確理解正負(fù)數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)正負(fù)數(shù)的實際意義進(jìn)

行排除選項即可.

【詳解】解：由收入100元記作+100元，那么支出300元記作-300元；

故選A.

【變式2-11張老師對全班同學(xué)以90分為標(biāo)準(zhǔn)計分，小明得95分，記作+5分；小麗被記作-3分，則小

麗的實際分?jǐn)?shù)為（）

A.93B.92C.87D.88

【答案】C

【分析】本題考查了正數(shù)與負(fù)數(shù)表示意義相反的兩種量，在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個

為正，則另一個就用負(fù)表示，解題的關(guān)鍵是理解"正"和"負(fù)"的相對性.

【詳解】解：團(tuán)以90分為標(biāo)準(zhǔn)計分，小明得95分，記作+5分；

回小麗被記作-3分，則小麗的實際分?jǐn)?shù)為90-3=87分，

故選：C.

【變式2-2】規(guī)定：（i2）表示向右移動2,記作+2,貝1（-3）表示向左移動3,記作（）

A.+3B.—3C.—D.H—

33

【答案】B

【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負(fù)表示，"正"和"負(fù)"相對，

據(jù)此求解即可，

本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解"正"和"負(fù)"的相對性，確定一對具有相反意義的量.

【詳解】解：???"正"和"負(fù)"相對，

.如果(->2)表示向右移動2,記作+2,則(―3)表示向左移動3,記作-3,

故選：B.

【變式2-3】根據(jù)文獻(xiàn)記載，魏晉學(xué)者劉徽是引入負(fù)數(shù)概念的第一人，他在注解《九章算術(shù)》時寫道："正

算赤，負(fù)算黑；否則以斜正為異.今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之."簡而言之，劉徽不僅給了正負(fù)數(shù)

定義，而且還指出用赤黑區(qū)分正負(fù)數(shù)，即“正算赤，負(fù)算黑如果向東走30米記作"+30米"，那么向西

走70米記作.

【答案】-70米

【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的意義，根據(jù)正負(fù)數(shù)表示意義相反的量，向西走為正，則向東走為負(fù)，即可得

出結(jié)果；

【詳解】解：向東走30米記作"+30米"，那么向西走70米記作-70米；

故答案為：-70米

【考點03】有理數(shù)的概念辨析

【典例3】在數(shù)段一巳，一￡,0.4,0.3333.1415926中，有理數(shù)有()

A.3個B.4個C.5個D.6個

【答案】C

【分析】本題考查有理數(shù)的定義，根據(jù)有理數(shù)的定義逐個判斷即可得出答案.

【詳解】解：有理數(shù)有松，0.4,0.333???,3,1415926,共5個.

故選：C

【變式3-1］下列判斷語句中，錯誤的是()

A.最小的正整數(shù)是1B.最大的負(fù)整數(shù)是-1

C.沒有最大的有理數(shù)D.最小的有理數(shù)是0

【答案】D

【分析】本題主要考查的是有理數(shù)的知識，解決本題的關(guān)鍵是熟記沒有最大的有理數(shù)，也沒有最小的有

理數(shù).

【詳解】解：A.最小的正整數(shù)是1,說法正確，不符合題意；

B.最大的負(fù)整數(shù)是-1,說法正確，不符合題意；

C,沒有最大的有理數(shù)，說法正確，不符合題意；

D,沒有最小的有理數(shù)，說法錯誤，符合題意；

故選：D.

【變式3-2］在3.14,y,0,或0.1010010001中，有理數(shù)有（）

A.5個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】本題考查了有理數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的概念.根據(jù)有理數(shù)的概念依次判斷即可.

【詳解】解：3.14是有限小數(shù)，是有理數(shù)；

B是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)；

。是整數(shù)，是有理數(shù)；

三是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)；

0.1010010001是有限小數(shù)，是有理數(shù)；

故有理數(shù)有4個，

故選：D.

【變式3-3】零是（）

A.最小的整數(shù)B.最小的正數(shù)C.最小的有理數(shù)D.最小的非負(fù)整數(shù)

【答案】D

【分析】本題考查有理數(shù)，掌握最大的負(fù)整數(shù)是-1,最小的正整數(shù)是1.注意：有理數(shù)既沒有最大也沒

有最小.熟練掌握0的特殊性十分重要.

根據(jù)0的特殊性，利用排除法進(jìn)行選擇.

【詳解】解：A、沒有最小的整數(shù)，故此選項不符合題意；

B、沒有最小的正數(shù)，故此選項不符合題意；

C、有理數(shù)沒有最大最小，故此選項不符合題意；

D、非負(fù)整數(shù)就是正整數(shù)或0,所以0最小，故此選項符合題意.

故選：D.

【考點04］有理數(shù)的分類

【典例4】把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的集合內(nèi)：-11、4.8、73、-2,7、［、3.1415926、-|、0

正數(shù)集合{}

負(fù)分?jǐn)?shù)集合｛｝

非負(fù)整數(shù)集合｛｝

【答案】見詳解

【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，涉及正分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)以及非正整數(shù)的定義，難度較??；大于0

的分?jǐn)?shù)是正分?jǐn)?shù)；小于0的分?jǐn)?shù)是負(fù)分?jǐn)?shù)；整數(shù)是包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù);非正整數(shù)包括零、負(fù)整數(shù).根

據(jù)正數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)、非負(fù)整數(shù)的定義進(jìn)行作答即可.

【詳解】解:正數(shù)集合｛4.8、73、->3,1415926,……｝

6

負(fù)分?jǐn)?shù)集合｛—2.7、—"……｝

非負(fù)整數(shù)集合｛73、0,......｝

【變式4-1］將有理數(shù)-2.5,0,2|,2024,-35%,0.6(兩數(shù)之間用逗號隔開)分別填在相應(yīng)的括號里.

整數(shù)：｛...｝；

負(fù)數(shù)：｛

非負(fù)數(shù)：｛

【答案】0)2024；-2.5,-35%；0,252024,0.6

【分析】本題主要考查了有理數(shù)分類，理解并掌握有理數(shù)的概念和分類是解題關(guān)鍵.根據(jù)有理數(shù)的分類，

逐一分類填寫即可.

【詳解】解：整數(shù)：｛0,2024...｝；

負(fù)數(shù)：(-2.5,-35%...)；

非負(fù)數(shù)：｛0,2|,2024,0.6...｝

【變式4-2】將下列各有理數(shù)按照分類填入下面對應(yīng)的大括號內(nèi)：

—2,25,+16,—,-4,3.14,0,一,—,—.

4749

有理數(shù)數(shù)集合：｛｝

整數(shù)集合：｛｝;

負(fù)數(shù)集合：｛｝;

分?jǐn)?shù)集合：｛｝:

【答案】見解析

【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，根據(jù)有理數(shù)的分類對各數(shù)進(jìn)行判斷即可得出答案，熟練掌握有理數(shù)

的分類是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：有理數(shù)數(shù)集合：｛一2.25,+16,—%-4,3.14,0,y,-|｝

整數(shù)集合：｛+16,-4,0);

負(fù)數(shù)集合：｛-2.25,—4,—p—1｝；

49

分?jǐn)?shù)集合：｛-2.25,/3.14,y,-1).

【考點05】有理數(shù)的大小比較

【典例5】比較大小：一（+｛）-|-||（填"＞"、"="、"＜"號）.

【答案】＞

【分析】本題主要考查了比較有理數(shù)的大小，化簡多重符號和絕對值，先化簡多重符號和絕對值求出兩

個數(shù)，再根據(jù)正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值越大，其值越小進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：一（+!）=—I，TT|=—也

0I--I=-=-＜|--|

I4l424I6l624

回_（+0＞TT,

故答案為：＞.

【變式5-1】比較大?。阂粅一|（填“"（"或"="）

【答案】＞

【分析】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，熟知兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的其值反而小是解答此題的關(guān)鍵.根

據(jù)兩負(fù)數(shù)比較大小的法則進(jìn)行比較即可.

【詳解】W：-|-||=|＜1-11=1-

32

故答案為：＞.

【變式5-2】比較大?。阂唬糭--（填〃〃或"=〃）

34

【答案】＞

【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，根據(jù)兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小即可判斷求解，掌握有理數(shù)

的大小比較法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：/11=1,卜11=1,

L23

團(tuán)

34

故答案為：＞.

【考點06］數(shù)軸的三要素及其畫法

【典例6】下列數(shù)軸的畫法正確的是（）

.----------?

0

11111

L21012

1-2012

【答案】D

【分析】本題考查數(shù)軸的意義和表示方法，掌握數(shù)軸的三要素（規(guī)定了原點，單位長度，正方向的直線

叫做數(shù)軸）是正確判斷的前提.根據(jù)數(shù)軸的意義，數(shù)軸的三要素進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、缺少單位長度，故此選項不符合題意；

B、缺少正方向，故此選項不符合題意；

C、-1和-2標(biāo)錯了，故此選項不符合題意；

D、規(guī)定了原點，單位長度，正方向的直線叫做數(shù)軸，故此選項符合題意.

故選：D.

【變式6-1】下面是四名同學(xué)畫的數(shù)軸，其中正確的是（）

LILI?

A.T-2012B.-2-1123

1Illi

c.一2-1012D--2-1012

【答案】D

【分析】本題考查數(shù)軸，熟知規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸是解題的關(guān)鍵.據(jù)此對各

選項逐一分析判斷即可.

【詳解】解：A.數(shù)軸上的點應(yīng)該越向右越大，-2與-1位置顛倒，故此選項不符合題意；

B.沒有原點，故此選項不符合題意；

C.沒有正方向，故此選項不符合題意；

D.數(shù)軸畫法正確，故此選項符合題意.

故選：D.

【考點07】利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

【典例7】已知一組數(shù)：|一3|,-j,0,-(-1.5),-1.

(1)把下列這條直線補(bǔ)充成一條數(shù)軸，并把這些數(shù)用數(shù)軸上的點表示出來；

_5-4-3-2-I0I23456

(2)把這些數(shù)按照從小到大的順序排列，并用"<”號連接起來.

【答案】⑴見解析

(2)-|<-1<0<-(-1.5)<|-3|

【分析】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小.

(1)在數(shù)軸上根據(jù)有理數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)進(jìn)行畫圖即可；

(2)根據(jù)數(shù)軸上左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)用小于號把各數(shù)連接起來即可.

【詳解】(1)|一3|=3,-(-1.5)=1.5,

如圖所示，即為所求；

5

2—|0—(―1^)1—31

-I----1——I—-----A----i--------------i----1-----1-----L_>

_5-4-3-2-I0123456

(2)從小到大的順序排列如下：

-j<-1<0<-(-1.5)<|-3|.

【變式7-1］有理數(shù)a,6在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列選項正確的是()

-b~=46~a1

A.a+b>0B.b-a<0C.ab>0D.|a|>\b\

【答案】B

【分析】先根據(jù)數(shù)軸可以得到6<0<a,且網(wǎng)>|a|,再利用實數(shù)的運算法則即可判斷.本題主要考查

了利用數(shù)軸來進(jìn)行實數(shù)大小比較.由于引進(jìn)了數(shù)軸，我們把數(shù)和點對應(yīng)起來，也就是把“數(shù)”和“形”

結(jié)合起來，二者互相補(bǔ)充，相輔相成，把很多復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，在學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)數(shù)形

結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

【詳解】解：根據(jù)點在數(shù)軸的位置，知：b<0<a,且網(wǎng)>|a|.

A>v6<0<a,且|b|>|a|,a+b<0,故本選項錯誤；

B、?.?b<a,h-a<0,故本選項正確；

C>va>0,b<0,ab<0,故本選項錯誤；

D>\b\>|a|,故本選項錯誤.

故選：B.

【變式7-2］如圖，若點A,B,。所對應(yīng)的數(shù)為a,b,c,則下列大小關(guān)系正確的是（）

BCA

▲▲?▲?一?A?

-3-2-10123

A.a<b<—cB.b<—c<aC.—a<c<bD.a<—c<—b

【答案】B

【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，從數(shù)軸得出6<0<c<a,|a|>\b\>|c|,據(jù)此判斷即可.解

決本題的關(guān)鍵是熟記數(shù)軸上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù).

【詳解】解：由題意可知，b<0<c<a,且|a|>|b|>|c|,

<-c<a,故選項A不合題意；

0a>—c>/?,故選項B合題意；

0-a<b<c,故選項C不合題意；

Sc<—b<a,故選項D符合題意.

故選：B.

【變式7-3］在數(shù)軸上與原點的距離不大于4的整數(shù)點有（）

A.5個B.6個C.9個D.8個

【答案】C

【分析】本題考查了數(shù)軸，先畫出數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸和絕對值的幾何意義進(jìn)行分析解答.

【詳解】解：如圖所示：

-5-4-3-2-102345

在數(shù)軸上與原點的距離不大于4的整數(shù)點有-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4.共9個.

故選：c.

【變式7-4](1)把數(shù)軸補(bǔ)充完整；

(2)在數(shù)軸上表不下列各數(shù)：0,—(—2),—4,3+(—5)；

(3)用"〉"將這些數(shù)連接起來，

]___1??????___??___?A

0

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)3號>-(-2)>0>-4>+(-5)

【分析】本題考查了數(shù)軸的三要素：正方向、原點、單位長度；在數(shù)軸上表示有理數(shù)，根據(jù)數(shù)軸上左邊

的數(shù)總是小于右邊的數(shù)進(jìn)行判斷，將題目所給的數(shù)字準(zhǔn)確的表示在數(shù)軸上是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：(1)如圖所示：

-5-4-3-2-1012345.

(2)—(—2)=2,+(-5)=-5,

在數(shù)軸上表示為：

+(-5)-40-(-2)32

---1111---111__1I---1>

-5-4-3-2-1012345.

(3)3>—(-2)>0>—4>+(-5).

【考點08】數(shù)軸上兩點之間的距離

【典例8】同學(xué)們都知道，|7-(-3)|表示7與-3之差的絕對值，實際上也可理解為數(shù)軸上分別表示7

與-3的兩點之間的距離.試探索：

(1)17-(-3)|=；

(2)找出所有符合條件的整數(shù)x,使得|x+4|+|x-1|=5；

⑶對于任何有理數(shù)x,阮-3|+|x-6|是否有最小值？若有，請求出最小值；若沒有，請說明理由；

⑷若優(yōu)+1|+比一6|=9時，求x的值.

【答案]⑴10

(2)%=-4,—3,—2,—1,0,1

⑶最小值為3

⑷一2或7

【分析】本題考查數(shù)軸和絕對值.理解并靈活運用"兩數(shù)之差的絕對值表示這兩個數(shù)對應(yīng)的點之間的距離"

是解題的關(guān)鍵.

(1)|7-(-3)|表示7與-3的兩點之間的距離，據(jù)此解答即可；

(2)根據(jù)比+4|+|%-1|=5表示x與-4的兩點之間的距離和尤與1的兩點之間的距離之和是5可知，

尤表示的點位于-4表示的點與1表示的點之間，據(jù)此作答即可；

(3)根據(jù)比-3|+|%-6|表示工與3的兩點之間的距離和x與6的兩點之間的距離之和可知，當(dāng)x表示

的點位于3表示的點與6表示的點之間時，|%-3|+|x-6|有最小值，最小值為3表示的點與6表示的

點之間的距離；

(4)根據(jù)兩點間的距離求解即可.

【詳解】(1)國|7-(-3)|表示7與-3的兩點之間的距離，

0|7一(-3)|=10.

故答案為：10;

(2)0|x+4|+|x-1|=5的意義是：表示x與一4的兩點之間的距離和尤與1的兩點之間的距離之和是

5.

0-4<x<1(尤為整數(shù))，

團(tuán)久=-4,—3,—2,—1,0,1.

(3)對于任何有理數(shù)x,|%-3|+|%-6|有最小值.

0|x-3|+|%-6|的意義是：表示x與3的兩點之間的距離和x與6的兩點之間的距離之和.

回當(dāng)3<久<6時，-3|+|久-6|取最小值，最小值為3.

(4)|x+l|+\x-6\=9的意義是:表示x與-1的兩點之間的距離和x與6的兩點之間的距離之和是9,

06-(-1)=7,

(9一7)-2=1,

-1-1=-2,6+1=7

取的值為-2或7.

【變式8-11點A,B是數(shù)軸上的兩點，A,8兩點之間的距離是5,若點A表示-3,則點B表示的數(shù)是.

【答案】2或—8

【分析】本題考查了數(shù)軸的應(yīng)用，數(shù)軸上兩點間距離，解題的關(guān)鍵是能分類討論求出符合條件的所有情

況.根據(jù)題意得出兩種情況，當(dāng)點2在點A的右邊時，當(dāng)點2在點A的左邊時，分別求出即可.

【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸的特點分兩種情況討論：①當(dāng)點8在點A的右邊時，-3+5=2；②當(dāng)點8在

點A的左邊時，一3—5=-8.

回點8表示的數(shù)是2或一8.

故答案為：2或—8.

【變式8-2】數(shù)軸上的點4到原點的距離是10,則點2表示的數(shù)為（）

A.10或一10B.0C.-10D.10

【答案】A

【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離，分兩種情況：當(dāng)點4在原點的左邊時；當(dāng)點力在原點右邊時；

分別計算即可得出答案.

【詳解】解：當(dāng)點a在原點的左邊時，o—io=-io；當(dāng)點a在原點右邊時，o+io=io,

故選：A.

【變式8-3】數(shù)軸上點A表示一4,點8表示3,則A、8兩點間的距離是（）

A.-1B.-5C.7D.1

【答案】C

【分析】本題主要考查了數(shù)軸上兩點間的距離，掌握數(shù)軸上兩點的距離為較大的數(shù)減去較小的數(shù)成為解

題的關(guān)鍵

數(shù)軸上兩點之間的距離等于這兩點的數(shù)的差的絕對值，即：較大的數(shù)減去較小的數(shù)即可.

【詳解】解：3-（-4）=7,即A、8兩點間的距離是7.

故選：C.

【答案】一2或4

【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離，分兩種情況考慮.分點2在點A的左側(cè)和右側(cè)兩種情況即可

完成.

【詳解】當(dāng)點2在點A的左側(cè)時，此時點8表示的數(shù)是-2；當(dāng)點2在點A的右側(cè)時，此時點3表示的

數(shù)是4；

故點B表示數(shù)是-2或4；

故答案為：-2或4

【考點09］數(shù)軸上的動點問題

【典例9】已知一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動7個單位長度到達(dá)a點，再從a點向右移動12

個單位長度到達(dá)B點.點C是線段4B的中點.

（1）點C表示的數(shù)是；

(2)若動點P從點a出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，同時動點Q,M分別從點C、B出發(fā)，

分別以每秒1個單位長度、4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動.設(shè)運動時間為t秒.

①當(dāng)t=2時，求QM—PQ的值；

②試探索：QM-PQ的值是否隨著時間t的變化而改變？請說明理由.

【答案]⑴-1

(2)①Q(mào)M—PQ的值為0；②QM—PQ的值不隨著時間t的變化而改變.理由見解析

【分析】本題考查列代數(shù)式，數(shù)軸，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

(1)根據(jù)題意可以求得點C表示的數(shù)；

(2)①根據(jù)題意可以用代數(shù)式表示點M,P,Q運動時間t時表示的數(shù)；根據(jù)題意可以求得當(dāng)t=2秒時，

QM—PQ的值；②先判斷是否變化，然后求出QM—PQ的值即可解答本題.

【詳解】(1)解：由題意可得，A點表示的數(shù)為：—7,8點表示的數(shù)為：-7+12=5,,

-1

由ZC=12x-=6,

2

故點C表示的數(shù)為：0—7+6=-1.

故答案為：-1；

(2)

解：①由題意可得，點Q移動t秒時表示的數(shù)為-1+t,點尸移動f秒時表示的數(shù)為-7-2如點M移動

f秒時表示的數(shù)為5+43

當(dāng)t=2時，

QM—PQ-[(5+4t)—(―1+t)]—[(—1+t)—(—7—2t)]

=(5+4t+1-t)-(-1+t+7+2t)

=6+3t—6—31

=0；

②QM-PQ的值不隨著時間t的變化而改變，

QM-PQ=[(5+4t)-(-1+t)]-[(-1+t)-(-7-2t)]

=(5+4t+1-t)-(-1+t+7+2t)

=6+3t—6—3t

=0,

QM-PQ的值不隨著時間t的變化而改變，QM—PQ的值為0.

【變式9-1］如圖一根木棒放在數(shù)軸上，數(shù)軸的1個單位長度為1cm,木棒的左端與數(shù)軸上的點A重合,

右端與點B重合.

054820

⑴若將木棒沿數(shù)軸向右水平移動，則當(dāng)它的左端移動到點8時，它的右端在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為20；

若將木棒沿數(shù)軸向左水平移動，則當(dāng)它的右端移動到A點時，則它的左端在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為5,由

此可得到木棒長為一cm.

(2)圖中點A所表示的數(shù)是一，點8所表示的數(shù)是

⑶由題(1)(2)的啟發(fā)，請你能借助"數(shù)軸"這個工具幫助小明解決下列問題：

一天，小明去問曾當(dāng)過數(shù)學(xué)老師現(xiàn)在退休在家的爺爺?shù)哪挲g，爺爺說："我若是你現(xiàn)在這么大，你還要

45年才出生；你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)120歲，是老壽星了，哈哈！"，請求出爺爺現(xiàn)在多少歲了？

【答案】⑴5

(2)10,15

(3)爺爺現(xiàn)在的年齡是65歲

【分析】此題考查了數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是把爺爺與小明的年齡差看做一個整體(木棒4B),而后轉(zhuǎn)化為

數(shù)軸上求點表示數(shù)的問題.

(1)此題關(guān)鍵是正確識圖，由數(shù)軸觀察知三根木棒長是20-5=15cm,則此木棒長為5cm；

(2)根據(jù)兩點間的距離公式即可求解；

(3)在求爺爺年齡時，借助數(shù)軸，把小明與爺爺?shù)哪挲g差看做木棒A8,類似爺爺比小明大時看做當(dāng)A

點移動到8點時，此時8點所對應(yīng)的數(shù)為-45,小明比爺爺大時看做當(dāng)B點移動到A點時，此時A點所

對應(yīng)的數(shù)為120,所以可知爺爺比小明大［120-(-45)］+3=55,可求爺爺?shù)哪挲g.

【詳解】(1)解：由數(shù)軸觀察知，三根木棒長是20-5=15(cm),

則此木棒長為15+3=5(cm).

故答案為：5；

(2)解：圖中點A所表示的數(shù)為5+5=10,點3所表示的數(shù)為20—5=15.

故答案為：10,15；

(3)解：如圖：

45ffA120

借助數(shù)軸，把小明與爺爺?shù)哪挲g差看做木棒AB,

類似爺爺比小明大時看做當(dāng)A點移動到B點時，

此時8點所對應(yīng)的數(shù)為-45.

小明比爺爺大時看做當(dāng)8點移動到A點時，

此時A點所對應(yīng)的數(shù)為120.

可知爺爺比小明大［120-（-45）］+3=55,

可知爺爺?shù)哪挲g為120-55=65（歲）.

故爺爺現(xiàn)在的年齡是65歲.

【變式9-2］如圖，已知點4、B、C是數(shù)軸上三點，。為原點.點C對應(yīng)的數(shù)為3,BC=2,AB=6.

1■■■

AOBC

（i）則點a對應(yīng)的數(shù)是一，點B對應(yīng)的數(shù)是」

（2）動點P、Q分別同時從4c出發(fā)，分別以每秒8個單位和4個單位的速度沿數(shù)軸正方向運動.M在線段4P

上，且4M=MP,N在線段CQ上，且CN=：CQ,設(shè)運動時間為＞0）.

①求點M、N對應(yīng)的數(shù)（用含t的式子表示）

②猜想MQ的長度是否與t的大小有關(guān)？如果有關(guān)請你寫出用t表示的代數(shù)式；如果無關(guān)請你求出MQ的長

度.

【答案】⑴—5,1

⑵①點M對應(yīng)的數(shù)為：一5+4t,點N對應(yīng)的數(shù)為：3+t；②MQ的長度與t無關(guān)，長度為8

【分析】本題是數(shù)軸上的動點問題，涉及數(shù)軸上兩點之間的距離，數(shù)軸上的點表示數(shù)等知識，解題的關(guān)

鍵是掌握數(shù)軸上兩點之間的距離公式.

（1）由已知、結(jié)合數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離即可求解；

（2）①由題意可得4M、CN的長度，從而由點2、C對應(yīng)的數(shù)即可求出點M、N對應(yīng)的數(shù)；②根據(jù)題意

可得點Q對應(yīng)的數(shù)，進(jìn)而得到MQ的長度，根據(jù)結(jié)果即可作出判斷.

【詳解】⑴解：?.?點C對應(yīng)的數(shù)為3,BC=2,

二點B對應(yīng)的數(shù)為：3-2=1,

又；AB=6,

???點力對應(yīng)的數(shù)為：1-6=-5,

故答案為：-5,1：

（2）①由動點P、Q分別同時從4C出發(fā)，分別以每秒8個單位和4個單位的速度沿數(shù)軸正方向運動，

則4P=8t,CQ=4t,

又AM=MP=^AP,CN=：CQ,

AM=4t,CN=tf

???點M對應(yīng)的數(shù)為：一5+4如點N對應(yīng)的數(shù)為：3+t；

②MQ的長度與t無關(guān)，理由如下：

由于CQ=43

???點Q對應(yīng)的數(shù)為：3+43

則MQ=3+4t-（-5+4t）=8,

即MQ的長度與t無關(guān)，長度為8.

【變式9-3］綜合與實踐：【問題情境】數(shù)學(xué)活動課上，王老師出示了一個問題：點A、8在數(shù)軸上分別

表示有理數(shù)。、b,A、B兩點之間的距離表示為力B,在數(shù)軸上48兩點之間的距離2B=|a-6|.利用

數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：

（1）數(shù)軸上表示2和6兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示3和-1的兩點之間的距離是；

【獨立思考】：

（2）數(shù)軸上表示x和-2的兩點之間的距離表示為；

（3）試用數(shù)軸探究：當(dāng)—1|=3時機(jī)的值為.

【實踐探究】：利用絕對值的幾何意義，結(jié)合數(shù)軸，探究：

（4）利用數(shù)軸求出|%-2|子|乂-5|的最小值，并寫出此時x可取哪些整數(shù)值？

AB

----111----A

a---0-----------------b

【答案】（1）4；4（2）\x+2\（3）6=一2或4（4）2,3,4,5

【分析】本題考查了數(shù)軸，絕對值的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解數(shù)軸上兩點間的距離的表示是解題的關(guān)

鍵.

（1）用大數(shù)減小數(shù)便可求得兩點的距離；

（2）根據(jù)定義用代數(shù)式表示；

（3）分兩種情況：小點在1的左邊；根點在1的右邊；分別列式計算便可；

（4）確定x與2的距離加上比與5的距離之和最小時，x的取舍范圍，再在該范圍內(nèi)求整數(shù).

【詳解】（1）數(shù)軸上表示2和6兩點之間的距離是：6-2=4；

數(shù)軸上表示3和—1的兩點之間的距離是3—（—1）=3+1=4；

故答案為：4；4；

(2)數(shù)軸上表示x和-2的兩點之間的距離表示為|x+2|,

故答案為：|%+2|；

(3)|m-l|=3表示數(shù)m的點與表示數(shù)1的點距離為3,

當(dāng)表示數(shù)in的點在1的左邊時，m=1-3--2,

當(dāng)表示數(shù)m的點在1的右邊時，m=1+3=4,

所以m=-2或4,

故答案為：-2或4；

(4)???|x-2|表示數(shù)軸上x和2兩點之間的距離,|x-5|表示數(shù)軸上乂和5兩點之間的距離,

當(dāng)且僅當(dāng)2WxW5時，兩距離之和最小，

取可取的整數(shù)有:2,3,4,5.

【考點10]相反數(shù)的概念

【典例10]2024的相反數(shù)是()

A.2024B.-2024C.1012D.-1012

【答案】B

【分析】本題考查相反數(shù)，根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：2024的相反數(shù)是-2024；

故選B.

【變式10-1】與-2025互為相反數(shù)的是()

A.-2025B.2025C.康D.

【答案】B

【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，絕對值相等，正負(fù)號相反的兩個數(shù)互為相反數(shù).

【詳解】解：-2025的相反數(shù)的是2025,

故選：B.

【變式10-2】下列四組數(shù)中，互為相反數(shù)的一組是()

A.+2與一3B.-8與+8

C.—(—2)與2D.+(—1)與—(+1)

【答案】B

【分析】本題考查的是相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0.

根據(jù)相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0.

【詳解】解：A、+2的相反數(shù)是—2,錯誤；

B、-8的相反數(shù)是+8,正確；

C、—(—2)=2的相反數(shù)是—2,錯誤；

D、+(-1)的相反數(shù)是1,一(+1)=-1,錯誤.

故選：B.

【變式10-3］如圖，點4B,C,。在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中表示-3的相反數(shù)的點是()

IIII■■■■>

-3-2-10ABCD

A.AB.BC.CD.D

【答案】C

【分析】此題考查了相反數(shù)的定義及互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上的位置特點，熟練掌握相反數(shù)的定義

是解題的關(guān)鍵；符號不同，絕對值相等的兩個數(shù)叫互為相反數(shù)，在數(shù)軸上的位置特點：分別位于原點的

左右兩側(cè)，并且到原點的距離的相等.

【詳解】解：表示-3的相反數(shù)的點在原點的右側(cè)，且到原點的距離為3個單位長度的點，如圖：

-3-2-10ABCD

根據(jù)點a,B,c,。在數(shù)軸上的位置，可得點c符合題意，

故選：c.

【考點11】相反數(shù)的性質(zhì)運用

【典例111若代數(shù)式3x+2和-2久+1互為相反數(shù)，貝卜=()

A.3B.-3C.5D.-5

【答案】B

【分析】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1,

求出解.

利用互為相反數(shù)兩數(shù)之和為0列出方程，求出方程的解即可得到光的值.

【詳解】解：根據(jù)題意得：3%+2-2久+1=0,

移項合并得：%=-3,

故選：B.

【變式11-11{-{-{-[-(-25)]}}}()

11

A.25B,-25C.-D.-石

【答案】B

【分析】本題考查主要考查了相反數(shù)定義，根據(jù)題目中負(fù)號的個數(shù)確定正負(fù)，若負(fù)號個數(shù)為奇數(shù)個則結(jié)

果為負(fù)，若負(fù)號的個數(shù)為偶數(shù)個則結(jié)果為正得到答案.

【詳解】解：由題可知負(fù)號個數(shù)為奇數(shù)個，則{-{-{-[-(-25)]}}}=-25.

故選：B.

【變式11-2]數(shù)軸上表示數(shù)a和a+4的點到原點的距離相等，則.為()

A.-4B.4C.2D.-2

【答案】D

【分析】本題考查數(shù)軸上原點兩側(cè)到原點的距離相等的點表示的數(shù)互為相反數(shù).

根據(jù)相反數(shù)的幾何意義可知：a與a+4互為相反數(shù)；再根據(jù)互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0即可解答.

【詳解】解：由題意知：

a與a+4互為相反數(shù)，

a+a+4=0,

解得：a=—2.

故選：D.

【變式11-3】代數(shù)式3a+1與2-2a互為相反數(shù)，則。=.

【答案】-3

【分析】本題考查相反數(shù)的性質(zhì)、解一元一次方程，先根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)之和是零列方程，然后

解方程即可.

【詳解】解：回代數(shù)式3a+1與2-2a互為相反數(shù)，

0(3a+1)+(2-2a)=0,即3a+1+2—2a=0,

解得a=—3,

故答案為：-3.

【變式11-4]如果a,b互為倒數(shù)，c,d互為相反數(shù)，那么6d-5ab-(-6c)=.

【答案】-5

【分析】此題考查倒數(shù)和相反數(shù)的概念，代數(shù)式求值；首先根據(jù)倒數(shù)的概念，可知時=1,根據(jù)相反數(shù)

的概念可知c+d=0,然后把它們分別代入，即可求出代數(shù)式6d-5a6-(-6c)的值.

【詳解】若a,b互為倒數(shù)，則防=1,

c,d互為相反數(shù)，則c+d=O,

那么6d—5ab—(-6c)=6(d+c)—Sab=0—5=—5,

故答案為：-5.

【考點12］絕對值定義、絕對值的性質(zhì)

【典例12】若一個數(shù)的絕對值是2019,則這個數(shù)是（）

A.2019B.-2019C.±2019D.以上都不對

【答案】C

【分析】此題考查了絕對值的性質(zhì)，要求掌握絕對值的性質(zhì)及其定義，并能熟練運用到實際當(dāng)中.本題

是絕對值性質(zhì)的逆向運用，此類題要注意答案一般有2個，除非絕對值為0的數(shù)才有一個為0.

【詳解】解：回|+2019|=2019,|-2019|=2019,

回絕對值等于2019的數(shù)有2個，即+2019和-2019,

故選：C.

【變式12-1］如圖，某草莓采摘園采摘了A、B、C、。四筐草莓，每筐草莓以5千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的干

克敖記為正數(shù)，不足的千克數(shù)記為負(fù)數(shù)，其中最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（）

-0.3+0.4-1.3+2.1

【答案】A

【分析】本題主要考查絕對值的意義；由題意易得|+0.3|<|-0.4|<|-1.3|<1-2.11，然后問題可求解.

【詳解】解：由題意得：|+0.3|<|-0.4|<|-1.3|<|-2.1|,

團(tuán)最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是A；

故選：A.

【變式12-2］絕對值大于4.5小于8的所有整數(shù)的有.

【答案1±5、±6、±7

【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的絕對值，根據(jù)正數(shù)和0的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相

反數(shù)進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：絕對值大于4.5小于8的所有整數(shù)的有±5、±6、±7,

故答案為：±5、±6、±7.

【考點13］化簡絕對值

【典例13-1］如圖，數(shù)軸上的三點4、B、C分別表示有理數(shù)a,b,c.

ABOC

］III

⑴填空：a—b0,a+c0,b—c0.（用<或>或=號填空）

⑵化簡：|a—bI—|a—c|+—c\.

【答案】（1）4<,<

（2）|Q—b|—\CL—c\+\b-c|—0

【分析】本題考查了有理數(shù)大小比較，數(shù)軸，絕對值，掌握負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的大和有理數(shù)的加法法則判斷即可；

（2）根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)化簡即可.

【詳解】（1）解：由數(shù)軸得：a<b,

團(tuán)a—bV0,

由數(shù)軸得：a<0,c>0,\a\