2024-2025學(xué)年天津市某中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年天津市南開中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4},則4U(QB)=()

A.{1,3,5}B.{1,3}C.{1,2,4}D.{1,2,4,5)

2.已知p：2X—8>0,q：(x—3)(x—4)<0,則()

A.p是q的充分不必要條件B.p是q的充要條件

C.q是p的必要不充分條件D.q是p的充分不必要條件

3.已知向量2=(3,—4),3=(—2,爪),"=(2,1),若(五+石)_12，則爪=()

A.-2B.2C.-6D.6

4.若a=1.010,5,b=l,Ol06,c=0.6°-5,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

5.記Sn為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和，S3=^a3=|-則&5=()

11

A-4Bo-C.1D.2

TTTT

6.已知函數(shù)/'(X)=2sin{a)x+%)(3>0)的最小正周期為TT,則函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,萬］上的最大值與最小值的

和等于（）

A.0B.2-避C.1D.2

7.設(shè)小，n為兩條不同的直線，a,。為兩個不同的平面，給出下列命題：

①若m〃a,m//n,貝切〃a；

②若zn1a,m］則a10；

③若a1p,aCt0=n,mln,則zn10；

④若m〃n,a〃S，則ni與a所成的角和n與￡所成的角相等.

其中正確命題的序號是（）

A.①②B.①④C.②③D.②④

8.雙曲線胃—A=1的一條漸近線方程為y=-4居心,尸2分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線左支上的

點到尸2的距離最小值為3,則雙曲線方程為（）

A.f-y2=1B.%2-^=1C.f-^=1D.f-^=1

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9.如圖，在直三棱柱ABC-ABiCi中，AB=y/3AA1=2^3,△ABC是等邊三角形，點。為該三棱柱外接

球的球心，則三棱柱外接球表面積與四棱錐，BL44GC體

積之比為是()

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。

10.已知復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i(i為虛數(shù)單位)，則|z|=

11.(依-1)7的展開式中含爐項的系數(shù)為

12.將圓心角為蒙，半徑為8的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的母線與底面所成角的余弦值為.

13.已知a>0,過點4(a,a)恰好只有一條直線與圓E：久2+-人+2y=0相切，貝"a=,該直線

的方程為.

14.袋子中有5個大小相同的球，其中紅球2個，白球3個，依次從中不放回的取球，則第一次取到白球且第

二次取到紅球的概率是；若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到紅球的概率是

15.如圖，三角形4BC中48=3,AC=6,ABAC=60°,。為8c中

點，E為中線AD的中點.則中線4D的長為,讀與而所成角。的余

弦值為.

三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題14分)

如圖，正三棱柱48C-4/1。的底面邊長為2,441=".

(1)求證：AR1B1C；

(2)若點M在線段4#上，且求三棱錐治―&CM的體積.

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17.(本小題15分)

在非等腰△ABC中，a,b,c分別是三個內(nèi)角4B,C的對邊，且a=3,c=4,C=2A.

(1)求cos4的值;

(2)求△ABC的周長;

(3)求cos(24+?)的值.

18.(本小題15分)

三棱臺力BC-AiBiCi中，若4遇1平面ABC,AB1AC,AB=AC=A4i=2,=1,M,N分另ij是

BC,B2中點.

(1)求證：&N〃平面JAM；

(2)求平面CiMZ與平面4CCM1所成夾角的余弦值;

(3)求點C到平面C1AL4的距離.

19.(本小題15分)

已知橢圓C：上+4=l(a>b>0)的離心率為a且經(jīng)過點(眄名).

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)尸為C的左焦點，過點M(-4,0)的直線I與C交于4B兩點，且麗?麗=0,求直線，的斜率.

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20.(本小題16分)

已知函數(shù)/'(x)=axlnx-x--.

(1)若a=1,

。)求函數(shù)y=/(%)在(1/(1))上的切線方程；

俗)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若x21時，/(x)>-2,求a的取值范圍.

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參考答案

l.A

2.D

3.5

4.D

5.D

6.C

7.0

8.B

9.A

10.72

12-

,8

13.1x—2y+1=0

14二工

,102

is3a_A

-7

16.(1)證明：取AB中點D,連接CD,B1D,則CD1AB,

因為平面ABB1&1平面力BC,平面ABBMin平面ABC=AB,

所以CDJ.面ABBMi，因為u面ABBMi，

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所以CD14B,

因為tanNBAiBi=當，tanzBBiD=+=*，

所以/84道1=4B8I。，

所以4/1BD又BiDnCD=D,CD14止,

所以4/1平面BiCD,又81cu平面BiCD,

所以IBC.

(2)解:由題可得:SAA1BC=-|sAyllMC,

所以41cM=gc-AiBiB，又點C到平面力iB]B的距禺為十\

三角形力//的面積為ax2X溜=",

所以了C-AiBiB=bXy/2XA/3=孚，

所以UBL&CM=|X*=￥，

故三棱錐B1-4CM的體積為竽.

17.1?：(1)在△ABC中，a=3,c=4,C=2A,

由正弦定理島=叁/得福=UE=焉=2s仇解得CM=1

o7

(2)在△ABC中，由余弦定理得標=按+c2-2bccos4即9=廿+16-2力x4X解得力=3或b=§,

???△ABC非等腰，.?.b=%,△ABC的周長為3+4+(=半

⑶中，???cosA=-|,?,.sinA=立，???sin2A=2sinAcosA=cos2A=2cos2A—l=

3399

???cos(24+?)=cos2Aco^—sin2AsiTV^=—^x史_1^x④=一邪+

16，66929218

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18.解：(1)證明:連接MN,CiA

由M,N分別是BC,B力的中點，根據(jù)中位線性質(zhì)，MN//AC,且MN=缶=L

由棱臺性質(zhì)，ArCJ/AC,于是MN〃Aig,

由MN=&Ci=l,可知四邊形MM41cl是平行四邊形，貝U&N〃MCi，

又AiNC平面MCiU平面QM4于是&N〃平面CiMA.

(2)過M作ME1AC,垂足為E,過E作EF1ACr,垂足為凡連接MF,CrE.

由MEu面ABC,AiA1面ABC,故/〔IME,

又ME1AC,ACCl44i=4,AC,441<=平面4"遇1，貝ijME1平面人砥公.

由ACiU平面ACCiAi，故ME1AG，

又EF1AClrMEn￡F=E,ME,EFu平面MEF,于是4的1平面MEF,

由MFu平面MEF,故/Ci_LMF.于是平面C\M4與平面4CCM1所成角即NMFE.

又ME=竽=1,COSNC4CI==,貝！JsinNCaCi='，

故EF=1XsinzTZCi=奈，在RtZXMEF中，/.MEF=90°,則MF=J1+|=

于是COSNMFE=黑"，

MF3

所以平面CiM力與平面accMi所成夾角的余弦值為|；

(3)方法一：(幾何法)

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過Ci作CiP1AC,垂足為P,作CiQ1AM,垂足為Q,連接PQ,PM,過P作PRICiQ,垂足為R.

由題干數(shù)據(jù)可得，CrA=GC=75,CiM="止2+PM?=徒,

根據(jù)勾股定理，CiQ=[_（￥）2=孚

由CiP_L平面4MC,AMu平面力MC,則C】P1AM,

又CiQ1AM,C1QCIC1P=C1；CiQ,CrPu平面CiPQ,于是AM_L平面t\PQ.

又PRu平面CiPQ,貝l|PR1AM,

又PRIC1Q,CiQHAM=Q,CrQ,AMu平面CiM4故PRJ.平面CiMA.

在Rt中，PR=券詈=妻=|,

2

又CA=2PA,故點C到平面C1M4的距離是P到平面C1AL4的距離的兩倍，

即點C到平面CiM4的距離是小

設(shè)點C到平面C1M4的距離為h.

^Ct-AMC=XC^PXS^AMC=(X2XgX(避)2=p

uC-C^MA=[XhX4MC1=(X九X2Xy/2X=與.

由k-4MC=UC-CIM4Q?=|，即八=號，

所以點C到平面C1M2的距離是*

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19.解：（1）因為橢圓C的離心率為:且經(jīng)過點（避，君,

—+—=1

a24b2

c_1

所以

a~2oo

a2=b2+C2

解得a=2,b=避，

則橢圓c的方程為1+4=1；

43

(2)設(shè)4(*1,%),B(%2,y2)，

因為尸(一1,0),

若麗.麗=0,

此時01+1,71)-(%2+1)2)=0,

即汽1%2++%2+7172+1=0.

設(shè)直線/的方程為y=k(x+4),

2

可得(%2+4)=fc%i%2+4憶2(%1+%2)+16k2,

2

整理得(1+/C)X1%2+(軌2+1)(%1+X2)+16k2+1=0,

,222

聯(lián)立｛4/+^/2~=^12消去y并整理得(3+4fc)x+32fcx+64k2-12=0,

止匕時4=(32fc2)2-4(3+4fc2)(64fc2-12)>0,

解得

q

由韋達定理得久1+犯=瑞，比62=辯至，

因為(1+fc2)%i%2+(4憶2+1)(%1+%2)+16k2+1=0,

所以(64k2—12)(1+fc2)-32fc2(4fc2+1)+(16/c2+1)(3+4fc2)=0,

解得k=±乎，

此時滿足

故直線I的斜率為土中.

4

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20.解：(1)如果a=l,那么函數(shù)/(%)=%伍無一|久-//(尤)的定義域為(0,+8).

(i)/(1)=—|4=一2,r(x)=lnx+1-1+^那么:(1)=1-|+|=0-

所以切線為y—(―2)=0-Q—1),所以y=—2.

Q1

(ii)設(shè)［0)=g(久)=Inx+1-5+詬，

那么可得g'Q)=黑=牛=(7『)，

所以當X￡(1,+8)時，導(dǎo)函數(shù)"(久)>0,函數(shù)g(x)單