2024-2025學(xué)年天津市某中學(xué)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試卷（附答案解析）

高三年級(jí)統(tǒng)練二（數(shù)學(xué)）

一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

L已知集合“斗初/一3叫，”{1,2},貝囚人（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0,1,2}C.{-2,-1,1,2}D.{-1,0,1,2}

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意列舉法表示集合A,再根據(jù)并集的運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：由題，^={xeZ|x2-3<0}={-l,0,l},5={1,2},

則NU3={-1,0,1,2}.

故選：D.

2.已知a,6eR,則“）>/”是“標(biāo)>的（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的單調(diào)性可得。>6,然后結(jié)合必要條件、充分條件的判定方法即可得出結(jié)論.

1

【詳解】根據(jù)事函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)6在R上單調(diào)遞增

所以當(dāng)U>湛時(shí)，a>b,a,beR,

當(dāng)6<a<0時(shí)，JZ、、歷無意義，

則0”是“G>歸”的不充分條件；

當(dāng)夜>6時(shí)，a>b>0,

則是“&〉〃”的必要條件；

所以*>/'是“瓜〉折’的必要不充分條件.

故選：B

3.設(shè)。=2°,、6=[g],c=log020.3,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】

【分析】可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出a,的范圍，然后即可得出應(yīng)仇。的大小關(guān)系.

-.-(1)-=20.3>20.2>20=1,log020.3<log0.20.2.1,

c<a<b.

故選：D

4.曲線是造型中的精靈，以曲線為元素的LOG。給人簡約而不簡單的審美感受，某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了

如圖所示的雙J型曲線ZOGO,以下4個(gè)函數(shù)中最能擬合該曲線的是()

<xJ<xJ

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)了=/ln|x|偶函數(shù)，排除B項(xiàng)；由g［：］<T，排除C項(xiàng)，由當(dāng)xe(0,l)時(shí)，函數(shù)

j=^x-1^ln|x|>0,可排除D,由函數(shù)。(x)=xln|x|為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單

調(diào)性，結(jié)合。(1)=0,得到A符合題意，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/(力=/1!1印，其定義域?yàn)?一叫0)。(0,+8),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

可得/(—X)=(—x)2InI-X|=x2InIX|=/(x),

所以函數(shù)y=x21n|x|為偶函數(shù)，所以排除B；

由函數(shù)g(x)=(x+jln|x|,可得g(,J=—(e+：J<T，故排除c；

由函數(shù)力(x)=［x—』］ln|x|,當(dāng)xe(O,l)時(shí)，可得x—l<0且In|x|<0,則〃(x)>0,

VxJx

故排除D.

由函數(shù)G(X)=XM|X|的定義域?yàn)?-°o,0)U(0,+℃),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且°(-x)=-xln卜#=_xlnM=_0(x),所以。(x)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

由x>0時(shí)，0(x)=xlnx,可得0'(x)=lnx+l,

當(dāng)xe(O-)時(shí)，o'(x)<0,9(x)單調(diào)遞減；

e

當(dāng)xe(』,+s)時(shí)，0'(力>0,°(x)單調(diào)遞增，且°(1)=0,所以A項(xiàng)符合題意.

e

故選：A.

5.已知過點(diǎn)尸(2,2)的直線/與圓。：(1—1)2+歹2=5相切，且與直線/］：QX+y+l=O垂直，貝！

()

11

A.2B.—C.--D.—2

22

【答案】D

【解析】

【分析】點(diǎn)尸(2,2)在已知圓上，由此可求出CP的斜率，由已知得與=自?，由此即可得解.

2-0

【詳解】點(diǎn)P(2,2)在圓(x—1)2+/=5匕貝1］七>=——=2,

2—1

設(shè)切線斜率為左，

所以_〃=勺=_』=kCP=2,則Q=—2.

1k

故選：D.

6.已知函數(shù)/⑺滿足/⑴-/(7-x)=0,且在區(qū)間正［上單調(diào)遞減，則/(X)的解析式可能是

A./(x)=sinxB./(x)=sin2xC./(x)=cosxD./(x)=cos2x

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)/(X)=/(7-X)可得直線X=］是/⑴圖象的對(duì)稱軸，再根據(jù)f(x)在區(qū)間C上單調(diào)

遞減對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行排除即可.

【詳解】由題意/⑴=/(l-%),所以直線x=1是/(X)圖象的對(duì)稱軸，可以排除選項(xiàng)B,C.又因?yàn)?(X)在

(7171)

區(qū)間4,5■上單調(diào)遞減，排除A.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)判定,屬于基礎(chǔ)題.

7.已知a〉l,b>l,a=b\則Iga+310gz,10的最小值為()

A.4B.6C.8D.10

【答案】B

【解析】

【分析】由換底公式和基本不等式即可求解.

【詳解】由6〉1知log/0〉0,

結(jié)合4=人3,以及換底公式可知,

lga+310gbi0

=lga+31og610

Jog"?

+31ogblO

logJO

3

+310gz,10

1嗝10

3

>2-31og,,10=6,

logJO

3

當(dāng)且僅當(dāng)，-——=3^,10,

logJO

即logP0=l時(shí)等號(hào)成立,

即6=10時(shí)等號(hào)成立,

故Iga+310gz,10的最小值為6,

故選：B.

8.已知向量N=（2,3）,B=m-,且k+2耳//不，則向量不在向量。上的投影向量坐標(biāo)是（）.

\2）

【答案】c

【解析】

【分析】通過向量線性運(yùn)算、向量平行求得參數(shù)機(jī)，根據(jù)投影向量求法求解即可.

’3、

【詳解】因?yàn)橄蛄縈=（2,3）,b=m,-,

\2/

所以2+2B=（2+2%6）,

因?yàn)椋?+23）///,貝i]2x6=3（2+2加），解得機(jī)=1,

所以B=（l,ij,

_____2+9

所以向量5在向量;;上的投影向量為與￡.二-,2.（2,3）

aaA/22+32@+3

故選：C.

22

9.已知橢圓與+與=1伍〉0,6〉0）在左、右焦點(diǎn)分別為《，/馬，點(diǎn)尸在橢圓上，。是坐標(biāo)原點(diǎn),

ab

“卜四尸片，4尸6=120。，則橢圓的離心率是（）

V10-V2V5-1

A.-----------D.-------

22

CA/5-V2DA/6-A/2

22

【答案】A

【解析】

【分析】由題意可知盧周=行。，根據(jù)橢圓的定義可知盧閶=2"岳，在△片尸鳥中，由余弦定理可

得。2+/絲—2/=0,進(jìn)而可得e2+6e—2=0,由此即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)橢圓*+5=1伍〉0,6〉0）的離心率為e；

因?yàn)槎牟?|尸￡,所以2°=行|尸引，即歸用=岳，

因?yàn)閨期|+|尸耳|=2a,所以盧閭=2"岳，

所以在△大尸耳中，由余弦定理可得4c2=（、歷c）+（2tz-V2cj-2xJ5cx（2a-J5c）x

SPc2+42ac-2a~=0>所以/+后6-2=0，

故選：A.

二、填空題（將正確答案填在橫線上）

10.已知i是虛數(shù)單位，Z（5—3i）=1—4i,貝忖=

【答案】—

2

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)z,在求出模長即可.

1—4i_（1—4i）（5+3i）17—17i11.

---------1

5-3i（5-3i）（5+3i）3422

則忖=

故答案:

11.在（x—J）的展開式中，的系數(shù)為.

45

【答案】—##22.5

2

【解析】

【分析】借助二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得.

x-1

45

故答案為：—

2

12.過點(diǎn)〃（3,2）作一條直線/截圓/+/一2》+4〉—4=0所得弦長為2石，則直線/的方程是

【答案】x=3或3x—4>-1=0

【解析】

【分析】待定系數(shù)法設(shè)直線，由弦長公式求解

【詳解］》2+>2一2》+4〉一4=0可化為（》—1）2+（7+2）2=9

故圓心（1,-2）到直線距離d=V9^5=2

若直線/斜率不存在，方程為x=3,則d=2,滿足題意

若直線/斜率存在，設(shè)其方程為y—2=?x—3）,依-y+2-3左=0

2左+4|3

d二=2'解得左二'止匕時(shí)直線方程為3x—4y—1=0

VF+i

故答案為：x=3或3x—4y—1=0

13.有兩臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第一臺(tái)車床加工的優(yōu)秀率為15%,第二臺(tái)車床加工的優(yōu)秀率為

10%.假定兩臺(tái)車床加工的優(yōu)秀率互不影響，則兩臺(tái)車床加工零件，同時(shí)出現(xiàn)優(yōu)秀品的概率為；若

把加工出來的零件混放在一起，已知第一臺(tái)車床加工的零件數(shù)占總數(shù)的60%,第二臺(tái)車床加工的零件數(shù)占

總數(shù)的40%,現(xiàn)任取一個(gè)零件，則它是優(yōu)秀品的概率為.

【答案】①.1.5%13%

【解析】

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式即可求解第一空，根據(jù)全概率公式即可求解第二空.

【詳解】由于第一臺(tái)車床加工的優(yōu)秀率為15%,第二臺(tái)車床加工的優(yōu)秀率為10%,所以兩臺(tái)車床加工零件,

同時(shí)出現(xiàn)優(yōu)秀品的概率為15%xl0%=1.5%

記8“加工的零件為優(yōu)秀品"，A="零件為第1臺(tái)車床加工“，A=”零件為第2臺(tái)車床加工“，

0(2)=60%,尸(7)=40%,尸(8|/)=15%,尸(3]N)=10%,

由全概率公式可得P(8)=P(B|/)+P(N)P(例彳)=60%x15%+40%x10%=13%,

故答案為：1.5%,13%

14.在2022年2月4日舉行的北京冬奧會(huì)開幕式上，貫穿全場(chǎng)的雪花元素為觀眾帶來了一場(chǎng)視覺盛宴，象

征各國、各地區(qū)代表團(tuán)的“小雪花”匯聚成一朵代表全人類”一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了

全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊形48coM（如圖②）.已知正六邊形的邊長

為1,點(diǎn)M滿足而=g（與+#）,則|而|=；若點(diǎn)P是線段8c上的動(dòng)點(diǎn)（包括

端點(diǎn)），則NA.方A的最小值是.

【解析】

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.

【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則幺（一5（；，—/）,￡（一；，"），/（T，°）'

2222

7\

——?1—?—?1J3

j(；)2+亭2=(

__.—.(1百、

設(shè)59=43C,(0V4VI),則3尸=23。=-/l--/I

(252J

.?汨=礪+而=礪+/麗=七+4,一與沿，

2222

...旅=而一次=(1+：,孚,麗=而—礪=(；字—圓

~r^yrg(\丸A/3/1,/Xy/3Arr1(Q1)1

/.AP-DP=(l^----—V3)=2Q2-A=\2----

9^^\j?

當(dāng)4=!■時(shí)，Q.麗的最小值為一；

故答案為：］；-—.

24

IxlX<TYl

15.已知函數(shù)/(x)={,115，其中山〉0.若/(x)在區(qū)間(0，+8)上單調(diào)遞增，則機(jī)的取

x-2mx+4m,x>m

值范圍是；若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的方程/(x)=6有三個(gè)不同的根，則機(jī)的取值范圍是

【答案】①.(03]②.⑸+⑹

【解析】

【分析】由題意畫出函數(shù)/(x)的圖象，結(jié)合圖象可得關(guān)于加的不等式，求解得答案.

IxlxWm

【詳解】機(jī)〉0時(shí)，函數(shù)/(x)=一的圖象如下圖所示：

[X-2mx+4m,x>m

要使/(X)在區(qū)間(o，+8)上單調(diào)遞增，貝什?47。加2,解得04加43,又m>0,所以機(jī)的取值范圍

是（o,3］；

要使關(guān)于X的方程/（x）=b有三個(gè)不同的根，貝14加-加2<機(jī)，即機(jī)2>3.>.,所以機(jī)的取值范圍是

（3,+Q0）,

故答案為：（0,3］；（3,+8）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于分段函數(shù)的單調(diào)性，方程的根的個(gè)數(shù)等相關(guān)問題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是常采用的方

法.

三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟

16.在V/8C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為明b,c,6=2，？，C=2,

（1）求。的值；

（2）求sinA的值；

（3）求sin（8-2Z）的值.

【答案】（1）a=6

（八.“3721

⑵sin4=----

14

（3）—巫

14

【解析】

【分析】（1）由余弦定理計(jì)算可得；

（2）由正弦定理計(jì)算可得；

（3）由余弦定理求出cosN,即可求出cos2N、sin2^,再由兩角差的正弦公式計(jì)算可得.

【小問1詳解】

由余弦定理知，b2=a2+c2-2accosB.

所以28=/+4—2ax2義萬，即a?—2a—24=0，

解得a=6或—4（舍負(fù)），所以a=6.

【小問2詳解】

由正弦定理知，」一=一"，

smAsmB

6_277

所以sin幺G，

V

所以仙“:誓.

【小問3詳解】

28+4-36_V7

由余弦定理知，cos4=3^——

2bc2x2將x2-14'

13%n

所以cos2N=2cos2A-l=---,sin2N=2sinZcosZ=—-—

1414

所以sin(5-2A)=sinBcos2A-cosBsin2A

G『13、1/305G

=------X-------------------X-------------=----------------

2114J21414

17.已知函數(shù)/(x)=2A/3sinxcosx+2sin2x-1.

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間；

JT

(2)在ZL4BC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若/(4)=2,C=/C=2,求2L4BC的面積.

【答案】(1)kyi---,k7i+—,kGZ；(2)3+G.

163」2

【解析】

7T

【分析】(1)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得/'(x)=2sin(2x--),利用正弦函數(shù)的

單調(diào)性即可求解其單調(diào)遞增區(qū)間.

JTJT71\\71

(2)由題意可得sin(2A--)=1,結(jié)合范圍2力-一G(——,——)，可求4的值，由正弦定理可得

6666

〃，由余弦定理6,進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【詳解】(1)Vf(x)=2y/3sinxcosx+2sin2x—1=A/3sin2x-cos2x=2sin(2x-----),

6

TCJC冗TC7T

令---?2x------—，kGZ,解得左兀---------WxSkjiT—，kRZ,

26263

7T7T

?,?函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[左兀---，ATIH—],k^Zj.

63

71

(2)V/(A)=2sin(2^--)=2,

/兀、

sin(2A-----)=1,

6

/、n/〃、

￡(0,7i)2A-----￡(------，------)，

f666

7TTTTT

:,2A--=-,解得/=△,

623

TC

VC=—,c=2,

4

,A2x—

由正弦定理上=工，可得=M

sinAsinCsinC，2

V

，由余弦定理。2=62+02-26CCOSH可得6=尻+4-2X/JX2X—,解得6=1+J§\(負(fù)值舍去),

2

S^ABC=absinC=—x^6x(14-^/3)又曲~=3+刎.

2222

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦定理，余弦定理，三角形的

面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

18.如圖，P—48。是一個(gè)四棱錐，已知四邊形4BCD是梯形，尸。，平面45CD,ADLCD,

ABI/CD,PD=AD=AB=1,CD=2,點(diǎn)￡是棱尸C的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在棱P8上，PF=+B.

2

(1)證明：直線〃平面040；

(2)求直線BE與平面PAD所成角的正弦值；

(3)求平面DEb與平面Z5CQ的夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑶巫

7

【解析】

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得直線〃平面尸ZQ.

(2)利用向量法求得直線BE與平面PAD所成角的正弦值.

（3）利用向量法求得平面DM與平面ABCD的夾角的余弦值.

【小問1詳解】

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方N,反，赤的方向?yàn)镸N/軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則須1,1,0),C(0,2,0),口0,0,1),￡卜1,；

nx=（0,1,0）為平面尸4D的一個(gè)法向量,

3<1、____

因?yàn)?￡=[-1,0,5｝所以8E-"j=0,所以8EJ.4,

因?yàn)槠矫媸?D,所以〃平面尸4D.

【小問2詳解】

設(shè)〃2=（x，N，z）為平面P5D的一個(gè)法向量，

&-DB=x+y=0—/、

則，故可設(shè)〃2=（-1」,0），

,DP=z—0

所以cos僅瓦可=BE-n21

BE

所以直線BE與平面PAD成角的正弦值為巫.

5

【小問3詳解】

/、n&?DE-0

設(shè)《二（x/,z）為平面Q￡F的一個(gè)法向量，貝匹—一八,

n3-DF-0

因?yàn)槭?/p>

y+—z=0

122，取歹=1，則后=(3,1，-2).

所以《1

—X+—V+—Z=0

〔333

=（0,0,1）為平面ABCD的一個(gè)法向量,

V14

~T,

所以平面DEF與平面ABCD夾角的余弦值為巫.

7

22

19.在平面直角坐標(biāo)系xQv中，已知橢圓C：二+鼻=1伍〉6〉0)長軸是短軸的百倍,,I)在橢

ab~

圓。上.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線/與圓O：/+/=2相切，切點(diǎn)在第一象限，與橢圓C相交于P,。兩點(diǎn).

①求證：以P。為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)。；

②若△0P。的面積為罕，求直線/的方程.

【答案】(1)：+[=1；①證明見解析，②了二―也工+#或＞=—字x+1.

【解析】

【分析】

(1)由題意，列出方程組，求得力力2的值，進(jìn)而得到方程;

(2)①直線尸。的方程為＞=依+加，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理，計(jì)算出0P。0=0,可得

ZPOQ^90°,即以為直徑的圓過原點(diǎn)。；

②根據(jù)弦長公式，三角形的面積公式，列出方程，求得左的值，即可求得直線分方程.

【詳解】(1)由題意橢圓C長軸是短軸的近倍，點(diǎn)(2,1)在橢圓C上，

a=42b

解得〃=3,所以橢圓。的方程為1

可得<a=b2+c2

411

—7+—r=I

b

（2）①因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限，直線的斜率存在,

不妨設(shè)直線P0的方程為了=6+比，即日一了+機(jī)=0,且左<0,m>0,

ImI/-

因?yàn)橹本€與圓相切，所以/,=<2,即加2=2-2+2,

J1+公

kx-v+m=0

聯(lián)立〈2.2>得（1+2左2）x?+4如7x+2〃』-6=0,

x+2y=6

設(shè)玖再，乂），Q（X2,y2）,則有％+超=一;——V-xx,=-----7

]+2左-1+2左2

2

所以ME=+W）（AX2+ni）=IcXyX^+km?+x,）+m

2左2根2—6左24k2m22m2-6k2

----------------------\-m-........

1+2左21+2左21+2左2

2m2—6m2—6k23（小—2）—6左2

所以O(shè)POQ=xxx2+yxy2---------；----二V

1+2左21+2左21+2左2

所以O(shè)PLOQ,即NPOQ=90。，即以尸。為直徑的圓過原點(diǎn)。.

②由①可得…一凜’子沒’—

2血J1+左2,4公+1

所以\PQ\=J1+左2?J（X]+%）2—4苞々

1+2-2

點(diǎn)。到直線尸0的距離為近，

可得…冷巫吧解得心2,或公4

0109

當(dāng)〃=2時(shí)’/=8,當(dāng)公汽時(shí)，"="

BV3

所以左二—m=-J~69或左=----m=——

42

則直線方程為y=—岳+指或y=—字x+[.

【點(diǎn)睛】對(duì)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線的方程，應(yīng)用一

元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較

好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力.

20.已知函數(shù)/(x)=ae*—lnx-1.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線/(x)在點(diǎn)(1,/。))處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)=/(")上八葉1,若g(x)21恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

X

(3)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

「11O

【答案】(1)J=(e-l)x；(2)—,+s；(3)0,-.

Le)Iej

【解析】

【分析】(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=ex-tax-