2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.（4分）若線段a,b,c,1成比例，其中a=3c機(jī)，b=6cm,c=2cm,則d的值為（）

A.1cmB.1cmC.3cmD.4cm

2.（4分）下列命題一定正確的是（）

A.兩個(gè)等腰三角形一定相似

B.兩個(gè)等邊三角形一定相似

C.兩個(gè)直角三角形一定相似

D.兩個(gè)含有30°角的三角形一定相似

3.（4分）在△48C中，ZC=90°,coS=3,NC=6,則N2的長(zhǎng)度為（）

5

A.8B.10C.12D.14

4.（4分）下列命題中，正確的命題有（）

①若偏=R則之=限@|AH=IBAI；③若；"Vb//c-則④若之〃E，則鼠芯的方向

相同或相反.

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

5.（4分）如圖，D、￡分別是△N8C的邊/3、8c上的點(diǎn)，S.DE//AC,AE、CD相交于點(diǎn)O,若

A.1：3B.1：4C.1：5D.1：25

6.（4分）如圖，在直角梯形N5CD中，AB±BC.EP是梯形的中位線，AB//DH.AD=\.BC=3,CD=

4.有下列4個(gè)結(jié)論：①/BCD=60°,@）EH=2,③四邊形E77CF是菱形，@/\EHB^/\CEB.其

第1頁(yè)（共18頁(yè)）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.（4分）如果x：y=5：3,那么三匕=.

y

8.（4分）在比例尺是1：500000的圖紙上，量得兩點(diǎn)之間的距離是12厘米，這兩點(diǎn)的實(shí)際距離是

千米.

9.（4分）設(shè)點(diǎn)尸是線段48的黃金分割點(diǎn)（APVBP）,/3=2厘米，那么線段AP的長(zhǎng)是

厘米.

10.（4分）計(jì)算：蔣（2a+b）=-----------------------------------

11.（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P（5,12）,那么。尸與x軸正半軸的夾角a的正弦

值.

1

x

12.（4分）如圖，直線/D〃2E〃CRBC2AB，DE=6,那么斯的值是_______.

3

若

C]Y

13.（4分）已知點(diǎn)G是等腰直角三角形N2C的重心，AC=BC=6,那么NG的長(zhǎng)為_(kāi)_________________.

14.（4分）等腰三角形中，如果腰與底邊之比為5：8,那么底角的余弦值為.

15.（4分）如圖，在△NBC中，邊2C=60,高40=40,四邊形EFG8是內(nèi)接矩形，HG交AD于P,設(shè)

HE=x,則矩形EFGH的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式.

16.（4分）在△N8C中，AB=5,8C=8,乙8=60°,貝（ISMBC=（結(jié)果保留根號(hào)）

17.（4分）邊長(zhǎng)分別為10,6,4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰

影部分的面積為.

第2頁(yè)（共18頁(yè)）

10

18.（4分）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的

三角形稱為格點(diǎn)三角形.如圖，已知△/SC是4義6的網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)三角形，則該圖中所有與△A8C

相似的格點(diǎn)三角形中，最大的三角形面積是.

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

19.（10分）計(jì)算:2sin245°+2sin60°-tan30°,tan45°.

20.（10分）如圖，已知銳角△/BC的邊8c長(zhǎng)40厘米，高/“為30厘米，矩形DEFG的一邊￡/在邊

3c上，頂點(diǎn)。、G分別在/5、NC上.如果矩形DEFG的長(zhǎng)是寬的2倍，求即的長(zhǎng).

21.（10分）已知：如圖，是△/BC的角平分線，過(guò)點(diǎn)8、C分別作的垂線，垂足分別為尸、，E,

CF和班相交于點(diǎn)尸，連接AP.

（1）求證：

（2）求證：EC//AP.

22.（10分）2024西安城墻新春燈會(huì)聚焦了文化、科技、數(shù)字、環(huán)保、演藝五大熱門元素.部分燈組將文

物與燈會(huì)相融合，如氣勢(shì)磅礴的《祥龍賀春》燈組便在“中華第一龍”紅山玉龍與浮雕龍紋宮燈石柱的

第3頁(yè)（共18頁(yè)）

基礎(chǔ)上進(jìn)行制作展示(如圖①).張敏和趙雷兩人去城墻燈會(huì)游覽，看到龍燈十分壯觀，他們合作完成

寒假作業(yè)的實(shí)踐活動(dòng)報(bào)告.

活動(dòng)報(bào)告

課題測(cè)量龍燈最高點(diǎn)到地面的高度

目的運(yùn)用相似三角形與三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題

工具標(biāo)桿、皮尺、測(cè)角儀、激光筆等

測(cè)量方案及1如圖②，張敏在D處用測(cè)角儀測(cè)得龍燈最高

:

示意圖點(diǎn)N的仰角/NO8為31°,趙雷在。處豎立

高3米的標(biāo)桿CD,利用激光筆測(cè)得地面上的

B

DE點(diǎn)E、點(diǎn)N和點(diǎn)C在一條直線上，DE=6米.

圖②

說(shuō)明AB1BE,CDLBE,點(diǎn)、B、D、￡在一條水平線上，圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，sin31°弋

0.52,cos31°=0.86tan31°"0.60,測(cè)角儀、激光筆與地面的距離忽略不計(jì).

安全測(cè)量過(guò)程中注意自己及他人的安全.

請(qǐng)你根據(jù)活動(dòng)報(bào)告求出龍燈最高點(diǎn)到地面的高度N8.

圖①

23.(12分)已知，在菱形4BCD中，CFLAB,垂足為E,CE與3。相交于點(diǎn)尸.

(1)求證：延=受；

BEEF

(2)求證：DF-DB=2BC2.

24.(12分)如圖，在直角坐標(biāo)系中，A(-1,0),B(2,3),點(diǎn)8繞著點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到〃.

第4頁(yè)(共18頁(yè))

(1)求直線的表達(dá)式；

(2)求直線的表達(dá)式；

(3)若平面內(nèi)有一點(diǎn)C,使△/BC是以48為腰的等腰三角形且與△NAS'相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

備用圖

25.(14分)折紙是我國(guó)傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，通過(guò)折紙不僅可以得到許多美麗的圖形，折紙的過(guò)程還蘊(yùn)含著

豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開(kāi)展了數(shù)學(xué)活動(dòng).

(1)操作判斷：

在40上選一點(diǎn)尸，沿AP折疊，使點(diǎn)/落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)M處，把紙片展平，過(guò)M作即〃2c交

45、CD、BP于點(diǎn)、E、F、N,連接PM并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)。，連接3。，如圖①，當(dāng)E為N8中點(diǎn)時(shí),

4PMN是三角形.

(2)遷移探究：

如圖②，若BE=5,且MaMFulO,求正方形N5CD的邊長(zhǎng).

(3)拓展應(yīng)用：

如圖③，若軀』直接寫出CQ的值為.

BCnBC

第5頁(yè)(共18頁(yè))

2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.【解答】解：?..四條線段。、b、c、d成比例，

?.a：d,

."=6X2+3=4（cm）.

故選：D.

2.【解答】解：A,等腰三角形的角度不一定相等，各邊也不一定對(duì)應(yīng)成比例，故/不正確；

8、兩個(gè)等邊三角形的各角度都為60°,所以兩個(gè)三角形相似，故8正確；

C、兩個(gè)直角三角形只有一個(gè)直角可以確定相等，其他兩個(gè)角度未知，故C不正確；

C、兩個(gè)含30°角的三角形只有一對(duì)30°角可以確定相等，其他兩個(gè)角度未知故。不正確;

故選：B.

3.【解答］解：在△N8C中，ZC=90°

C0S/=A^=3,

AB5

.,.AB——X.6—10.

3

故選：B.

4?【解答】解：①若有=|芯，則W，E不一定相等，故①不符合題意；

@|AB|=|BA|.正確，故②符合題意；

③若Z//E，力飛則Z，3不一定平行，③不符合題意；

④若之〃總則彳、4的方向相同或相反，正確，故④符合題意.

因此正確的命題有②④.

故選：C.

5.【解答］解：'：DE//AC,

：.LDEOsACAO,

...也些=（DE）2=工

,△AOCAC25

:.DE：AC=BE：5C=1：5,

第6頁(yè)（共18頁(yè)）

：.BE：EC=1：4,

:?SABED：&DEC=1：4,

6.【解答】角軋?jiān)赗tZXOC“中，CD=4,CH=CB-BH=2,

：.ZDCH=60°,即N5CD=60°,

在四邊形EMC下中，又CH=EF=2,CH//EF,CF=1-CD=2,

2

...四邊形EMC尸是菱形，

:/BCD=60：四邊形成兀戶是菱形，

/.ZHEF=60°,

；./HEC=3Q°,

:./BEH=30°,

ABHEsABEC.

故正確答案為①②③④，

故選：D.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.【解答】解：了=5：3,

/.x--f.=--1=5-1=2；

yy33

故答案為：1.

3

8.【解答】解：124---1—=6000000（厘米），

500000

6000000厘米=60千米；

答：這兩點(diǎn)的實(shí)際距離是60千米，

故答案為：60.

9.【解答】解：：點(diǎn)尸是線段N5的黃金分割點(diǎn)，AP<BP,

...族=遍-145=（75-1）厘米.

2

故答案為：（&-1）.

第7頁(yè)（共18頁(yè)）

10.【解答】解：（；4-b）-j（2a+b）

222

3)b

a-a-

22

-b.

故答案為：-b.

11.【解答］解：過(guò)點(diǎn)尸作尸軸于點(diǎn)4,

?:P(5,12),

.*.0/4=5,尸4=12,

：.OP=13,

：.OP與x軸正半軸所夾的角的正弦值為：sinN尸。4=F2=」2.

OP13

故答案為：絲.

13

12.【解答】解：〈AD〃BE〃CF,BC咯AB，

3

?.?—DE——AB_3—f

EFBC2

即互衛(wèi)

EF2

解得：EF=4

故答案為：4.

13.【解答】解：：G是等腰直角△N8C的重心，AC=BC=6,

第8頁(yè)（共18頁(yè)）

；.CD=LC=3,

2

由勾股定理得：40=五以/=3遙，

：.AG=^-X375=275，

3

故答案為：

14.【解答】解：過(guò)/作NOL8C,垂足為D,如圖,

:腰與底邊之比為5：8,

.?.設(shè)N8=/C=5a,BC=8a,

,：/\ABC是等腰三角形，

：.BD=^BC=4a,

2

/.cos5=^P-=A.

AB5

故答案為：A.

5

15.【解答】解：：四邊形是內(nèi)接矩形，AD1BC,

C.HG//BC,四邊形EDP8為矩形，

：.AD±HG,DP=HE=x,

：4D=40,

：.AP=4Q-x,

'：HG//BC,

：./\AHG^^ABC,

第9頁(yè)（共18頁(yè)）

?HGAP即HG40-x

BCAD6040

整理得：HG=12°；3X,

S=HG-HE=x（I".迎）=-yx2+60x,

即S=~yx2+60x-

故答案為：S=-^-X2+60X-

16.【解答】解：*3=5,Z5=6O°,

.,.△/BC中，BC邊上的高=$出60°*48=返_乂5=殳應(yīng)

22

V5C=8,

...S^sc=—X8X5^3_=1073；

22

故答案為：10底.

17.【解答］解：如圖，

'.,BF//DE,

：./\ABF^/\ADE,

?AB^BF,

"ADDE'

"：AB=4,/D=4+6+10=20,DE=IQ,

?-?4,_BF,

2010

：.BF=2,

：.GF=6-2=4,

'JCK//DE,

：.AACKsAADE,

.AC-CK

ADDE

??ZC=4+6=10,4Q=20,DE=lOf

??坨=盥

"20l0,

：.CK=5,

:?HK=6-5=1,

，陰影梯形的面積=▲（HK+GFXGH

2

第10頁(yè)（共18頁(yè)）

=Xx(1+4)X6

2

=15.

故答案為：15.

18?【解答】解：圖中所有與△NBC相似的格點(diǎn)三角形中，最大的B'C如圖所示:

故答案為4.5.

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

2V3V3

19.【解答】解：原式=2X+2XV；-售x1

20.【解答】解：如圖，設(shè)/〃交。G于點(diǎn)K,設(shè)M=x厘米，O￡=y厘米.

,:DG〃BC,

：.AADG^AABCf

第11頁(yè)（共18頁(yè)）

：.AH±DG,

?DG=AK；

"BCAH"

?-?--x-_3-0----y-,

4030

3

?x.°4X

??,

4030

解得x=24.

當(dāng)y=2x時(shí)，同法可得工=30-2x,

4030

解得x=@.

11

綜上所述，所的長(zhǎng)為24厘米或儂厘米.

11

21.【解答】證明：（1）平分NA4C,

ZBAF=ZCAE,

又；BFLAD,CELAD,

：.ZBFA=ZAEC=90°,

:.AABpsAACE.

（2）由（1）有ELSL

AEEC

,：BF1AD,CELAD,

,.BF//EC,

，PFBF

?-------二-------!

PCEC

，?-A-F---P-F-，

AEPC

,.AP//EC.

22?【解答】解：在RC48O中，tanZADB^--

BD

???BD=ABAB

tan31076

VZABE=ZCDE=90°,ZAEB=ZCED,

:.AABEsACDE,

???A~BB,E

CDDE

第12頁(yè)（共18頁(yè)）

即杷_BD+6,

V=6

.AB

?-2研二匹+&

0.6

：.AB=1S.

龍燈最高點(diǎn)到地面的高度48為18米.

23.【解答】證明：(1)?..四邊形是菱形,

：.DC//AB,DC=AB,

J.DC//BE,

：.ADCFsABEF,

DC-C--F-1

BEEF

AB

一CF

BEEF-

(2)聯(lián)結(jié)/C交AD于點(diǎn)區(qū)則

AZDHC=90°,

-：CF±AB,垂足為￡,

:.NDCF=/BEC=90°,

ZDHC=ZDCF,

,：ZHDC=ZCDF,

：.AHDCs^CDF,

?DH=DC；

"DCDF'

J.DF'DH^DC1,

"：DH=BH=LDB,DC=BC,

2

:.DF，LDB=BC?,

2

C.DF-DB^IBC1.

24.【解答】解：(1)設(shè)直線為y=fcr+6,把N(-1,0),B(2,3)代入解析式得:

第13頁(yè)(共18頁(yè))

1-k+b=O,

(2k+b=3，

解得：『，

Ib=l

直線為y=x+l；

(2)如圖1,由題意得/BAB'=30°,AB'=AB=7(-1-2產(chǎn)+(0-3)2

過(guò)8作80_Lx軸于。，交48吁G,過(guò)夕作3H_Lx軸于“，在上取點(diǎn)RAF=B'F,如圖1,

圖1

，/0=8。=3,ZBAQ=45°,ZB'AH=45°-30°=15°,

：.ZHAB'=ZAB'F=150,NB'FH=30°,

設(shè)B'H=m,則AF=FB'=2m,FH=V§IT,

???AH=AF+FH=Em+2m=(2+V3)IT，

?,?tan/B，AH—“為、=2,

AH(2+V3)m

,:B(2,3),BQLAH,

XG=2,粵=2W§，

GAQ

???QG=3(2-V3)=6-3V3-

；.G(2,6-373),

設(shè)直線AB，為y=mx+n,

.J-mtn=0

l2m+n=6-3V3

解得Jm=2-愿，

,n=2-V3

直線/夕為丫=(2-V3)x+2-V3；

(3)由題意可得：ZUB9為等腰三角形，AB=AB，=3如,ZBAB'=3O°,

而△/2C是以AB為腰的等腰三角形且與△489相似，

第14頁(yè)（共18頁(yè)）

：.ZBAC=30°或NABC=30°，

如圖2,當(dāng)/及1C=3O°,AB=AC=3M，此時(shí)滿足條件;

：.ZCAO=30°+45°=75°，過(guò)C作O7_Lx軸于J,

圖2

，//0/=90°-75°=15°,

由tanl5°=2-愿，設(shè)AJ=(2-g)t，則CJ=t,

2222

-?t+(2-V3)t=(3V2)-

解得：=?3^1^+3，to=+3(不合題意，舍去),

rl222

?'-OJ=AJ-AO=(2-V3)X3*+3_]=3V|-5,

?_/3V3-53^3+3、

當(dāng)b與C重合時(shí)，顯然滿足條件，

此時(shí)同理可得:AH=CJ=32/1+3JB，H=AJ-3*-3,

?e3A/3+3,3V3+1

??0H「一-1「一

此時(shí)c(32+1,32/3-3.

當(dāng)NABCi=30°,AB=BC[=3五時(shí)，滿足條件;

過(guò)Cl作GL〃/O,交y軸于M,過(guò)8作8CC也于L如圖3,

第15頁(yè)（共18頁(yè)）

y

圖3

ZBC1A=ZC1AB=y（180°-30°）=75°,Z0^0=75°+45°=120°,/1€力=180°-120°=60°

???N5G￡=75°-60°=15°,

同理可得：C[L=CJ=^|授，BL=AJ銬3，

??.CN%L-Lh宇，。--牛=學(xué)，

?cz1-3739-麗、

?￡（2，2A

如圖，當(dāng)NABC2=30°,AB=BC2=3五時(shí)，滿足條件；

過(guò)3作3"〃、軸，過(guò)。2作C2N_LBN于N,如圖4,

同理可得：/cRN=15°,BN=CJ-3丐+3,c/=AJ=等心

k

；

AOJAHx

圖4

?c3V3-37-3V3,373+3c、3-3愿

?.xc/22=2，VC/（2G=2，

.cz7-3V33-3V3\

?。（2，2>_

綜上C的坐標(biāo)為：c（3?-5啦+3）或（&&L則衿）或（與區(qū)，9-薩）或

S22712

第16頁(yè)（共18頁(yè)）