高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)38 正態(tài)分布和條件概率（練習(xí)）（解析版）

考點(diǎn)38正態(tài)分布與條件概率【題組一條件概率】1．一個(gè)袋中裝有大小相同的5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)在不放回的取2次球，每次取出一個(gè)球，記“第1次拿出的是白球”為事件A，“第2次拿出的是白球”為事件B，則事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可理解條件概率，則可由條件概率公式得；,2．一個(gè)袋中裝有大小相同的3個(gè)白球和3個(gè)黑球，若不放回地依次取兩個(gè)球，設(shè)事件為“第一次取出白球”，事件為“第二次取出黑球”，則概率（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)事件為“第一次取出白球”，事件為“第二次取出黑球”，，第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率為：.故選：B.3．從中不放回地依次取個(gè)數(shù)，事件“第一次取到的是奇數(shù)”，事件“第二次取到的是奇數(shù)”，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，∴．選A．4．下圖展現(xiàn)給我們的是唐代著名詩人杜牧寫的《清明》，這首詩不僅意境極好，而且還準(zhǔn)確地描述出了清明時(shí)節(jié)的天氣狀況，那就是“雨紛紛”，即天氣多陰雨．某地區(qū)氣象監(jiān)測資料表明，清明節(jié)當(dāng)天下雨的概率是0.9，連續(xù)兩天下雨的概率是0.63，若該地某年清明節(jié)當(dāng)天下雨，則隨后一天也下雨的概率是（）A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.567【答案】B【解析】記事件A表示“清明節(jié)當(dāng)天下雨”，B表示“第二天下雨”，由題意可知，，所以．故選：B.5．袋中裝有完全相同的5個(gè)小球，其中有紅色小球3個(gè)，黃色小球2個(gè)，如果不放回地依次摸出2個(gè)小球，則在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出紅球的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榈谝淮蚊郊t球的概率為，則第一次摸出紅球且第二次摸出紅球的概率為，所以所求概率為，故選C．【題組二正態(tài)分布】1．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則的值為()A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】由題意得，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以圖象關(guān)于對稱，又因?yàn)?，所以，解得，故選B.2．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則的值（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2【答案】C【解析】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，得對稱軸是，，，，所以，故選C.3．某地區(qū)有10000名高三學(xué)生參加了網(wǎng)上模擬考試，其中數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，成績在(117,126]之外的人數(shù)估計(jì)有（）（附：若服從，則，）A．1814人 B．3173人 C．5228人 D．5907人【答案】A【解析】由題,,,所以,所以人,故選:A4．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（3，σ2），且P（ξ＞2）＝0.85，則P（3＜ξ＜4）＝_____．【答案】0.35【解析】∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（3，σ2），∴μ＝3，∵P（ξ＞2）＝0.85，∴P（2＜ξ＜3）＝0.85﹣0.5＝0.35，則P（3＜ξ＜4）＝P（2＜ξ＜3）＝0.35.故答案為：0.35．5．隨著5G商用進(jìn)程的不斷加快，手機(jī)廠商之間圍繞5G用戶的爭奪越來越激烈，5G手機(jī)也頻頻降低身價(jià)飛人尋常百姓家．某科技公司為了給自己新推出的5G手機(jī)定價(jià)，隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，對其在下一次更換5G手機(jī)時(shí)，能接受的價(jià)格（單位：元）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到結(jié)果如下表，已知這100個(gè)人能接受的價(jià)格都在之間，并且能接受的價(jià)格的平均值為2350元（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）．分組一二三四五手機(jī)價(jià)格X（元）頻數(shù)10xy2020（1）現(xiàn)用分層抽樣的方法從第一、二、三組中隨機(jī)抽取6人，將該樣本看成一個(gè)總體，從中隨機(jī)抽取2人，求其中恰有1人能接受的價(jià)格不低于2000元的概率；（2）若人們對5G手機(jī)能接受的價(jià)格X近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)，為樣本方差，求．附：．若，則，．【答案】（1）；（2）0.3413.【解析】（1）因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，解得，．因?yàn)榈?組的人數(shù)為10，第2組的人數(shù)為20，第3組的人數(shù)為30．所以利用分層抽樣法在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，其中第1，2，3組分別抽取1人，2人，3人．所以恰有1人能接受的價(jià)格不低于2000的概率．（2）由題意可知，，所以，故．6．2019年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費(fèi)政策”．某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費(fèi)點(diǎn)記錄了大年初三上午9:20～10:40這一時(shí)間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有600輛車通過該收費(fèi)點(diǎn)，它們通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直方圖如下圖示，其中時(shí)間段9:20～9:40記作區(qū)間，9:40～10:00記作，10:00～10:20記作，10:20～10:40記作，例如：10點(diǎn)04分，記作時(shí)刻64.（1）估計(jì)這600輛車在9:20～10:40時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機(jī)抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中，在9:20～10:00之間通過的車輛數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在每天通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻服從正態(tài)分布，其中可用這60輛車在9:20～10:40之間通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費(fèi)點(diǎn)，估計(jì)在9:46～10:22之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：若，則①；②；③．【答案】（1）10點(diǎn)04分；（2）分布列詳見解析，；（3）.【解析】（1）這600輛車在9:20～10:40時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的平均數(shù)為，即10點(diǎn)04分；（2）結(jié)合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知：抽取的10輛車中，在10:00前通過的車輛數(shù)就是位于[20,60)這一區(qū)間的車輛數(shù)，即，所以的可能值為.所以，，，所以的分布列為所以（3）由（1）得，，所以，估計(jì)在9:46～10:22這一時(shí)間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，也就是通過的車輛數(shù)，由，得，所以估計(jì)在9:46～10:22這一時(shí)間段內(nèi)通過的車輛數(shù)為（輛）.7．2019年7月1日到3日，世界新能源汽車大會在海南博鰲召開，大會著眼于全球汽車產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型升級和生態(tài)環(huán)境的持續(xù)改善．某汽車公司順應(yīng)時(shí)代潮流，最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程）的測試．現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖的頻率分布直方圖．（1）估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）根據(jù)大量的汽車測試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航量程X近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為50．用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率；（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn)，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券．已知硬幣出現(xiàn)正，反面的概率都是，方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格……第50格．遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動(dòng)一次，若擲出正面，遙控車向前移動(dòng)一格（從k到），若擲出反面，遙控車向前移動(dòng)兩格（從k到），直到遙控車移到第49格（勝利大本營）或第50格（失敗大本營）時(shí)，游戲結(jié)束．設(shè)遙控車移到第n格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并解釋此方案能否成功吸引顧客購買該款新能源汽車．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】（1）300；（2）；（3）見解析.【解析】（1）（千米）．（2）由．∴．（3）遙控車開始在第0格為必然事件，．第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車移到第一格，其概率為，即．遙控車移到第格的情況是下面兩種，而且只有兩種：①遙控車先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為．②遙控車先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為．∴．∴．∴時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．∴，，，……，．∴．．∴獲勝的概率，失敗的概率．∴．∴獲勝的概率大．∴此方案能成功吸引顧客購買該款新能源汽車．8．為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.（?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得，，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，.用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ（精確到0.01）.附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則，，.【答案】（1），（2）（?。┮娫斀?；（ⅱ）需要.,【解析】（1）抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，故.因此.的數(shù)學(xué)期望為.（2）（i）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.（ii）由，得的估計(jì)值為，的估計(jì)值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因此的估計(jì)值為.，剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，因此的估計(jì)值為.9．2019年女排世界杯（第13屆女排世界杯）是由國際排聯(lián)舉辦的賽事，比賽于2019年9月14日至9月29日在日本舉行，共有12支參賽隊(duì)伍.本次比賽啟用了新的排球用球_，已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)ξ（單位：）服從正態(tài)分布.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊(duì)進(jìn)行11場比賽，最后靠積分選出最后冠軍.積分規(guī)則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以或取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；而在比賽中以取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為中國隊(duì)和美國隊(duì)，中國隊(duì)積26分，美國隊(duì)積22分.第10輪中國隊(duì)對抗塞爾維亞隊(duì)，設(shè)每局比賽中國隊(duì)取勝的概率為.（1）如果比賽準(zhǔn)備了1000個(gè)排球，估計(jì)質(zhì)量指標(biāo)在內(nèi)的排球個(gè)數(shù)（計(jì)算結(jié)果取整數(shù)）（2）第10輪比賽中，記中國隊(duì)取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn)，并以作為p的值，解決下列問題.（i）在第10輪比賽中，中國隊(duì)所得積分為X，求X的分布列；（ii）已知第10輪美國隊(duì)積3分，判斷中國隊(duì)能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過后，無論最后一輪即第11輪結(jié)果如何，中國隊(duì)積分