專題09 幾何中的最值問題問題（解析版）

專題09幾何中的最值問題幾何壓軸題中的最值問題，是歷年各地中考中的高頻考點(diǎn)，其主要類型包括面積的最值問題、線段的最值問題、角度的最值問題，由于面積的最值問題在上一個(gè)專題中已有涉及，所以本主題主要探究的是線段的有關(guān)最值問題。解決線段的最值問題，從方法上來說主要有幾何法和函數(shù)法兩大方法：幾何法：總的思路是對(duì)線段的最值問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，多數(shù)情況下當(dāng)三點(diǎn)位于同一條直線上時(shí)，取得最值，理論依據(jù)主要是兩點(diǎn)之間線段最短。再具體的考題中我們可以根據(jù)題目的圖形、條件或者問題的問法等，再將最值問題進(jìn)行細(xì)化，將問題抽象成我們常見的幾種模型，從而使問題得到解決。例如抽象為：將軍飲馬模型、瓜豆原理、胡不歸模型、費(fèi)馬點(diǎn)模型以及阿氏圓模型等。函數(shù)法：可以利用坐標(biāo)法，將所求的線段長度用坐標(biāo)的方式表示出來，之后利用最值模型求解。 （2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖1，和是等腰直角三角形，，點(diǎn)C在上，點(diǎn)D在線段延長線上，連接，．線段與的數(shù)量關(guān)系為______；（2）如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）第一問的結(jié)論是否仍然成立；如果成立，證明你的結(jié)論，若不成立，說明理由．（3）如圖3，若，點(diǎn)C是線段外一動(dòng)點(diǎn)，，連接，①若將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最大值______；②若以為斜邊作，（B、C、D三點(diǎn)按順時(shí)針排列），，連接，當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．（1）由題意易得，，，然后可證，進(jìn)而問題可求解；（2）由題意易得，，然后可證，進(jìn)而問題可求證；（3）①根據(jù)題意作出圖形，然后根據(jù)三角不等關(guān)系可得，則當(dāng)A、C、D三點(diǎn)共線時(shí)取最大，進(jìn)而問題可求解；②過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，然后可得點(diǎn)C、D、B、E四點(diǎn)共圓，則有，設(shè)，，則，，，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可進(jìn)行方程求解．【答案】（1）；（2）結(jié)論仍成立，理由見詳解；（3）①，②．【詳解】解：（1），理由如下：∵和是等腰直角三角形，，∴，，，∴，，故答案為：；（2）結(jié)論仍成立，理由如下：∵和是等腰直角三角形，，∴，，∴，即，∴，；（3）①如圖，由題意得：，，根據(jù)三角不等關(guān)系可知：，∴當(dāng)A、C、D三點(diǎn)共線時(shí)取最大，∴，∵，，∴，的最大值為；②過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，如圖所示：∴，∴點(diǎn)C、D、B、E四點(diǎn)共圓，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，設(shè)，，則，，，∴，，∴，，∴在和中，由勾股定理得：，整理得：①；在中，由勾股定理得：，整理得：②，聯(lián)立①②得：，解得：，（不符合題意，舍去），∴，過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，∴，，∴，∴．本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓及含30度直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動(dòng)中，小亮同學(xué)選用了常見的A4紙，如圖①，矩形為它的示意圖．他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中．他先將A4紙沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，折痕為；再沿過點(diǎn)F的直線折疊，使點(diǎn)C落在上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為；然后連結(jié)，沿所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，進(jìn)而猜想．【問題解決】(1)小亮對(duì)上面的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過程：證明：四邊形是矩形，∴．由折疊可知，，．∴．∴．請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程．【結(jié)論應(yīng)用】(2)的度數(shù)為________度，的值為_________；(3)在圖①的條件下，點(diǎn)P在線段上，且，點(diǎn)Q在線段上，連結(jié)、，如圖②，設(shè)，則的最小值為_________．（用含a的代數(shù)式表示）（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AD=AF，，由HL可證明結(jié)論；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得證明是等腰直角三角形，可求出GF的長，從而可得結(jié)論；（3）根據(jù)題意可知點(diǎn)F與點(diǎn)D關(guān)于AG對(duì)稱，連接PD，則PD為PQ+FQ的最小值，過點(diǎn)P作PR⊥AD，求出PR=AR=，求出DR，根據(jù)勾腰定理可得結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)22.5°，(3)【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，∴．由折疊可知，，．∴．∴．由折疊得，，∴∴又AD=AF，AG=AG∴（2）由折疊得，∠又∠∴∠由得，∠∠又∠∴∠∴∠∴設(shè)則∴∴∴（3）如圖，連接∵∴AG是FD的垂直平分線，即點(diǎn)F與點(diǎn)D關(guān)于AG軸對(duì)稱，連接PD交AG于點(diǎn)Q，則PQ+FQ的最小值為PD的長；過點(diǎn)P作交AD于點(diǎn)R，∵∠∴∠∴又∴∴在中，∴∴的最小值為本題主要考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，最短路徑問題，矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，，．點(diǎn)E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，D重合），連接CE，過點(diǎn)E作，交AB于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)如圖2，連接CF，過點(diǎn)B作，垂足為G，連接AG．點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，連接GM．①求的最小值；②當(dāng)取最小值時(shí)，求線段DE的長．（1）證明出即可求解；（2）①連接AM．先證明．確定出點(diǎn)G在以點(diǎn)M為圓心，3為半徑的圓上．當(dāng)A，G，M三點(diǎn)共線時(shí)，．此時(shí)，取最小值．在中利用勾股定理即可求出AM，則問題得解．②先求出AF，求AF的第一種方法：過點(diǎn)M作交FC于點(diǎn)N，即有，進(jìn)而有．設(shè)，則，．再根據(jù)，得到，得到，則有，解方程即可求出AF；求AF的第二種方法：過點(diǎn)G作交BC于點(diǎn)H．即有．則有，根據(jù)，可得，進(jìn)而求出，．由得，即可求出AF．求出AF之后，由（1）的結(jié)論可得．設(shè)，則，即有，解得解方程即可求出DE．【答案】(1)見解析(2)①5；②或【詳解】（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴．∵，∴，∴，∴；（2）①解：如圖2-1，連接AM．∵，∴是直角二角形．∴．∴點(diǎn)G在以點(diǎn)M為圓心，3為半徑的圓上．當(dāng)A，G，M三點(diǎn)不共線時(shí)，由三角形兩邊之和大于箒三邊得：，當(dāng)A，G，M三點(diǎn)共線時(shí)，．此時(shí)，取最小值．在中，．∴的最小值為5．②（求AF的方法一）如圖2-2，過點(diǎn)M作交FC于點(diǎn)N，∴．∴．設(shè)，則，∴．∵，∴，∴，由①知的最小值為5、即，又∵，∴．∴，解得，即．（求AF的方法二）如圖2-3，過點(diǎn)G作交BC于點(diǎn)H．∴．∴，由①知的最小值為5，即，又∵，∴．∴，．由得，∴，即，解得．∴．由（1）的結(jié)論可得．設(shè)，則，∴，解得或．∵，，∴或．本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行的性質(zhì)、勾股定理以及一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．1．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考二模）如圖1，四邊形ABCD為正方形，，為等腰直角三角形，E在BA的延長線上，點(diǎn)F在AD上，，．如圖2，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)x度（）得到．(1)如圖2，連接，，判斷線段與線段之間的關(guān)系，并說明理由；(2)如圖3，連接，若，求的最小值和最大值；(3)如圖4，直線與直線交于點(diǎn)N，連接CN，若，求CN的長．【答案】(1)且(2)的最小值為最大值為(3)【分析】（1）證明△可得再由三角形內(nèi)角和定理可得；（2）根據(jù)點(diǎn)與圓的位置可判斷出在最大值和最小值；（3）根據(jù)勾股定理可得出，由五點(diǎn)在同一個(gè)圓上可證明△，可求出再證明△，可求出從而可得出結(jié)論．【詳解】(1)∵四邊形是正方形，∴∵△是等腰直角三角形，∴∴∠又∠∴∠在△和△中，∴△∴延長交于交于點(diǎn)如圖，∵∠∠∴∠,∴綜上，線段與線段之間的關(guān)系為且(2)根據(jù)題意知，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，當(dāng)在上時(shí)，的值最小，在的延長線上時(shí)，的值最大，∵∴又∴的最小值為最大值為(3)由（1）知，連接如圖，在中，∴∵，∴在中，，∴∴（負(fù)值舍去）∴∵∠∴五點(diǎn)在同一個(gè)圓上，如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，∴∠又∠，∴△∴∴∴∴連接則∠∴△∴∴∴2．（2022·陜西延安·統(tǒng)考二模）點(diǎn)E為正方形ABCD的AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB=3，如圖1，將正方形ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，折痕為MN．思考探索(1)如圖2，將正方形ABCD展平后沿過點(diǎn)C的直線CE折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在MN上，折痕為EC．①點(diǎn)B'在以點(diǎn)E為圓心，的長為半徑的圓上；②B'M=______；拓展延伸(2)當(dāng)AB=3AE時(shí)，正方形ABCD沿過點(diǎn)E的直線l（不過點(diǎn)B）折疊后，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'落在正方形ABCD內(nèi)部或邊上，連接AB'．①△ABB'面積的最大值為______；②點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在AB'上，連接PQ，若∠AQP=∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．【答案】(1)①BE；②(2)①3；②B'C+2PQ的最小值為．【分析】（1）①由折疊的性質(zhì)知，點(diǎn)B'在以點(diǎn)E為圓心，BE的長為半徑的圓上，②由折疊的性質(zhì)得出BE=BE′，BC=B′C，MA=MB=NC=ND=AB=，∠B=∠EB′C，進(jìn)而求解；（2）①△ABB'面積的最大時(shí)，只要AB邊上的高最大即可，故當(dāng)B′E⊥AB時(shí)，△ABB'面積的最大，進(jìn)而求解；②證明PQ是△AEB′的中位線，故E、B′、C三點(diǎn)共線時(shí)，B'C+2PQ取得最小值為CE，即可求解．【詳解】（1）解：由折疊的性質(zhì)知，BE=B′E，BC=B′C，MA=MB=NC=ND=AB=，∠B=∠EB′C，①由題意得，點(diǎn)B'在以點(diǎn)E為圓心，BE的長為半徑的圓上；②MB′=MN-NB′=MN-；故答案為：①BE；②；（2）解：①∵AB=3AE=3，∴AE=1，BE=2，∵點(diǎn)B'在以點(diǎn)E為圓心，BE的長為半徑的圓上，如圖1，∴△ABB'面積的最大時(shí)，只要AB邊上的高最大即可，∴當(dāng)B′E⊥AB時(shí)，△ABB'面積的最大，∴△ABB'面積=×AB×B′E=×3×2=3，故答案為：3；②∵∠AQP=∠AB'E，∴PQ∥B′E，∵P是AE的中點(diǎn)，∴PQ是△AEB′的中位線，如圖2，∴PQ=B′E，即B'C+2PQ=B′C+B′E，∴E、B′、C三點(diǎn)共線時(shí)，B'C+2PQ取得最小值為CE，則CE=，即B'C+2PQ的最小值為．3．（2022·河南南陽·統(tǒng)考二模）如圖①②，和均為直角三角形，，，，點(diǎn)C在邊EF的延長線上，，射線EM與AD交于點(diǎn)M，（）．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)B落在射線EF上時(shí)，EM與BA的延長線相交于點(diǎn)G，則______．(2)如圖②，把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（），的值是否保持不變？請(qǐng)僅就圖②給出你的證明．(3)若，在繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出線段AD的最大值和最小值．【答案】(1)(2)保持不變，見解析(3)線段AD的最大值為，最小值為【分析】（1）在Rt△DEF中，根據(jù)，，求出，在Rt△ABC中，根據(jù)，，求出，在Rt△GEB中，根據(jù)，，求出，算出AG，證明，得出即可；（2）過B點(diǎn)作，交射線EM于點(diǎn)G，連接AG，根據(jù)，，證明，得出，，證明，得，進(jìn)而得出即可；（3）由題意得，點(diǎn)A在以C為圓心，以CA為半徑的圓上移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D、A、C三點(diǎn)共線時(shí)，是最小值，是最大值，然后求出DC、AC即可得出答案．【詳解】（1）解：∵在Rt△DEF中，，，∴，∵在Rt△ABC中，，，∴，，∴，∵在Rt△GEB中，∴∴，，∴，∴．故答案為：．（2）保持不變．理由如下：過B點(diǎn)作，交射線EM于點(diǎn)G，連接AG，∵，∴，，∵在中，，∴，，∴，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴；（3）由題意得，點(diǎn)A在以C為圓心，以CA為半徑的圓上移動(dòng)，如圖所示：∴當(dāng)點(diǎn)D、A、C三點(diǎn)共線時(shí)，是最小值，是最大值，∵在中，，，∴，∵在Rt△ABC中，，，∴，∴線段AD的最大值為，最小值為．4．（2022·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是菱形，其中∠ABC＝60°，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，點(diǎn)F在射線CB上運(yùn)動(dòng)，連接EF，作∠FEG＝60°，交直線DC于點(diǎn)G．(1)在線段BC上取一點(diǎn)T，使CE=CT，求證：FT=CG；(2)圖中AB＝7，AE＝1．①點(diǎn)F在線段BC上，求EFG周長的最大值和最小值；②記點(diǎn)F關(guān)于直線AB的軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)N．若點(diǎn)N不能落在∠EDC的內(nèi)部（不含邊界），求CF的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)最大值為，最小值為；【分析】（1）證明△EFT≌△EGC（AAS）即可；（2）①先證明點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，是等邊三角形，確定周長最小和周長最大時(shí)點(diǎn)F的位置，從而可求出FE的長，進(jìn)一步可解決問題；②找出點(diǎn)N落在DC上的位置，求出CF的長，當(dāng)N落在DE上，求出CF的長，從而確定CF的范圍．（1）∵四邊形是菱形，∴∵∠∴∠∴△是等邊三角形，∴∠∵∴△是等邊三角形，∴，∴∠∠∴∠∵∠，∴即∠∴∠在△和△中，，∴△∴FT=CG；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，同（1）可得，∵∠，∴是等邊三角形，同理可得，當(dāng)點(diǎn)F在BC邊上時(shí)，均是等邊三角形，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)E最短，如圖，∵，∴，又∠∴∠，∴∴∴等邊三角形的周長最小值為：當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，如圖3，過點(diǎn)E作交BC于點(diǎn)H，則∴，在中，，∴此時(shí)，△的周長最大，最大值為3BE=；∴△的周長的最小值為，最大值為；②如圖4，當(dāng)N在CD上時(shí)，作CM⊥AB于M，點(diǎn)F′關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N在DC上，∴∴在Rt△BOF′中，∠OBF′=∠ABC=60°，∴∴CF′=14，如圖5，當(dāng)N在DE上時(shí)，∵N與F′關(guān)于AB對(duì)稱，∴∠ABN=∠ABC=60°，∵∠BAC=60°，∴∠ABN=∠BAC=60°，∴BN∥AE，∴，∵AD∥BC，∴△ADE∽△CME，△APD∽△BPM，∴∴∴MC=42，∴MB=MC-BC=42-7=35，∴∴∴BN=5，∴BF′=BN=5，∴CF′=2∴．5．（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）問題情境：在數(shù)學(xué)課上，老師給出了這樣一道題：如圖1，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，求BC的長．探究發(fā)現(xiàn)：（1）如圖2，勤奮小組經(jīng)過思考后發(fā)現(xiàn)：把△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，連接BD，BE，利用直角三角形的性質(zhì)可求BC的長，其解法如下：過點(diǎn)B作BH⊥DE交DE的延長線于點(diǎn)H，則．△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，∴……請(qǐng)你根據(jù)勤奮小組的思路，完成求解過程．拓展延伸：（2）如圖3，縝密小組的同學(xué)在勤奮小組的啟發(fā)下，把△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到△ADE，連接BD，CE交于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，請(qǐng)你判斷四邊形ADFC的形狀并證明；（3）奇異小組的同學(xué)把圖3中的△BGF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，連接AF，發(fā)現(xiàn)AF的長度不斷變化，直接寫出AF的最大值和最小值．【答案】（1）過程見解析；BC=3-3；（2）四邊形ADFC是菱形；證明見解析；（3）AF的最大值是6，最小值是12-6．【分析】（1）過點(diǎn)B作BH⊥DE交DE的延長線于點(diǎn)H，先證明△AEB是等邊三角形，再證明△HBE是等腰直角三角形，并且求得∠BDH＝30°，根據(jù)直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半及勾股定理即可求出EH的長和DH的長，進(jìn)而求出DE的長，再由DE＝BC求得BC的長；（2）四邊形ADFC是菱形，先求出∠ACF＝∠AEF＝30°，∠ADF＝∠ABF＝30°，∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝150°，則∠CFD＝360°?∠ACF?∠ADF?∠CAD＝150°，可證明FC∥AD，F(xiàn)D∥AC，則四邊形ADFC是平行四邊形，而AD＝AC，即可證明四邊形ADFC是菱形；（3）作FK⊥AB于點(diǎn)K，連接AF，先證明∠KAF＝∠KFA＝45°，則AK＝FK，由∠FBK＝30°得BF＝2FK，根據(jù)勾股定理求得BK＝FK，然后再由FK＋FK＝6，求出FK的長，即可求出BF的長，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求出AF的最大值和最小值即可．【詳解】解：（1）如圖2，過點(diǎn)B作BH⊥DE交DE的延長線于點(diǎn)H，則BC＝DE＝DH-HE．∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，∴∠CAE＝∠BAD＝90°，∠DAE＝∠BAC＝30°，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，∴∠BAE＝∠CAE-∠BAC＝60°，AD＝AB＝AE＝6，∴△AEB是等邊三角形．∴BE＝AB＝6，∠AEB＝∠ABE＝60°，∴∠C＝∠ABC＝＝75°，∠AED＝∠ADE＝＝75°，∴∠HBE＝∠HEB＝180°-60°-75°＝45°，∴HE＝HB，∠H＝90°，∵∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠BDH＝∠ADE-∠ADB＝30°，∵BD＝＝＝6，∴HE＝HB＝BD＝3，DH＝＝＝3，∴BC＝DE＝DH-HE＝3-3，即BC的長為3-3．（2）四邊形ADFC是菱形．證明：∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ADE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°（如圖3），∴∠CAE＝∠BAD＝120°，∠DAE＝∠BAC＝30°，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，∴AE＝AC＝AB＝AD，∴∠ACF＝AEF＝＝30°，∠ADF＝∠ABF＝＝30°，∵∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝150°，∴∠CFD＝360°-∠ACF-∠ADF-∠CAD＝150°，∴∠ACF＋∠CAD＝180°，∠ACE＋∠CFD＝180°，∴FC∥AD，F(xiàn)D∥AC，∴四邊形ADFC是平行四邊形，∵AD＝AC，∴四邊形ADFC是菱形．（3）解：如圖3，作FK⊥AB于點(diǎn)K，連接AF，∵四邊形ADFC是菱形，∴CF＝DF，∵∠BCF＝∠EDF＝75°?30°＝45°，BC＝DE，∴△BCF≌△EDF（SAS），∴BF＝EF，∵AB＝AE＝6，AF＝AF，∴△BAF≌△EAF（SSS），∵∠BAE＝120°?30°＝90°，∴∠BAF＝∠EAF＝45°，∵∠AKF＝∠BKF＝90°，∴∠KAF＝∠KFA＝45°，∴AK＝FK，∵∠FBK＝30°，∴BF＝2FK，∵BK＝，∵AK＋BK＝AB＝6，∴，∴，∴，∵，，，∴，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB的延長線上，如圖4，則AF＝AB＋BF＝，此時(shí)AF的值最大，等于；當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上，如圖5，則AF＝AB?BF＝，此時(shí)AF的值最小，等于．綜上所述，AF的最大值是，AF的最小值是．6．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考一模）如圖1，將等腰直角三角形AEF繞著正方形ABCD的頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，已知正方形的邊長為，．(1)如圖2，連接DE，BF，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段BF與DE的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．(2)如圖3，連接CF，在旋轉(zhuǎn)過程中，求CF的最大值和最小值；(3)如圖4，延長BF交DE于點(diǎn)G，連接CG，若，求GC的長．【答案】(1)BF=DE，BF⊥DE；(2)CF的最大值為，最小值為(3)【分析】（1）延長BF交AD于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)G，由四邊形ABCD是正方形得AB=AD，∠BAD=90°，而AF=AE，∠EAF=90°，所以∠BAF=∠DAE=90°-∠DAF，即可證明△BAF≌△DAE，得BF=DE，∠ABF=∠ADE，則∠ADE+∠GHD=∠ABF+∠AHB=90°，即可證明BF⊥DE；（2）連接AC，因?yàn)檎叫蔚倪呴L為，，根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得AC-AF≤CF≤AC+AF，可知當(dāng)CF=AC-AF時(shí)，CF的值最小，當(dāng)CF=AC+AF時(shí)，CF的值最大，求出CF的最大值和最小值即可；（3）連接BD，作DI⊥CG于點(diǎn)I，則∠DIG=∠DIC=90°，由正方形ABCD的邊長為，DG：CB=1：3得AB=CB=CD，根據(jù)勾股定理求得BG，取BD的中點(diǎn)O，連接OG、OC，以點(diǎn)O為圓心、以O(shè)G長為半徑作圓，則點(diǎn)B、C、D、G都在⊙O上，可得∠CGD=∠CBD=45°，∠GCD=∠GBD，可求得GI=DI=DG?sin∠CGD，再根據(jù)tan∠GCD=tan∠GBD求出CI的長，即可求出CG的長．【詳解】（1）如圖2，延長BF交AD于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴AF=AE，∠EAF=90°，∴∠BAF=∠DAE=90°-∠DAF，∴△BAF≌△DAE（SAS），∴BF=DE，∠ABF=∠ADE，∵∠AHB=∠GHD，∴∠ADE+∠GHD=∠ABF+∠AHB=90°，∴∠DGH=90°，∴BF⊥DE，故答案為：BF=DE，BF⊥DE．（2）如圖3，連接AC，∵正方形的邊長為，∴AB=BC=,，AF=AE=∵∠ABC=90°，∴AC=∴AC-AF=,AC+AF=∵AC-AF≤CF≤AC+AF，∴當(dāng)CF的最大值為，最小值為；（3）如圖4，連接BD，作DI⊥CG于點(diǎn)I，則∠DIG=∠DIC=90°，∵正方形ABCD的邊長為，DG：CB=1：3，∴AB=CB=CD=，,∵∠BCD=90°，∴BD=,，∠CBD=∠CDB=45°，由（1）得BF⊥DE，∴∠BGD=90°，∴BG=,取BD的中點(diǎn)