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專題10反比例函數(shù)(時間:60分鐘,滿分120分)一、選擇題(每題3分,共30分)1.(2021·湖北宜昌市)某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體,當(dāng)溫度不變時,氣球內(nèi)氣體的氣壓(單位:)是氣體體積(單位:)的反比例函數(shù):,能夠反映兩個變量和函數(shù)關(guān)系的圖象是()A. B.C. D.【答案】B【分析】根據(jù)實際意義以及函數(shù)的解析式,根據(jù)函數(shù)的類型,以及自變量的取值范圍即可進行判斷.【詳解】解:當(dāng)m一定時,與V之間成反比例函數(shù),則函數(shù)圖象是雙曲線,同時自變量是正數(shù).故選:B.2.(2022·海南)若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則它的圖象也一定經(jīng)過的點是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】先利用反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點,求出k的值,再分別計算選項中各點的橫縱坐標之積,然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征進行判斷.【詳解】解:∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點,∴k=2×(﹣3)=﹣6,∵(﹣2)×(﹣3)=6≠﹣6,(﹣3)×(﹣2)=6≠﹣6,1×(﹣6)=﹣6,,6×1=6≠﹣6,則它一定還經(jīng)過(1,﹣6),故選:C.3.(2022·河北)某項工作,已知每人每天完成的工作量相同,且一個人完成需12天.若m個人共同完成需n天,選取6組數(shù)對,在坐標系中進行描點,則正確的是(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)題意建立函數(shù)模型可得,即,符合反比例函數(shù),根據(jù)反比例函數(shù)的圖象進行判斷即可求解.【詳解】解:依題意,,,且為整數(shù).故選C.4.(2022·廣西賀州)己知一次函數(shù)的圖象如圖所示,則與的圖象為(
)A.B.C.D.【答案】A【分析】根據(jù)題意可得,從而得到一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,反比函數(shù)的圖象位于第一、三象限內(nèi),即可求解.【詳解】解:根據(jù)題意得:,∴,∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,反比函數(shù)的圖象位于第一、三象限內(nèi).故選:A5.(2021·湖南)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象或性質(zhì)的共有特征之一是()A.函數(shù)值y隨x的增大而增大 B.圖象在第一、三象限都有分布C.圖象與坐標軸有交點 D.圖象經(jīng)過點【答案】B【分析】根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項判斷即可得.【詳解】A、正比例函數(shù),函數(shù)值隨的增大而增大;反比例函數(shù),在每一象限內(nèi),函數(shù)值隨的增大而減小,則此項不符題意;B、正比例函數(shù)的圖象在第一、三象限都有分布,反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限都有分布,則此項符合題意;C、正比例函數(shù)的圖象與坐標軸的交點為原點,反比例函數(shù)的圖象與坐標軸沒有交點,則此項不符題意;D、正比例函數(shù),當(dāng)時,,即其圖象經(jīng)過點,不經(jīng)過點,則此項不符題意;故選:B.6.若ab>0,則一次函數(shù)y=ax﹣b與反比例函數(shù)y=abA. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)ab>0,可得a、b同號,結(jié)合一次函數(shù)及反比例函數(shù)的特點進行判斷即可.【答案】解:A、根據(jù)一次函數(shù)可判斷a>0,b<0,即ab<0,故不符合題意,B、根據(jù)一次函數(shù)可判斷a<0,b>0,即ab<0,故不符合題意,C、根據(jù)一次函數(shù)可判斷a<0,b<0,即ab>0,根據(jù)反比例函數(shù)可判斷ab>0,故符合題意,D、根據(jù)反比例函數(shù)可判斷ab<0,故不符合題意;故選:C.7.已知點A(x1,2),B(x2,4),C(x3,﹣1)都在反比例函數(shù)y=kx(k<0)的圖象上,則x1,x2,xA.x3<x1<x2 B.x2<x1<x3 C.x1<x3<x2 D.x1<x2<x3【答案】D【分析】利用反比例函數(shù)的圖象,標出點A,B,C的位置,即可得出結(jié)論.【詳解】解:如圖,∵點A(x1,2),B(x2,4),C(x3,﹣1)都在反比例函數(shù)y=kx(∴x1<x2<x3,故選:D.8.如圖,兩個反比例函數(shù)y=4x和y=2x在第一象限內(nèi)的圖象分別是C1和C2,設(shè)點P在C1上,點A,交C2于點B,則△POB的面積為()A.1 B.2 C.4 D.無法計算【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)y=kx(k≠0)系數(shù)k的幾何意義得到S△POA=12×4=2,S△BOA=12×2=1,然后利用S△POB=【詳解】解:∵PA⊥x軸于點A,交C2于點B,∴S△POA=12×4=2,S△∴S△POB=2﹣1=1.故選:A.9.(2022·江蘇無錫)一次函數(shù)y=mx+n的圖像與反比例函數(shù)y=的圖像交于點A、B,其中點A、B的坐標為A(-,-2m)、B(m,1),則△OAB的面積(
)A.3 B. C. D.【答案】D【分析】將點A的坐標代入可確定反比例函數(shù)關(guān)系式,進而確定點B的坐標,再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式;求出直線AB與y軸交點D的坐標,確定OD的長,再根據(jù)三角形的面積公式進行計算即可.【詳解】解:∵A(-,-2m)在反比例函數(shù)y=的圖像上,∴m=(-)?(-2m)=2,∴反比例函數(shù)的解析式為y=,∴B(2,1),A(-,-4),把B(2,1)代入y=2x+n得1=2×2+n,∴n=-3,∴直線AB的解析式為y=2x-3,直線AB與y軸的交點D(0,-3),∴OD=3,∴S△AOB=S△BOD+S△AOD=×3×2+×3×=.故選:D..10.(2022·內(nèi)蒙古通遼)如圖,點是內(nèi)一點,與軸平行,與軸平行,,,,若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過,兩點,則的值是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】過點C作CE⊥y軸于點E,延長BD交CE于點F,可證明△COE≌△ABE(AAS),則OE=BD=;由S△BDC=?BD?CF=可得CF=9,由∠BDC=120°,可知∠CDF=60°,所以DF=3,所以點D的縱坐標為4;設(shè)C(m,),D(m+9,4),則k=m=4(m+9),求出m的值即可求出k的值.【詳解】解:過點C作CE⊥y軸于點E,延長BD交CE于點F,∵四邊形OABC為平行四邊形,∴ABOC,AB=OC,∴∠COE=∠ABD,∵BDy軸,∴∠ADB=90°,∴△COE≌△ABD(AAS),∴OE=BD=,∵S△BDC=?BD?CF=,∴CF=9,∵∠BDC=120°,∴∠CDF=60°,∴DF=3.∴點D的縱坐標為4,設(shè)C(m,),D(m+9,4),∵反比例函數(shù)y=(x<0)的圖像經(jīng)過C、D兩點,∴k=m=4(m+9),∴m=-12,∴k=-12.故選:C.二、填空題(每題4分,共24分)11.(2022·黑龍江哈爾濱)已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則a的值為___________.【答案】【分析】把點的坐標代入反比例函數(shù)解析式,求出a的值即可.【詳解】解:把點代入得:.故答案為:.12.(2022·北京)在平面直角坐標系中,若點在反比例函數(shù)的圖象上,則______(填“>”“=”或“<”)【答案】>【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì),k>0,在每個象限內(nèi),y隨x的增大而減小,進行判斷即可.【詳解】解:∵k>0,∴在每個象限內(nèi),y隨x的增大而減小,,∴>.故答案為:>.13.(2022·山西)根據(jù)物理學(xué)知識,在壓力不變的情況下,某物體承受的壓強是它的受力面積的反比例函數(shù),其函數(shù)圖象如圖所示,當(dāng)時,該物體承受的壓強p的值為_________Pa.【答案】400【分析】先根據(jù)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式,再把S=0.25代入,問題得解.【詳解】解:設(shè)反比例函數(shù)的解析式為,由圖象得反比例函數(shù)經(jīng)過點(0.1,1000),∴,∴反比例函數(shù)的解析式為,當(dāng)S=0.25時,.故答案為:40014.(2022·內(nèi)蒙古呼和浩特)點、在反比例函數(shù)的圖象上,若,則的取值范圍是______.【答案】【分析】反比例函數(shù)中k>0,則同一象限內(nèi)y隨x的增大而減小,由于,得到,從而得到的取值范圍.【詳解】解:∵在反比例函數(shù)y=中,k>0,∴在同一象限內(nèi)y隨x的增大而減小,∵,∴這兩個點在同一象限,∴,解得:,故答案為:.15.(2022·廣西桂林)如圖,點A在反比例函數(shù)y=的圖像上,且點A的橫坐標為a(a<0),AB⊥y軸于點B,若AOB的面積是3,則k的值是_____.【答案】﹣6【分析】根據(jù)題意和反比例函數(shù)的性質(zhì),可以得到k的值.【詳解】解:設(shè)點A的坐標為(a,),由圖可知點A在第二象限,∴a<0,,∴k<0,∵△AOB的面積是3,∴,解得k=-6,故答案為:-6.16.(2022·貴州黔東南)如圖,在平面直角坐標系中,等腰直角三角形的斜邊軸于點,直角頂點在軸上,雙曲線經(jīng)過邊的中點,若,則______.【答案】【分析】根據(jù)是等腰直角三角形,軸,得到是等腰直角三角形,再根據(jù)求出A點,C點坐標,根據(jù)中點公式求出D點坐標,將D點坐標代入反比例函數(shù)解析式即可求得k.【詳解】∵是等腰直角三角形,軸.∴;.∴是等腰直角三角形.∴.故:,..將D點坐標代入反比例函數(shù)解析式..故答案為:.三、簡答題(共46分)17.(7分)11.(2021·四川樂山市)通過實驗研究發(fā)現(xiàn):初中生在數(shù)學(xué)課上聽課注意力指標隨上課時間的變化而變化,上課開始時,學(xué)生興趣激增,中間一段時間,學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài),隨后開始分散.學(xué)生注意力指標隨時間(分鐘)變化的函數(shù)圖象如圖所示,當(dāng)和時,圖象是線段;當(dāng)時,圖象是反比例函數(shù)的一部分.(1)求點對應(yīng)的指標值;(2)張老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學(xué)綜合題需要17分鐘,他能否經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才?,使學(xué)生在聽這道綜合題的講解時,注意力指標都不低于36?請說明理由.【分析】(1)先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式,再將x=45代入,即可得出A對應(yīng)的指標值(2)先用待定系數(shù)法寫出一次函數(shù)的解析式,再根據(jù)注意力指標都不低于36得出,得出自變量的取值范圍,即可得出結(jié)論【詳解】解:(1)令反比例函數(shù)為,由圖可知點在的圖象上,∴,∴.將x=45代入將x=45代入得:點對應(yīng)的指標值為.(2)設(shè)直線的解析式為,將、代入中,得,解得.∴直線的解析式為.由題得,解得.∵,18.(7分)(2021·四川樂山市)如圖,直線分別交軸,軸于、兩點,交反比例函數(shù)的圖象于、兩點.若,且的面積為4(1)求的值;(2)當(dāng)點的橫坐標為時,求的面積.【分析】(1)過作垂直于軸,垂足為,證明.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得,,由此可得,.再由反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義即可求得k值.(2)先求得,,再利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為.與反比例函數(shù)的解析式聯(lián)立方程組,解方程組求得.再根據(jù)即可求解.【詳解】(1)過作垂直于軸,垂足為,∴,∴.∵,,∴,,∴,.∴,,即.(2)由(1)知,∴.∵,∴,∴,.設(shè)直線的解析式為,將點、代入,得.解得.∴直線的解析式為.聯(lián)立方程組,解得,,∴.∴.19.(8分)(2021·四川廣安市)如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于,兩點.(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;(2)點在軸上,且滿足的面積等于4,請直接寫出點的坐標.【分析】(1)根據(jù)點B坐標求出m,得到反比例函數(shù)解析式,據(jù)此求出點A坐標,再將A,B代入一次函數(shù)解析式;(2)設(shè)點P的坐標為(a,0),求出直線AB與x軸交點,再結(jié)合△ABP的面積為4得到關(guān)于a的方程,解之即可.【詳解】解:(1)由題意可得:點B(3,-2)在反比例函數(shù)圖像上,∴,則m=-6,∴反比例函數(shù)的解析式為,將A(-1,n)代入,得:,即A(-1,6),將A,B代入一次函數(shù)解析式中,得,解得:,∴一次函數(shù)解析式為;(2)∵點P在x軸上,設(shè)點P的坐標為(a,0),∵一次函數(shù)解析式為,令y=0,則x=2,∴直線AB與x軸交于點(2,0),由△ABP的面積為4,可得:,即,解得:a=1或a=3,∴點P的坐標為(1,0)或(3,0).20.(12分)(2022·山東聊城)如圖,直線與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點,與y軸交于點B,過雙曲線上的一點C作x軸的垂線,垂足為點D,交直線于點E,且.(1)求k,p的值;(2)若OE將四邊形BOCE分成兩個面積相等的三角形,求點C的坐標.【答案】(1),(2)點的坐標為(4,2)【分析】(1)先求出點B的坐標,得到,結(jié)合點A的橫坐標為2,求出的面積,再利用求出,設(shè),代入面積中求出k,得到反比例函數(shù)解析式,再將點A橫坐標代入出點A縱坐標,最后將點A坐標代入直線即可求解;(2)根據(jù)(1)中點C的坐標得到點E的坐標,結(jié)合OE將四邊形BOCE分成兩個面積相等的三角形,列出關(guān)于m的方程,解方程即可求解.(1)解:∵直線與y軸交點為B,∴,即.∵點A的橫坐標為2,∴.∵,∴,設(shè),∴,解得.∵點在雙曲線上,∴,把點代入,得,∴,;(2)解:由(1)得,∴.∵OE將四邊形BOCE分成兩個面積相等的三角形,∴,∵,,∴,解得或(不符合題意,舍去),∴點的坐標為(4,2).21.(12分)(2022·湖北荊州)小華同學(xué)學(xué)習(xí)函數(shù)知識后,對函數(shù)通過列表、描點、連線,畫出了如圖1所示的圖象.x…-4-3-2-101234…y…12410-4-2-1…請根據(jù)圖象解答:(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】①寫出函數(shù)的兩條性質(zhì):______;______;②若函數(shù)圖象上的兩點,滿足,則一定成立嗎?______.(填“一定”或“不一定”)(2)【延伸探究】如圖2,將過,兩點的直線向下平移n個單位長度后,得到直線l與函數(shù)的圖象交于點P,連接PA,PB.①求當(dāng)n=3時,直線l的解析式和△PAB的面積;②直接用含n的代數(shù)式表示△PAB的面積.【答案】(1)①當(dāng)x>0時,y隨x的增大而減??;兩段圖
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