2024北京重點校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編：平行四邊形章節(jié)綜合2（解答題）

2024北京重點校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編

平行四邊形章節(jié)綜合（解答題）2

一、解答題

1.（2024北京大興初二下期中）我們知道：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.類似地，我們定

義：至少有一組對角是直角的四邊形叫做對角直角四邊形.

（1）下列圖形：①有一個內(nèi)角為45。的平行四邊形；②矩形；③菱形；

④直角梯形，其中對角直角四邊形是一（只填序號）；

（2）如圖，菱形ABCD的對角線AC,80相交于點在菱形ABC。的外部以為斜邊作等腰直角

4CDN,連接MTV.

①求證：四邊形DWCN是對角直角四邊形；

②若點N到30的距離是2,求四邊形。MOV的面積.

2.（2024北京大興初二下期中）已知：如圖，正方形AC3O的邊上有一動點尸（與點8,C不重合）,

連接AP,延長2c至點Q,使得CQ=",過點。作尸于點交正方形的對角線于點

M.若ZPAC=a.

（1）求ZAMQ的大小（用含a的式子表示）；

（2）用等式表示線段MB與P2之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

3.（2024北京大興初二下期中）如圖，在DABCD中，BD=AD,延長CB到點E,使BE=BD,連接

AE.求證：四邊形AEBD是菱形.

4.（2024北京大興初二下期中）如圖，在口45co中，NBAC=90。，點E為BC邊中點，AD=8,求AE

的長度.

AD

5.（2024北京大興初二下期中）已知：RtAABC,ZABG=90°.

求作：矩形ABCD.作法：如圖，

①作線段AC的中點0；

②連接2。并延長，在延長線上截取8=03;

③連接AD,CD.

四邊形ABC。即為所求作的矩形.

完成下面的證明.

證明：,/OA=_,OD=OB,

二四邊形ABCD是平行四邊形（_）（填推理的依據(jù)）.

ZABC=90°,

四邊形ABCD是矩形（一）（填推理的依據(jù)）.

6.（2024北京日壇中學(xué)初二下期中）如圖，矩形ABC。的對角線AC,8。相交于點。，延長C。到E,使

DE=CD,連接AE,OE.

（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形：

（2）若AD=DE=4,求OE的長.

7.（2024北京日壇中學(xué)初二下期中）閱讀下面材料，并回答問題.

在幾何學(xué)習(xí)中，經(jīng)常通過添加輔助線構(gòu)造圖形，將未知問題轉(zhuǎn)化為己知問題.以下給出的“三角形中位線

定理”的兩種不同證明方法，就體現(xiàn)了三角形問題和平行四邊形問題的相互轉(zhuǎn)化.

方法一

已知：如圖①，在VABC中，D,E分別是邊4瓦AC的中點，連接DE.

求證：DE//BC,S.DE=-BC.

2

證明：延長OE到點凡使EF=DE,連接尸C,OC,AP.

QAE=CE,EF=DE,，四邊形4XT是平行四邊形（依據(jù)。）

CF//DA./.CF//BD.

...四邊形。3C5是平行四邊形（依據(jù)6）..?.￡）尸28c.

11

又DE=-DF,:.DE//BC,且。E=-BC.

22

方法二

已知：如圖②，在VABC中，D,E分別是邊AB,AC的中點，連接￡>E.

求證：DE//BC,且OE=』BC.

2

AE=CE,ZAED=ZCEF,.-.AADE^ACFE（依據(jù)c）.,AD=b（依據(jù)d）.

又A￡>=BD,，CF=B￡>..,.四邊形D3CF是平行四邊形.

DF/^BC.（依據(jù)e）.

11

又DE=-DF,:.DE//BC,且DE=-BC.

22

寫出上述證明過程中所標(biāo)注的推理依據(jù)的具體內(nèi)容：

依據(jù)a：；依據(jù)b：；依據(jù)c：；依據(jù)d：；依據(jù)e：

8.（2024北京101中學(xué)初二下期中）在口ABCD中，E,尸是對角線AC上兩點，并且AE=CF,連接

BE,DE,BF,DF.求證：四邊形BEE不是平行四邊形.

DC

9.（2024北京西城初二下期中）如圖，四邊形ABCD是正方形.過點C在正方形ABC。的外側(cè)作射線

CN,25=。（0°＜。＜90。）.作點￡（關(guān)于射線。村的對稱點￡,線段。E交射線CN于點連接國

交直線CN于點尸.

圖1備用圖

⑴當(dāng)0。＜￡＜45。時，依題意補全圖1,并直接寫出/E7W的度數(shù)；

（2）在（1）的條件下，用等式表示尸氏/CPE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）若b=l,FM=2,直接寫出線段R3的長.

10.（2024北京西城初二下期中）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,。為A8的中點，AE//DC,

CE//DA.

（1）求證：四邊形ADCE是菱形；

（2）連接OE,若NE=120。，BC=2,求線段AC的長.

11.（2024北京海淀初二下期中）已知，矩形ABCZ）,AD＞AB,對角線AC、80交于點O,

ZDAC=a,點M在射線2C上，滿足NDMC=2e,作。E1AC于E,DE的延長線交2c于尸

⑴如圖1,點M在線段BC上

①依題意補全圖形，并直接寫出NCDP=（用含。的式子表示）

②連接OM,請用等式表示線段O"與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（2）當(dāng)（zw30。時，設(shè)AD=〃z,CF-n,請直接寫出線段Rkf的長（用含相、”的式子表示）

4

12.（2024北京海淀初二下期中）如圖，一次函數(shù)>=-耳尤+4的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點2,

點。為x軸上的點（在點A右側(cè)），AC為的垂直平分線，垂足為點E,且3C〃a>,連接CD.

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）連接OE,求OE的長.

13.（2024北京海淀初二下期中）如圖.在VABC中，點。、E、F分別是邊A3、AC、2C的中點，且

5C=2AF.求證：四邊形ADFE為矩形.

14.（2024北京豐臺初二下期中）閱讀材料，并完成任務(wù).

“平行四邊形的判定”這節(jié)課上，研究了平行四邊形的三個判定定理之后，老師問：“還有其它能夠判定平行

四邊形的方法嗎？”小雨說：“我發(fā)現(xiàn)一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形”.老師說：“這

個命題是真命題”.

要證明這個命題是真命題，需要先分清命題的題設(shè)和結(jié)論.然后畫出相應(yīng)的圖形、寫出已知和求證，最后

完成證明，請你在下表中完成相應(yīng)的任務(wù).

畫圖：

已知：AB//CD,ZA=ZCAl-—T

求證：￡□

證明：

15.（2024北京豐臺初二下期中）如圖，在DABCD中，對角線AC,即相交于點。，B4_LAC于點A,

AC=6,BD^IO,求平行四邊形的邊BC的長.

16.（2024北京豐臺初二下期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0,2）,B（4,2）,C（4,0）.若尸為矩形

ABCO內(nèi)（不包括邊界）一點，過點P分別作x軸和y軸的平行線，這兩條平行線分矩形ABCO為四個小

矩形，若這四個小矩形中有一個矩形的周長等于的長，則稱P點為矩形A5co的矩寬點.

17.（2024北京豐臺初二下期中）如圖，已知DABED,延長AD到C,使得AD=DC,若AB=8C,連接

BC、CE,BC交DE于點、F.

（1）求證：四邊形3ECO是矩形；

（2）連接AE,若Zfl4C=60。，AB=4,求AE的長.

18.（2024北京育才學(xué)校初二下期中）如圖，正方形ABCD,點E為對角線8。上任意一點（不與B,。重

合），連接AE,過點E作跖，AE,交線段8C于點/，以AE,E尸為鄰邊作矩形A￡FG,連接3G.

4D

BFC

⑴求證：AE=EF；

（2）猜想線段AB,BE,BF之間的數(shù)量關(guān)系（用等式表示），并證明.

（3）若正方形ABCD的邊長為2,設(shè)四邊形AG3E的周長為機，直接寫出機的取值范圍.

19.（2024北京育才學(xué)校初二下期中）尺規(guī)作圖：過直線外一點作這條直線的平行線.

已知:如圖，直線/和直線/外一點A.

求作：直線加，使得772〃/,且機經(jīng)過點A.

A

作法：

①在直線/上任取一點3,以點8為圓心，任意長為半徑作弧，交/于點C；

②連接AC,分別以AC為圓心，大于［&C長為半徑作弧，兩弧交于尸，。兩點；

2

③作直線PQ,交AC于點。；

④作射線20,在線段2。的延長線上取點D,使得DO=BO；

⑤作直線AD,則AD即為所求作直線m.

A

Bt1

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接AB,CD,

???PQ是線段AC的垂直平分線，垂足為。，

AO=CO.

又?:DO=BO,

.??四邊形A5c。為（）（用漢字填四邊形名稱）

（）（填推理依據(jù)）.

AAD//BC（）（填推理依據(jù)）.

即《!〃/.

20.（2024北京豐臺初二下期中）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，對于點A和線段如果點A,O,M,N

按逆時針方向排列構(gòu)成菱形AOMN,且/AOM=a,則稱線段"N是點A的“a-相關(guān)線段”.例如，圖1

中線段"N是點A的“30。一相關(guān)線段”.如圖2,已知點2的坐標(biāo)是(0,2).

圖1圖2

(1)在圖2中畫出點8的“30。一相關(guān)線段”"N,并直接寫出點〃和點N的坐標(biāo)；

⑵若點8的“a-相關(guān)線段，，經(jīng)過點(有,1),求a的值.

21.(2024北京十一學(xué)校初二下期中)如圖所示，四邊形ABC。為正方形，F(xiàn)、G分別為邊A"3c上的

點，BELFG于G.

備用圖

⑴求證：ZABE=NGFD；

(2)在斯上截取=連接。為?！钡闹悬c，連接AO、AE.

①依題意補全圖形；

②用等式表示線段A。和AE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

22.(2024北京海淀初二下期中)如圖，在菱形A2CZ)中，對角線AC和50交于O.過B做8“垂直AD

于H,并延長至M,使得期/=3C,連接40.

(1)依題意補全圖形；

(2)設(shè)/DBH=a,求NQ4M的大小;

(3)用等式表示線段AM,AO和20之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

23.(2024北京海淀初二下期中)如圖，正方形ABC。中，G是AO邊上的動點，AELCG交CG延長線于

點E,DFLDE交CG于點F,連接

(1)若￡)E=2,求斯的長；

(2)若點G是AO的中點，猜想8尸、CF、OF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

24.(2024北京豐臺初二下期中)如圖，在VABC中，AB=BC,。為AC中點.過點。作的平行線,

過點8作AC的平行線，兩平行線相交于點E,BC交DE于點、F,連接CE.求證：

(1)四邊形3EC。是矩形；

(2)取A3的中點M,連接DM,若。"=2,AD=3,直接寫出矩形BECD的面積.

25.(2024北京西城初二下期中)如圖1,在正方形ABCD中，點E是直線AB上一點，點尸是直線上

備用圖備用圖

(1)如圖，點E在線段54的延長線上，點P在線段3D的延長線上，

①記NDEA=a,求/BEG的度數(shù)(用含a的式子表示)；

②用等式表示BE,BD,BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)當(dāng)點E在射線43上，點尸在直線上時，直接用等式表示3E,BD,BG之間的數(shù)量關(guān)系.

26.(2024北京第十四中學(xué)初二下期中)如圖，在VABC中，BC=2AB,D,E分別為BC,AC的中點，過

點A作交。E的延長線于點

A

（1）求證：四邊形ABDF是菱形；

（2）連接BE,若AB=2,ZABC=60°,則8E的長為.

27.（2024北京育才學(xué)校初二下期中）如圖，Rt^ABC中，/ABC=90。，點。，E分別是AC,AB的中

點，CF//DB,BF//DC.

（1）求證：四邊形是菱形；

⑵若AD=3,DE=1,求四邊形。BfC的面積.

28.（2024北京育才學(xué)校初二下期中）如圖，折疊矩形ABCD的一邊BC,使點8落在AD邊上的點尸處,

折痕為CE,若A￡>=5,CD=3,求AE的長.

29.（2024北京朝陽初二下期中）在平面直角坐標(biāo)系中，如果P,。為某個菱形相鄰的兩個頂點，且

該菱形的兩條對角線分別與x軸，y軸平行，那么稱該菱形為點P,。的“相關(guān)菱形”.圖1為點P,。的

“相關(guān)菱形”的一個示意圖.已知點A的坐標(biāo)為（L4）,點5的坐標(biāo)為伍,0）,

片

4-

3-

歹八

4-2-

3-

2--5-4-3-2-10234567%

-2

23456x-3

⑴如果〃=3,那么R（T。），S（5,4）,T（6,4）中能夠成為點A,5的“相關(guān)菱形”頂點的是」

⑵如果點A,3的“相關(guān)菱形”為正方形，求點B的坐標(biāo).

（3）如圖2,在矩形O￡FG中，尸（3,2）.點用的坐標(biāo)為（私3）,如果在矩形O￡FG上存在一點N,使得點

M,N的“相關(guān)菱形”為正方形，直接寫出根的取值范圍.

30.(2024北京H^一學(xué)校初二下期中)如圖，在四邊形ABC。中，AB//DC,AB=AD,對角線AC,

交于點O,AC平分44￡),過點C作CE1AB交A3的延長線于點E.

(2)若AB=如，BD=2,求BE的長.

31.(2024北京大興初二下期中)如圖1,把一個含45。角的直角三角板Eb和一個正方形ABC。擺放在

一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點C始終重合，連接AF,取AF的中點E產(chǎn)的中點N,連接

(1)若直角三角板Eb和正方形ABCD如圖1擺放，點E、尸分別在正方形的邊C3、CD上，判斷與

"N之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)若直角三角板ECF和正方形ABCD如圖2擺放，點E、尸分別在3C、OC的延長線上，其他條件不變，

則(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由

⑶若AB=3,CE=2,連接。N,在擺放的過程中，ADMN的面積存在最大值豆和最小值邑，請直接寫出

W和$2的值.

32.(2024北京人大附中初二下期中)在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,。為BC上一點，滿足

ZC4D=60°.

圖2

(1)如圖1,若AD=2,直接寫出AC的長為」

(2)如圖2,E在AD的延長線上，連接CE,點。關(guān)于CE的對稱點為R連接所，CF,若恰有

ZDCE+ZADB=ZAEF成立.

①求證：EF〃AC；

AfZ

②點G為線段AC上一點(不與A,。重合)，連接/G,寫出一個女的值，使得命題“如果黑=42,那么

DE

BD+FG卡-竹、工口日

———二k”,成z,并證明.

CE

33.(2024北京人大附中初二下期中)在VABC中，ZABC=90°,AB=3C,點。為射線2C上一動點

(不與點3、C重合)，點8關(guān)于直線AD的對稱點為E,作射線OE,過點C作A5的平行線，與射線DE

交于點?連接AE,AF.

(1)如圖1,當(dāng)點E恰好在線段AC上時，用等式表示。尸與8。的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)如圖2,當(dāng)點。在線段BC的延長線上時，

①依題意補全圖形；

②用等式表示/4D3和1鉆E的數(shù)量關(guān)系，并證明.

34.(2024北京人大附中初二下期中)在RtZXABC中，ZACB=90°,點。是邊AB上的一個動點，連接

CD.作AE〃DC,CE//AB,連接DE.

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)CD_LA3時，求證：AC=DE；

(2)當(dāng)四邊形AZXE是菱形時，

①在圖2中畫出四邊形4XE,并回答：點。的位置為

②若AB=10,DE=8,則四邊形AOCE的面積為一.

35.(2024北京人大附中初二下期中)如圖，在VABC中，點。是線段AB的中點.

A

求作：線段DE,使得點E在線段AC上，且QE=!BC.

2

作法：

①連接CD,

②以點A為圓心，CD長為半徑作弧，再以C為圓心，AD長為半徑作弧，兩弧相交于點M；

③連接DM,交AC于點E；

所以線段DE即為所求的線段.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明：

證明：連接A",CM,

,/AMCD,AD=CM,

四邊形ADOW是平行四邊形.（①_）（填推理的依據(jù)）

,/AC,DM交于點E,

J.AE^CE,即點E是AC的中點.（②一）（填推理的依據(jù)）

:點。是AB的中點，

；.DE=gBC.（③二（填推理的依據(jù)）

36.（2024北京房山初二下期中）已知點4（-2,0）,3（0,-4）,C（2,0）,D（0,4）.

（1）在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中作出點A,B,C,D；

（2）順次連接點A,B,C,。所得的圖形是哪種特殊的四邊形？并說明理由.

37.（2024北京通州初二下期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,BD交于點、0,過點A作AEL8C

于點E,延長BC到點尸，使CF=BE,連接

（1）求證：四邊形AEED是矩形；

（2）連接OE,若鉆=10,BE=6,求OE的長度.

參考答案

1.⑴②

（2）①見解析；②4.

【分析】（1）根據(jù)對角直角四邊形的定義逐個判斷即可；

（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC23D,即NCME>=90。，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得/GVD=90。，

進(jìn)而得到/CWD=NCND=90。，然后根據(jù)對角直角四邊形的定義即可證明結(jié)論；②如圖：過N作

NH1BD于H,感，47于6,證明四邊形MHNG是矩形可得NHNG=90。，進(jìn)而證明

△DNH絲KNG（AAS）,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到HN=GN=2,根據(jù)正方形的判定定理得到四邊形

MHNG是正方形，最后四邊形DMCN的面積=正方形的面積.

【詳解】（1）解：①有一個內(nèi)角為45。的平行四邊形，沒有90。的內(nèi)角，不是對角直角四邊形；②矩形的對

角為90。，是對角直角四邊形；③菱形的對角不一定為90。，不是對角直角四邊形；④直角梯形，的鄰角為

90°,但對角不一定為90。，不是對角直角四邊形.

故答案為：②.

（2）①證明：；四邊形ABCZ）是菱形,

ACJ.BD,即NCMD=90°,

是等腰直角三角形，

ZCWD=90°,

4CMD=/CND=9y,

四邊形DWCN是對角直角四邊形；

②如圖：過N作NHLBD于H,NGLAC于G,

ZHMG=ZMGN=ZMHN=90°,

四邊形AffiNG是矩形，

ZHNG=90°,

"：NDNC=90°,

ZHND=ZCNG,

'：ZNHD=ZNGC=90°,DN=CN,

：.ADAW^ACTVG(AAS),

HN=GN=2,

四邊形MHNG是正方形，

???四邊形NWCN的面積=正方形AffiNG的面積=2x2=4.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性

質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點，正確地找出輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.(1)45°+?

(2)PQ=?MB，證明見解析

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)

等知識點，靈活運用相關(guān)判定和性質(zhì)定理成為解題的關(guān)鍵.

(1)由直角三角形性質(zhì)兩銳角互余可得44〃。=90。-/2加，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得NC4B=45。，則

ZPAM=ZCAB-ZPAC=45°-a,然后代入ZAMQ=90°-ZPAM即可解答；

(2)先說明”=AQ=Q”,再證R6APC/RMQME,再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出=,由

題意可得△曲為等腰直角三角形，然后用ME表示出MB與尸Q,然后化簡即可解答.

【詳解】(1)解：乙組142=45。+。.理由如下：

,/QHVAP,

：.ZAMQ900-ZPAM,

正方形ACBO的對角線AB,

AZCAB=45°,即：ZPAM=ZCAB-ZPAC=45°-a,

：.ZAMQ=90°-ZPAM=90°-(45°-a)=45°+a.

(2)解：線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系：PQ=42MB,證明如下：

如圖：連接AQ,過點M作MESQB,

?/AC±QP,CQ=CP,

；.ZQAC=ZPAC=a,

：.ZQAM=。+45°=ZAMQ,

/.AP=AQ=QM,

?：QHLAP,AC±BC,

：.ZMQE+ZAPC=90°,ZPAC+ZAPC=90°,

ZMQE=ZPAC,

在RtAAPC和Rt^QME中，NMQE=ZPAC,ZACP=ZQEM,AP=QM,

：.RtAAPC也Ri^QME,

JPC=ME,

ME±BC,ZABC=45°,

???△血硬是等腰直角三角形，

?*-ME=BE

?*.BM=yflME，即ME=乎BM,

,/CQ=CP,

:.PQ=2PC=2ME,^ME=^QP,

:.與BM=；QP,即尸。=

3.證明見解析

【分析】本題主要考查了菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，先由平行四邊形的性質(zhì)得到AD〃鹿，

再證明A￡>=BE結(jié)合BE=8□即可證明四邊形AEBD是菱形.

【詳解】證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

AAD//BC,即

VBD=AD,BE=BD,

AD=BE,

四邊形AEBD是平行四邊形，

又■:BE=BD,

四邊形是菱形.

4.4

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識點，掌握直角三角形斜邊上的中線

等于斜邊的一半成為解題的關(guān)鍵.

由平行四邊形的性質(zhì)可得BC=AD=8,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答.

【詳解】解：：在口A3CD中，AD=8,

BC=AD=8,

VABAC=90°,點E為BC邊中點，

AE=-BC^4.

2

5.OC；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定、矩形的判定填空即可.本題考查平行四邊形的判定、矩形的判定，熟練

掌握平行四邊形的判定、矩形的判定是解答本題的關(guān)鍵.

【詳解】證明：?.,Q4=OC,OD=OB,

，四邊形ABC。是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

?.?/ABC=90。，

四邊形ABCD是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）.

故答案為：oc；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

6.⑴見解析

（2）2710

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到AB=CD,進(jìn)而得到=即可得證；

（2）先證明矩形A3。是正方形，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理，即可求出答案.

【詳解】（1）解：：四邊形ABCD是矩形，

:.AB//CD,AB=CD,

■：DE=CD,

:.DE=AB,

，四邊形是平行四邊形.

（2）解：-.AD=DE=4,ZADE=90°,

AE=4-J2,

：.BD=AE=4拒.

在RUBAD中，。為23中點，

:.AO=-BD=2-j2.

2

QAD=DE=CD,

二矩形ABC。是正方形，

ZEAO=ZOAD+ZDAE=450+45°=90°,

:.OE=J松+AO2=2屈?

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，正方形的判定和平行四邊形的判定定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運

用矩形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定，本題屬于中等題型.

7.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；ASA；全等三

角形的對應(yīng)邊相等；平行四邊形的對邊平行且相等

【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)，

全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行作答即可.

【詳解】方法一：證明：延長DE到點孔使所=DE,連接尸COCA尸.

QAE=CE,EF=DE,

，四邊形AOCP是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）

/.CF//DA.

CF//BD.

.??四邊形DBCP是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.

DF//BC.

又DE==DF,

2

:.DE//BC,S.DE=-BC.

2

方法二：證明：過點C作CF〃AB,與。E的延長線交于點歹.

:.ZA=NFCE.

AE=CE,ZAED=ZCEF,

:.AADE^/\CFE(ASA).

:.AD^CF(全等三角形的對應(yīng)邊相等).

又AD=BD,

:.CF=BD.

四邊形DBCB是平行四邊形.

幺BC.(平行四邊形的對邊平行且相等).

又DE=>DF,

2

:.DE//BC,且OE=』BC.

2

故答案為：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；ASA；

全等三角形的對應(yīng)邊相等；平行四邊形的對邊平行且相等.

8.見解析

【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出OB=OD,OA^OC,

根據(jù)AE=CF,得出OE=O9，即可證明四邊形是平行四邊形.

【詳解】證明：連接30,交AC于。，如圖所示：

A

V四邊形ASCD為平行四邊形，

：.0B=0D,OA=OC,

'：AE=CF,

：.OA-AE=OC-CF,

即OE=OF.

/.四邊形BEDF是平行四邊形.

9.(1)圖見解析，45°;

⑵FB=FE+亞FC，證明見解析；

(3)3&或加.

【分析】(1)根據(jù)題意，補全圖形即可得到答案；根據(jù)題意，由對稱性可知/EOV=/D&V,CE=a),再

結(jié)合正方形性質(zhì)得出C2=CD,/BCD=90°,可以得到ABCE是等腰三角形，由于ZBCE=90°+2&,貝I

ZBEC=180-ZBCE=45°-?,在△口?￡中，利用三角形外角和定理即可得到答案；

2

(2)線段FB/CPE之間的數(shù)量關(guān)系為所=在+及證明如下：過點C做作CHLCF,交BE與點

H,由題意可知：CB=CD=CE,NDCF=NECF,得到/CBH=CEF,再根據(jù)直角關(guān)系得到

ZBCH=ECF,再證明ABCH絲A￡CF(ASA),得到莊=由(1)可知VHR是等腰直角三角形，

FH=&FC，F(xiàn)B=FH+FE,即可得到尸8=FE+忘FC.

(3)需要對不同情況進(jìn)行討論.

①當(dāng)0。＜]＜45。時，參照(2)中的結(jié)論求解；

②當(dāng)45。＜&＜90。時，過點C做作交BE與點、H,由題意可知：

CB=CD=CE,ZDCM=AECM,得到NCBH=CEF,再根據(jù)直角關(guān)系得到/3CF=/ECH,再證明

ABCF^AECH(ASA),得到BF=EH,CF=CH,VRR是等腰直角三角形，AFME是等腰直角三角形,

FH=^FC，F(xiàn)E=-J1FM，F(xiàn)B=EH=FE—FH,即可求解.

【詳解】(1)解：當(dāng)0。＜/＜45。時，如下圖，

:.CB=CD,ZBCD=90°,

由對稱的性質(zhì)可得CD=CE,NECF=ZDCF=a,

CB=CE,/BCE=ZBCD+ZDCN+ZECN=90°+2a,

ZCEF=ZCBF=I8。=45°-a

2

?/ZEFN是AECF的一個外角，

ZEFN=ZCEF+ZECF=45°.

(2)當(dāng)0。＜夕＜45。時，F(xiàn)B=FE+及FC，證明如下:

作交BE與點H,垂足為點C,如圖,

ZFCD+NHCD=90°,

1?■四邊形A2CZ）是正方形,

:.CB=CD,ZBCD=90°,

/.ZBCH+ZHCD=90°,

:./FCD=ZBCH,

由對稱的性質(zhì)可得CD=CE,ZDCF=ZECF,

:.BC=CE,NECF=NBCH,

:"CBH=/CEF,

在△CEF和中，

ZCEF=ZCBH

＜CE=CB,

ZECF=NBCH

:.KEF且△C5H(ASA),

/.FE=HB/CFE=ZCHB,

.-.180°-ZCFE=180°-ZCHD,

即ZCFH=ZCHF,

AFCH是等腰直角三角形，

由勾股定理得FH=也FC，

???FB=HB+FH,FE=HB,

:.FB=FE+y[lFC-

(3)①當(dāng)0。＜。＜45。時，由(2)可知，△AM是等腰直角三角形，

：.ZHFC=45°,

:.ZMFE=45°,

由對稱的性質(zhì)可得DE.LCN,

.?.△RWE是等腰直角三角形，F(xiàn)E=42FM=2y/2,

FB=FE+42FC=272+0=30.

②當(dāng)45。＜。＜90。時，如下圖，作CHLC尸，交BE與點H,垂足為點C,

?.?ZBCF+/BCD+ZDCM=180°,

/.NBCF+/DCM=96,

由對稱的性質(zhì)可得CD=CE,NDO0=N￡CM,

BC=CE,NBCF+ZECM=90",

:.NCBF=NCEH,

ZMCE+ZHCE=90°,

:.ZBCF=NECH,

在VCB尸和△CEH中，

ZCBF=NCEH

<CB=CE,

ZBCF=ZECH

:.ACBF/AC￡H(ASA),

EH=BF/CFB=ACHE,

.-.180°-ZCFB=180°-ACHE,

即ZCFH=NCHF,

.?.△FCH是等腰直角三角形，NCFH=NCHF=45。,

.?.△EWE是等腰直角三角形，

由勾股定理得FH=垃F(xiàn)C,FE=y/2FM,

:.FB=HE=FE-FH=2&-6=也.

綜上所述，為3啦或

【點睛】本題考查了正方形性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、等腰三角形判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及勾

股定理等，熟練掌握知識點進(jìn)行證明推理，分情況討論是解題關(guān)鍵.

10.(1)證明見解析；

(2)273.

【分析】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟悉掌握相關(guān)知識是解決的關(guān)鍵.

(1)先證明四邊形皿石是平行四邊形，再證一組鄰邊相等，即可得出結(jié)論

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得/ADE=60。，從而得到/Q4D=30。，在RtZkACB中，利用BC=，A2,求

2

得A8,再利用勾股定理即可求AC.

【詳解】(1)證明：；AE//DC,CE//DA,

四邊形ADCE是平行四邊形，

VZACB=90°,。為AB的中點，

CD=-AB=AD=DB,

2

四邊形ADCE是菱形.

(2)解：連接DE,AC,DE1相交于。，如圖所示，

EC

四邊形AZJCE是菱形,

DEJ.AC,DE平分NAEC和—AZ)C,

???ZAEC=120°,

ZAEC=ZADC=120°,ZAEZ)=ZADE=60°,

又：DE±AC,ZADE=60。，

在RtAAO。中，ZOAD=\SO°-ZAOD-ZADE=30°,

VZACB=90°,BC=2,

???在RtZkACB中，AB=2BC=4,

AC￡AB°-BC。=&6-4=2百，

答：線段AC的長為2K.

11.(1)①畫圖見解析，a；②0M=；DF,證明見解析

^3n-m_^m-3n_^m+n

(2)2或2或方-

【分析】(1)①根據(jù)題意先補全圖形，由矩形的性質(zhì)得到NADC=90。，再根據(jù)同角的余角相等得到

ZCDF=ZDAC=a；②如圖所示，延長MO交AD于N,設(shè)MO交DF于G,由矩形的性質(zhì)可得

AC=BD,OA=OB=OC=OD,ZBAD=90°,先證明ZDBC=tz,再證明ZBDN=e,得到

BM=DM,則MO_LBD；再證明NGF7W=NGMF,/GND=/GDN,得到GF=GM,GN=GD,可得

DF=MN；證明AAOV四△COM(AAS),得到0N=0M,即可推出/；

(2)分當(dāng)點M在2C上，且尸C>MC時，當(dāng)點M在BC上，且尸C<MC時，當(dāng)點M在線段BC延長線上

時,三種情況畫出對應(yīng)的圖形討論求解即可.

【詳解】(1)解：①補全圖形如下：

??,四邊形488是矩形，

ZADC=90°,

ZDAC+ZDCA=90°,

'：DE.LAC,

：.NCDF+NDCE=90。,

/.ZCDF=ZDAC=a；

故答案為：a；

@OM=^DF,證明如下：

如圖所示，延長MO交AO于N,設(shè)MO交。F于G,

???四邊形ABC。是矩形，

AC=BD,OA=OB=OC=OD,NBAD=90°,

?.?ZDAC=a,

：.ZOAB=ZOBA=90°-a,

AB//CD,

：.ZOAB=ZOBA=ZODC=ZOCD=90°-a,

ZDBC=a,

ZDMC=ZDBM+ZBDM=2a,

/.ZBDM=a=ZDBM,

:.BM=DM,

：.MO.LBD,

*：DF±AC,AD//BC,

：.ZDFC=ZADE=90°-afZDNM=ZNMB=90°-af

：.ZGFM=ZGMF,/GND=NGDN,

：.GF=GM,GN=GD,

:,GF+GD=GM+GN,gpDF=MN；

'：AD//BC,

：.NOAN=ZOCM,ZONA=ZOMC,

又???Q4=OC,

??.△AQV%COM（AAS）,

：?ON=OM,

：.DF=MN=2OM,即/；

2

ANp

BC

FM

(2)解：如圖所示，當(dāng)點M在3C上，且產(chǎn)C>MC時，

取線段DF的中點N,連接ON,CN,則ON是ACB尸的中位線,

：.ON=-BF,ON//BF；

2

由矩形的性質(zhì)可得3C=4￡>=〃％NDCF=90。,

：.CN=FN=-DF,

2

：.CN=OM,/NCF=NNFC=9Q。一a,

由（1）得NEMF=90?！╖,

/EMF=/NCF,

：.CN//OM,

四邊形ONCM是平行四邊形，

CM=ON=LBF,

2

/.FM=BC-BF-CM=BC-^BF=m-^m-n）=^^-；

如圖所示，當(dāng)點M在2C上，且尸C<MC時，

取線段。產(chǎn)的中點N,連接ON,CN,則ON是AZJB尸的中位線,

：.ON=-BF,ON//BF；

2

由矩形的性質(zhì)可得BC=Ar>=m,ZDCF=90°,

：.CN=FN=-DF,

2

：.CN=OM,/NCF=/NFC=9Q?！猘,

由（1）得NOBM=a,OM±BD,

：.ZOMB=90°-a,

ZEMF=ZNCF,

：.CN//OM,

.?.四邊形ONCM是平行四邊形，

CM=ON=LBF,

2

：.FM=BF+CM-BC=-BF-BC=-（m-ri\-m=^:^--

22V'2

如圖所示，當(dāng)點M在線段5C延長線上時，延長AC,DM交于N,

9：AD//BC,

：.ZACB=ZDAC=a,

：.ZMCN=ZACB=a,

/DMC=NN+/MCN=2a,

：.NN=a=/MCN=/DAC,

：.CM=MN,DA=DN=m,

ZDFM=90°-af

：.ZFDM=180?！?0。+c—2。=90?！?，

:./FDM=ZDFM,

:?MF=DM,

：.n+CM=m-CM,

777+〃

MF=CF+CM=----；

2

4、ll、上A'“、r3n-m_^m-3n_^m+n

綜上所述，Rll的長為一T一或一^-或一

222

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，三角形中位

線定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.

12.(1)證明見解析

⑵2百

【分析】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練

掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

(1)根據(jù)AC為30的垂直平分線，得E為8。中點，NBEC=ZDEC=DEA=90°,根據(jù)3c再證

ABEC^DEA,得3c=ZM,判定四邊形ABC。是平行四邊形，根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱

形，即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)一次函數(shù)與x、y軸交點得出Q4,0B,再根據(jù)勾股定理求出A3,根據(jù)菱形的性質(zhì)求出AD,

再次利用勾股定理求出BD,依據(jù)直角三角形的性質(zhì)定理即可得出。石.

【詳解】（1）?「AC為3。的垂直平分線，

:.BE=DE,ZBEC=Z.DEC=DEA=90°,

??BC//OD,

:.Z.BCE=ADAE,

在VHEC和△/羽4中

/BEC=NDEA

<BE=DE,

ZBCE=ZDAE

ABEC^ADEA，

:.BC=DA,

四邊形ABC。是平行四邊形，

AC為的垂直平分線，

，四邊形ABC。是菱形；

4

（2）,一次函數(shù)>=-耳尤+4的圖象與無軸交于點A,與y軸交于點2,

...點A坐標(biāo)為（3,0）,點8坐標(biāo)為（0,4）,

04=3,08=4,

在RtAAOB中

AB=y/OA'+OB2=A/32+42=5-

由（1）得：四邊形A2CZ）是菱形，

AD-AB-5,E為8Z）中點，

:.OD=OA+AD=8,

在RtAAQB中

AB=ylOD2+OB2=A/82+42=475，

■:E為BD中點,

連接0E,

13.見解析

【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)、矩形的判定、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和.先根據(jù)

中位線的性質(zhì)得到所〃AB,O/〃AC得到四邊形ADEE為平行四邊形，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三

角形內(nèi)角和證明N54c=90。，則求證可證.

【詳解】證明：：點。、E、E分別是邊AB、AC、BC的中點，

AEF//AB,DF//AC,

四邊形ADFE為平行四邊形，

?.?尸為8C中點，BC=2AF,

：.BF=AF=CF,

：.NB=ZBAF,ZFAC=ZC,

ZB+ZBAF+ZFAC+ZC=180°,

2(ZBAF+ZE4C)=180°,

則N3AF+/E4c=90°,

即NBAC=90°,

四邊形ADEE為矩形.

14.見解析

【分析】本題考查平行四邊形的判定、平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定，會根據(jù)題意和

圖形正確寫出命題的題設(shè)和結(jié)論是解答的關(guān)鍵.先根據(jù)題意和圖形寫出已知，再根據(jù)平行線的判定與性

質(zhì)，以及平行四邊形的判定解答即可.

【詳解】解：

畫圖：

已知：AB//CD,ZA=ZC,

求證：四邊形ABC。是平行四邊形.

BL-----------fc

證明：VAB//CD,

：.ZA+ZE>=180°,

ZA=ZC,

：.ZC+Z￡>=180°,

：.AD//BC,

???四邊形ABCD是平行四邊形.

15.BC=2屈

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),勾股定理等知識.由平行四邊形的性質(zhì)可知,A0=；AC=3,

BO=；BD=5,AD=BC,AB=CD,在Rt^AOB中，由勾股定理得AB=一4,求AB的值，在

□△ABC中，由勾股定理即可求得BC的長.

【詳解】解：由平行四邊形的性質(zhì)可知，AO=^-AC=3,BO=^-BD=5,AD=BC,AB=CD,

22

在中，由勾股定理得AB=ylBO2-AO2=4，

在RtAABC中,由勾股定理得BC=y/AC2+AB2=2屈?

16.(1)0和/

1?11

⑵優(yōu)或可

【分析】本題考查的知識點是矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì).

(1)根據(jù)矩形對邊相等的性質(zhì)計算相應(yīng)的周長，判斷是否符合矩寬點定義即可；

(2)根據(jù)矩形對邊相等的性質(zhì)分四種情況進(jìn)行討論即可求解.

【詳解】(1)解：結(jié)合矩形性質(zhì)可得：?.?g+j><2=2=OA,

???點D是矩形ABCO的矩寬點，

???過點E分別作x軸和'軸的平行線，這兩條平行線分矩形ABCO的四個小矩形周長均豐0A,

???點E不是矩形ABCO的矩寬點，

1I-12=]+；12=2=的

二?點F是矩形ABCO的矩寬點.

故答案為：。和尸；

(2)解：若G[九為矩形A5co的矩寬點，結(jié)合矩形性質(zhì)得：

/.2機+2xg=2或2m+2x12-=2或2(4-根)+2xg=2或2(4)+2x[2—g]=2,

11113

解得”2=±3或藁或(，

?.?G為矩形內(nèi)