2024北京重點校高二（上）期末匯編：橢圓

2024北京重點校高二（上）期末匯編

橢圓

一、單選題

22

1.（2024北京延慶高二上期末）“1〈機<2”是“方程+工=1表示橢圓”的（）

2-mm-1

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

22

2.（2024北京通州高二上期末）已知橢圓。:=+2=1（°>8>0）的左右焦點為耳,耳，上下頂點為環(huán)島，

ab

若四邊形月耳乙鳥為正方形，則橢圓C的離心率為（）

A.aB.@C.—D.-

、222

22

3.（2024北京延慶高二上期末）已知P是橢圓土+乙=1上的動點，則尸到橢圓的兩個焦點的距離之和為（）

94

A.3B.4C.2A/5D.6

22

4.（2024北京豐臺高二上期末）已知橢圓C:工+上=1的左、右焦點分別為尸一尸2,點尸在橢圓C上.若

94

/用第二90。，貝IJ△耳尸鳥的面積為（）

A.2B.4C.8D.9

22

5.（2024北京豐臺高二上期末）已知橢圓=匚+”―=1的焦點在x軸上，則機的取值范圍是（）

m-37-m

A.3<m<7B.3<m<5C.5<m<7D.m>3

22

6.（2024北京大興高二上期末）橢圓二+匕=1的長軸長為（）

94

A.4B.5C.6D.9

22

7.（2024北京海淀高二上期末）已知P為橢圓C:土+與=1上的動點.A（-l,0）,B（l,0）,且|PA|+1P51=4,

4b

則k二（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

8.（2024北京西城高二上期末）已知橢圓三+/=1的兩個焦點分別為耳，F(xiàn)2,若點P在橢圓上，且

4"

“尸6=90。，則點P到x軸的距離為.

9.（2024北京人大附中高二上期末）在平面直角坐標系中，過（LD且斜為左的直線/的方程為,聯(lián)

立該直線/方程與橢圓方程1+丁=1,消去》可以得到關(guān)于x的一元二次方程為..

10.（2024北京延慶高二上期末）橢圓3/+4/=12的長軸長為.

11.（2024北京石景山高二上期末）方程J（x一3＞+/+"（x+3）2+明=10表示的曲線是,其標準

方程是.

12.（2024北京大興高二上期末）畫法幾何的創(chuàng)始人法國數(shù)學家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂

直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓

C:二+^=1（。＞6＞。）的離心率為坐，耳凡分別為橢圓的左、右焦點，A,2為橢圓上兩個動點.直線/的方程

為bx+ay-a?-b2=0.給出下列四個結(jié)論：

2

①C的蒙日圓的方程為尤2+y2=3b；

②在直線/上存在點P,橢圓C上存在A8,使得

③記點A到直線/的距離為d,則A片的最小值為挈/,；

④若矩形MNGH的四條邊均與C相切，則矩形MNGH面積的最大值為6b2.

其中所有正確結(jié)論的序號為.

丫2

13.（2024北京海淀高二上期末）己知四邊形ABC。是橢圓M:L+丫？=1的內(nèi)接四邊形，其對角線AC和即

2'

交于原點0,且斜率之積為-g.給出下列四個結(jié)論：

①四邊形9CD是平行四邊形；

②存在四邊形ABC。是菱形；

③存在四邊形ABCD使得ZAOD=91°；

64

④存在四邊形ABCD使得|AC『+13D，=m.

其中所有正確結(jié)論的序號為.

14.（2024北京民大附中高二上期末）橢圓。+丁=1的離心率是.

三、解答題

22

15.（2024北京民大附中高二上期末）已知橢圓0彩+4=1（。＞人0）過點4-2,0）,且。=勸.

ab

⑴求橢圓CO的方程；

（2）設(shè)。為原點，過點C（l,0）的直線/與橢圓。交于P,。兩點，且直線/與x軸不重合，直線AP,A。分別

與y軸交于N兩點.求證|,|ON|為定值.

22_

16.（2024北京延慶高二上期末）已知橢圓E：3+斗=1（。＞6＞0）的短半軸長為1,焦距為2后.

ab

（1）求橢圓E的離心率；

（2）設(shè)橢圓E的右頂點為A,過點尸（4,0）且斜率為Kk*0）的直線交橢圓E于不同的兩點B,C,直線AB,AC分

別與直線尤=4交于點MN.求|PM|+|PN|的取值范圍.

22

17.（2024北京順義高二上期末）已知橢圓氏'+馬=1與y軸的一個交點為4（0,1）,離心

ab

率為正.

2

⑴求橢圓E的方程；

(2)設(shè)過點A的直線/與橢圓E交于點B,過點A與/垂直的直線與直線x=1交于點C.若VA3C為等腰直角

三角形，求直線/的方程.

22

18.(2024北京昌平高二上期末)己知橢圓C:"+三=1的上頂點為3,圓0:r+/="〃>0).對于圓°,

給出兩個性質(zhì)：

①在圓。上存在點P,使得直線3P與橢圓C相交于另一點A,滿足詡=2而；

②對于圓0上任意點。，圓。在點。處的切線與橢圓C交于M,N兩點，都有。0LON.

(1)當月=1時，判斷圓0是否滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②；(直接寫出結(jié)論)

(2)已知當時，圓。滿足性質(zhì)①，求點A和點尸的坐標；

(3)是否存在使得圓。同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，若存在，求出”的值；若不存在，說明理由.

22

19.(2024北京大興高二上期末)已知橢圓C:1+當=l(a>b>0)的上、下頂點為屋，瓦，左、右焦點為,

ab

四邊形瓦片層居是面積為2的正方形.

⑴求橢圓C的方程；

(2)若尸是橢圓C上異于用,當?shù)狞c，判斷直線尸片和直線尸層的斜率之積是否為定值？如果是，求出定值；

如果不是，請說明理由；

2

(3)已知圓/+/=§的切線/與橢圓c相交于2E兩點，判斷以O(shè)E為直徑的圓是否經(jīng)過定點？如果是，求

出定點的坐標；如果不是，請說明理由.

20.(2024北京東城高二上期末)已知橢圓C：點N住，-"在C上.

⑴求橢圓C的方程；

(2)過點尸(0,2)作與x軸不垂直的直線/,與橢圓C交于不同的兩點A,8,點。與點A關(guān)于x軸對稱，直線

與x軸交于點。，。為坐標原點、若△OP。的面積為2,求直線/的斜率.

22

21.(2024北京海淀高二上期末)已知橢圓C：2+方=1(。>6>0)的焦距為4A歷，下頂點A和右頂點3的

距離為W，

⑴求橢圓C方程；

(2)設(shè)不經(jīng)過右頂點的直線/：、=履+相交橢圓C于兩點P,。，過點尸作無軸的垂線交直線A3于點￡),交直

線8。于E,若點。為線段尸E的中點，求證：直線/經(jīng)過定點.

22.(2024北京石景山高二上期末)已知橢圓C:「+[=l(a>b>0)過點A(瘋0),且離心率《=漁.

ab3

⑴求橢圓C的方程；

(2)/為橢圓C的右焦點，尸為直線x=3上一點，過點歹作PF的垂線/交橢圓C于M,N兩點，連接。尸與M/V

交于點H(0為坐標原點).求W\MH\的值.

22

23.(2024北京平谷高二上期末)已知橢圓C:=+匕=1(/>3)的左右焦點分別為《，F(xiàn)2,設(shè)橢圓C上一

a3

點尸(不與左右頂點重合)，直線PK與橢圓的另一個交點為。，且A色￡的周長為6.

(1)求橢圓c的標準方程；

(2)已知點A為橢圓的左頂點，直線AP,AQ分別與直線x=4交于〃，N兩點.試判斷：以"N為直徑的圓

與直線尸居的位置關(guān)系，并說明理由.

24.(2024北京平谷高二上期末)已知橢圓C：m+4=l(a>b>0)的左右頂點距離為2而，離心率為也.

ab2

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設(shè)過點(0,1),斜率存在且不為。的直線/與橢圓C交于A,3兩點，求弦A5垂直平分線的縱截距的取值

范圍.

22

25.(2024北京通州高二上期末)已知橢圓C：A+3=l,點A,JB為橢圓C的左右頂點G4點在左)，MB|=4,

ab

離心率為心.

2

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過點(-1,0)的直線/與橢圓C交于V,N(與A,8不重合)兩點，直線AM與3N交于點P,證明：點尸

在定直線上.

26.(2024北京西城高二上期末)已知橢圓E：5+*l(a>b>0)過點4-2,0),8(2,0),離心率為?.

⑴求橢圓E的方程；

(2)設(shè)點尸(2,2),直線以與橢圓E的另一個交點為C,0為坐標原點，判斷直線。尸與直線BC的位置關(guān)系，

并說明理由.

丫221

27.(2024北京101中學高二上期末)已知橢圓C*+方的離心率為右焦點為尸，點A(a,0),

且|Ab|=l.過點廠的直線/(不與x軸重合)交橢圓C于點MN,直線M4,N4分別與直線尤=4交于點尸,。.

⑴求橢圓C的方程；

(2)判斷點A與以PQ為直徑的圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)求AAMN面積的最大值.

22

28.(2024北京西城高二上期末)設(shè)橢圓。:=+當=1(。>6>0)左、右焦點分別為用B，過耳的直線與橢

ab

圓C相交于A8兩點.已知橢圓C的離心率為;,AA8區(qū)的周長為8.

⑴求橢圓C的方程；

(2)判斷x軸上是否存在一點對于任一條與兩坐標軸都不垂直的弦A3,使得叫為AAMB的一條內(nèi)角

平分線？若存在，求點M的坐標；若不存在，說明理由.

22

29.(2024北京西城高二上期末)己知橢圓C*+方=l(a>b>0)的一個焦點為(后0),四個頂點構(gòu)成的

四邊形面積等于12.設(shè)圓(x-1了+/=25的圓心為尸為此圓上一點.

(D求橢圓C的離心率；

(2)記線段與橢圓C的交點為。，求|尸0的取值范圍.

22

30.(2024北京豐臺高二上期末)已知橢圓卯：1+谷=1(°>萬>0)的左、右頂點分別為A,B,上頂點為

ab

C,VABC的面積為2,橢圓W的離心率為

2

(1)求橢圓W的方程；

(2)橢圓W上不同于頂點的兩點M,N關(guān)于V軸對稱，直線AAf與直線BC交于點P,直線AN與直線8C交

\AP\

于點。.設(shè)點火(2,2),求的值.

22

31.(2024北京大興高二上期末)已知橢圓C:?+q=l與經(jīng)過左焦點汽|的一條直線交于A,8兩點.

(1)若F?為右焦點，求AAB乙的周長；

(2)若直線的傾斜角為：，求線段的長.

4

22

32.(2024北京海淀高二上期末)己知橢圓石:二+3=1(°>6>0)的兩個頂點分別為A(-2,0),3(2,0),離心

ab

率e=g,尸(%,%)(%片0)為橢圓上的動點，直線尸4尸8分別交動直線X-于點C,D,過點C作尸8的垂線

交無軸于點H

⑴求橢圓E的方程；

(2)炭.而是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.

22

33.(2024北京房山高二上期末)已知橢圓C：二+2=1(。>6>0)的一個焦點為(2,0),一個頂點為(0,0).

ab

⑴求橢圓C的方程和離心率；

(2)已知直線/與橢圓C相切于點直線/交y軸于點N,0為坐標原點，|OM|=|ON|,求"W的面積.

22

34.(2024北京北師大附中高二上期末)己知橢圓C:=r+[v=l(a>6>0)的右頂點42,0),尸為橢圓C上

ab

的動點，且點P不在x軸上，。是坐標原點，AAOP面積的最大值為1.

(1)求橢圓C的方程及離心率；

(2)過點的直線也與橢圓C交于另一點。，直線AP,AQ分別與y軸相交于點E,凡當|跖|=2時，

求直線產(chǎn)”的方程.

參考答案

1.B

22

【分析】根據(jù)“1＜小＜2”與“方程二一+工=1表示橢圓”的互相推出關(guān)系判斷出屬于何種條件.

2-mm-1

3r2v2

【詳解】當1＜相＜2時，取加=：,止匕時二一+工=10/+丁=2,故方程表示圓；

22-mm-1

2-m>0

22

當方程一^+工=1表示橢圓時，貝人m-1>0

2-mm-1

2-機wm-1

解得｛機1＜根＜^或T＜根＜2；,

此時;加1＜加或"I＜根＜2

是｛間1＜機＜2｝的真子集,

所以或T＜m＜2｝可推出｛m|1〈機＜2｝；

22

綜上可知，"l＜m＜2”是“方程+工=1表示橢圓”的必要而不充分條件,

2-mm-1

故選：B.

2.C

【分析】根據(jù)四邊形耳與耳色為正方形得到b,c的關(guān)系，結(jié)合離心率計算公式求解出結(jié)果.

【詳解】因為四邊形片8石魚為正方形，所以國閶=|g囪，所以%=c,

故選：C.

3.D

【分析】根據(jù)橢圓方程求解出。的值，再由橢圓定義可知結(jié)果.

【詳解】由橢圓方程可知：a=3,

由橢圓定義可知：尸到橢圓的兩個焦點的距離之和為2a=6,

故選：D.

4.B

【分析】根據(jù)題意，由橢圓的定義，得到|尸司+歸川=6,再由勾股定理得歸周2+|尸圖2=20,聯(lián)立方程組,

求得仍耳歸詞=8,結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.

22__________

【詳解】如圖所示，橢圓C:/+?=l,可得。=3,6=2,則。=77萬=行，

因為點尸在橢圓C上，可得|「耳|+|尸閭=6,

又由/耳尸耳=90。,可得|尸球+|尸球=|居圖2=06)2=20,

|P周印啊=6

聯(lián)立方程組可得|「制9|=8,

陷f+|PK『=20

所以“尸耳的面積為5尸用忸段=4.

【分析】根據(jù)橢圓的標準方程，列出不等式組，即可求解.

m-3>0

22

【詳解】由橢圓二一+3^=1的焦點在X軸上，則滿足7-%>。，解得5〈根<7.

m-37-m。一

m-3>/-m

故選：C.

6.C

【分析】由橢圓的方程即可得出答案.

22

【詳解】由二+工=1可得"=9,則2“=6.

94

故選：C.

7.C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的定義，得到點P的軌跡表示以為焦點的橢圓，進而求得/的值.

【詳解】因為解T0),3(1,0),可得|朋=2,則|陽+|閉=4>|加=2,

由橢圓的定義，可得點尸的軌跡表示以A8為焦點的橢圓，

其中2a=4,2c=l,可得。=2,c=l,所以/="一。？=3,

22

又因為點P在橢圓C:二+與=1,所以/=3.

4b2

故選：C.

8.^/-V3

33

【分析】設(shè)出夕點坐標，由/耳尸6=90。，可得兩?朋=0,結(jié)合月點在橢圓上計算即可得.

【詳解】設(shè)尸(加，〃)，由橢圓J+y2=l可得用-"0)、B(6,0),

有PF[=^-y/3-m,-nj,PF2=(百一九-九)

由/耳%=90。,

22

故PF】?PF2=^3—+〃2=m+n—3=0,

2

由尸（北〃）在橢圓上，故有（+/=i,即/=4（1-叫，

故機2+〃2_3=m2=4（1—〃2）+〃2—3=0,解得,2=；,

故〃=±1，故點尸到X軸的距離為走.

33

故答案為：通

3

9.y=k（x-1）+1（4左2+1）%2+（-842+8/）尤+4左2-8左=0

【分析】由直線的點斜式方程可得；將直線方程代入橢圓方程消元化簡可解.

【詳解】根據(jù)題意，直線的點斜式方程為y-i=Hx-i）,

化簡為y=左（尤-1）+1,

y=無（尤-1）+1

聯(lián)立方程組尤2,

——+V=1

14

消去y,得（4公+1卜2+（-8左2+8k）x+4k2—8左=0.

故答案為：y=笈（x-i）+i；^k2+l）x2+（-8^2+8k）x+4k2-8k=0

10.4

【分析】將橢圓方程化為標準方程，根據(jù)橢圓的性質(zhì)計算即可.

22

【詳解】由3/+4/=12=3+（=1,

顯然橢圓的焦點在橫軸上，其實軸長為2x/=4.

故答案為：4

22

11.橢圓—+^=1

2516

【分析】根據(jù)橢圓的定義即可得解.

【詳解】方程J（尤-3）2+y2+J（x+3）2+y2=io,

表示點P（x,y）到4（3,0）,3（-3,0）兩點的距離之和等于10,而10>6,

所以方程J（x-3）2+y2+7（x+3）2+y2=10表示的曲線是橢圓，

且長軸長2〃=10,焦距2c=6,所以。=5,c=3,

所以半短軸長b=，/2-02=4,

22

所以其標準方程為土+匕=1.

2516

22

故答案為：橢圓；—+^=1.

2516

12.①②④

【分析】由。（。,6）在蒙日圓上可得蒙日圓的方程，結(jié)合離心率可得匕關(guān)系，由此可知①正確；由/過尸伍,。）

且〃色”）在蒙日圓上，可知當A8恰為切點時，PA±PB,知②正確；根據(jù)橢圓定義可將d-|A耳I轉(zhuǎn)化為

d+\AF^-2a,可知月A，/時，取得最小值，由點到直線距離公式可求得d+1A4|最小值，代入可

得d-|4工|的最小值，知③錯誤；由題意知，蒙日圓為矩形MNGH的外接圓，由矩形外接圓特點可知矩形

長寬與圓的半徑之間的關(guān)系Y+y2=1262,利用基本不等式可求得矩形面積最大值，知④正確.

【詳解】對于①，過。（a,3可作橢圓的兩條互相垂直的切線：x=a,y=b,

：.Q（a,b）在蒙日圓上，.?.蒙日圓方程為x2+y2=a2+b2,

由e=￡=J1-。<72=2b2>

a\a2

???<7的蒙日圓方程為/+產(chǎn)=3/,故①正確；

對于②，由/方程知：/過P（6,。），

22

又尸修⑷滿足蒙日圓方程，，尸9,a）在圓尤2+y=3b±,

當A3恰為過尸作橢圓兩條互相垂直切線的切點時，PA±PB,故②正確；

對于③，：A在橢圓上，.FAG1+1Ag1=2”，

/.d-1AF2\=d-（2a-\AFX|）=d+1AFt\-2a,

當月A，/時，d+1AKI取得最小值，最小值為耳到直線/的距離，

S,K,,,|—be—a~—b^||—b~—7.b"-b~\4^/3.

又K到直線i的距禺4=—/,—=------耳-----,

A（d-\AF21）nin=^-b-2a,故③錯誤;

對于④，當矩形的四條邊均與C相切時，蒙日圓為矩形的外接圓，

...矩形MNGH的對角線為蒙日圓的直徑，

設(shè)矩形的長和寬分別為人〃，則/+儲=nb2,

22

二矩形MNGH的面積S=mn<’獷；獷=6b2,當且僅當m=〃=卡時取等號，

即矩形MNG”面積的最大值為6r,故④正確.

故答案為：①②④.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查圓錐曲線中的新定義問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)蒙日圓的定義，結(jié)合

點（4,6）在蒙日圓上，得到蒙日圓的標準方程，從而結(jié)合圓的方程來判斷各個選項.

13.①③④

【分析】利用橢圓的對稱性判斷①；利用菱形的對角線互相垂直可判斷②；利用正切函數(shù)的和差公式與性

質(zhì)判斷③；利用斜率關(guān)系得到的表達式，然后利用基本不等式求IAC『+|皮）『的最大值，可

判斷④.

【詳解】因為四邊形ABCD是橢圓加：一+丁=1的內(nèi)接四邊形，AC和交于原點0,

2

由橢圓的對稱性可知=|。。且|。理=|。力，

所以四邊形A5CD是平行四邊形，故①正確；

假設(shè)對角線AC和8。的斜率分別為加卷,

若四邊形A5CD是菱形，則其對角線互相垂直，即甲4-1,

而這與勺矛盾，所以不存在四邊形ABCD是菱形，故②錯誤;

不妨設(shè)直線AC的傾斜角為a,直線的傾斜角為夕，且。＞力，

171

貝Utana=ktanJ3=k>0,又％也=一4,則勺=一王二,

v2J

則Win")==(PT

X00<ZAOD<180°,貝!]90°<NA8<120°,

所以存在四邊形ABCD使得NAOD=91。，故③正確;

直線AC的方程y直線BD的方程y=^x,

y=kxx

由J，得爐+2-2,…叼2，可得x"=E2

I2-

222

同理可得XB~XD=2左2+]>

2,；+1)2、;；_+1,

211

貝IJ。4『+031=-----------------1-----------------=2+---o-----1-----Z----，

2腎+12片+12片+12代+1

由勺.履=一：,得層=擊,令（=，代=：（/>0）,

3%yt

2

n?|OA|+\OB^=2+-^—+—^—=2+—^—+-^—

則2t+l2+i2/+19r+2

9t

=3+六+'3+塔間

5t=3+—1—<3+5=3+3

=3+

18/+13F+255,

18r+-+132J18r-+13

711

當且僅當18公：,即:；湍2=抬=；時，等號成立;

于是|AC『+|BD|2=（2|OA|）2+（2|OB|）2=4（|OA|2+|OB|2）<y,

當且僅當父=后=（,即四邊形ABC。矩形時，等號成立，

64

所以存在四邊形438使得IAC『+12?！?彳，故④正確.

故答案為：①③④.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題結(jié)論④的解決關(guān)鍵是利用弦長公式得到IACF+|a）|2關(guān)于/的表達式，從而利用基

本不等式即可得解.

14.迪

3

【解析】利用題目所給的標準方程，求出。涉，然后求解。，即可求解離心率.

【詳解】解：橢圓。+丁=1的長半軸為。=3,短半軸為8=1,

則半焦距為0=囪m=2夜，

所以橢圓的離心率為：e=±=空,

a3

故答案為：述.

3

【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題型；解題方法是根據(jù)橢圓標準方程

的性質(zhì)分別逐步求出c，然后再求出離心率；解題的關(guān)鍵點是根據(jù)e=￡求出離心率.

a

15.(吟+丁=1

(2)證明見解析

【分析】(1)由題可得。=2,進而得出6=1,即可得出橢圓方程;

(2)先考慮直線斜率不存在時，可得|OM|-|QN|=g,當斜率存在時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓，得

出韋達定理，得出直線AP的方程，可表示出M坐標，同理表示出N的坐標，進而利用韋達定理可求出

\OM\-\ON\.

【詳解】(1)因為橢圓。過點4-2,0),所以。=2.

因為。=如，所以8=1.

2

r

所以橢圓。的方程為土+產(chǎn)1.

4

(2)當直線/斜率不存在時，直線/的方程為x=l.

不妨設(shè)此時尸(1，孝)，Q(i，-9)，

所以直線AP的方程為y邛(x+2),即服(04).

直線AQ的方程為>=一骼意+2),即N(0,_f).

所以|OM|-|ON|=g.

當直線/斜率存在時，設(shè)直線/的方程為y=Mx-1),

y=k(x-V)

由"],得(4左2+1)%2—8左2%+4左2—4=0

I4,

依題意，△>().

次2止一4

設(shè)尸(須，％),Q(x,y),則占+%

22EF無也=訴1

又直線”的方程為L六-2),

即M(0，Wy),同理N。%).

令x=0,得點M的縱坐標為

4左2(石—l)(x—1)

所以|OM|“ON|=2

(再+2)(%+2)(%+2)(X2+2)

4左2-4842

24^(+D

_4k\x^x2~(xl+x2)+1]_4/+14公+1

石工2+2(石+/)+44P-416V/

+4

4V+14V+1

4k\4k2-4-8k2+4k2+1）_V2k^￡

442-4+1642+16左2+4_36?3

綜上，10Ml-|0N|為定值，定值為g.

【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：

(1)得出直線方程，設(shè)交點為4(X1，%)，B(x2,y2)；

(2)聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于x(或')的一元二次方程；

(3)寫出韋達定理；

(4)將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為玉+々，占尤2形式；

(5)代入韋達定理求解.

16.⑴且

2

(2)(26\+8)

【分析】(1)由短半軸，焦距及儲=〃+，求解出〃力,。，再根據(jù)離心率公式即可得解；

(2)設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理表達出1PMl+WM=g,結(jié)合左2求得答案.

b=\

【詳解】(1)依題意知2c=2/，解得°=2/=l,c=g,

a2=b2+c2

所以離心率e=￡=；

a2

(2)由(2)得，橢圓E的方程為1+尸=1,則4(2,0),

設(shè)直線BC的方程為y=左(彳一4)(左手0),

y=%(％-4)

聯(lián)立2［得（1+4左2）%2_32k2X+64k2-4=0,

彳

1

A=(32左2)7—40+4女2)(6442—4)=160—12左2)>0,得-<一,且,

設(shè)%）,C（%2,丫2），玉<2,%2<2,

32k1264k2-4

則x+x=，V2

l2U4F1+442

設(shè)Af（4,間,N（4,〃）,依題意有:三=°],，小

因為％%=1（％-4）（々一4）>0,

所…三J〉。,

所以1PM+|尸'|=帆+網(wǎng)=|加+“=2M+2%

2人(%]—4)2左—4)1$+%-4

4k

xxx2-2(%+%)+4

32k2

----y-A4

]_______1+4〃_________

4k

64%2―4個32k之A詞’

-----2x---------+4

1+4女21+4女2

因為左2<*,且/wO,所以;j^>2石，

所以|PM|+|PN|的取值范圍是（2石,+ooj.

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：

（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；

（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

17.（1）^-+/=1

⑵y=；x+l或y=-；x+]

【分析】（1）根據(jù)橢圓上的點和離心率求出橢圓方程；

（2）方法1,設(shè)出/的方程與橢圓聯(lián)立方程組，求出點氏C的坐標，根據(jù)VABC為等腰直角三角形列式運

算得解；方法2,過點A作直線x=l的垂線，垂足為。，再過點B作直線AD的垂線，垂足為凡易判斷

AABF=^CAD,可得怛同=|AD|=I,求出點B坐標，得解.

b=\

【詳解】(1)由已知得￡=g解得°2=4,/=1.

a2

a2=b2+c2

所以橢圓E的方程為三+V=1.

4.

(2)方法1：由題意可知，直線/與y軸不垂直，

又當/與x軸垂直時，顯然|AMN|AC|.

所以，設(shè)直線/的方程為y=^+i(上片0),

聯(lián)立方程，消去丫整理得(l+4%2)/+8"=0(*)，易得A>0,

_Rk_OE2

設(shè)點*X。,%),則由點A(o,l)及方程(*)的根與系數(shù)的關(guān)系得不=[/，%=a+1=二%+1,

_8k)2J-8甘

222

??.IAB|=(x0)+(y0-l)1+4*+11+4左2

因為所以直線AC的方程為y=-gx+l,

k

將尤=1代入，解得y=l-%故點C的坐標為-J

.?,|AC|2=l2+(-1)2=l+-^.

由VA5C為等腰直角三角形知|AB|=|AC|,即(『I1r]+(=1+3,

11+4K)I1+T-/C]K

化簡整理得64/=(1+4公。即8左2=1+4后2,解得/=±g

所以直線/的方程為>=；x+l或>=一<尤+L

方法2：

由題意可知，直線/與y軸不垂直，又當/與x軸垂直時，顯然|AB|w|A。.

過點A作直線x=l的垂線，垂足為。，再過點8作直線AD的垂線，垂足為E

因為AC_L/W,所以NC4D+NB4/=90。.

當|AB|=|AC|時，易判斷△AF/UAC4D.所以忸4=|AT>|=1.

由%=1,求得力=0，

由此可知點B的坐標為(-2,0)或(2,0),

1-0

直線/的斜率4=

0-(-2)20-22

所以直線/的方程為y=；x+i或>=一<尤+L

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問方法二，關(guān)鍵利用點A到直線x=l的距離為1,利用圖形構(gòu)造全等三角形得

到點B的坐標為(-2,0)或(2,0),得到直線/的方程.

18.(1)當〃=1時,圓。滿足性質(zhì)①，不滿足性質(zhì)②

4747

(2)A(4,1),P(-,-)或A(-4,1),P(--,-)

⑶存在，n=6

【分析】(1)依題意，直接判斷判斷圓。是否滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②寫出結(jié)論；

(2)依題意，設(shè)出產(chǎn),4,根據(jù)西=2所列方程，結(jié)合點尸在圓。上，A在橢圓C上，求出AP坐標；

(3)依題意，分。在(±6,0)和2不在(士?,0)兩種情況，結(jié)合性質(zhì)①和性質(zhì)②列方程，求出”的值.

當〃=1時，圓。滿足性質(zhì)①，不滿足性質(zhì)②.

理由：依題意知，B(0,3),當”=1時，取圓。上點P坐標為(0,1),此時4(0,-3),

1,BP=(0,-2),此時西=2而，滿,足性質(zhì)①，

,此時坐標分別為1,浮」1,一空，

此時作圓。的切線，切線方程為X=1

___?―.J34(A/34^115

此時OM-QV=lxl+Jx—匚=——。0,此時與QV不垂直,不滿足性質(zhì)②，

212J2

綜上，當〃=1時，圓。滿足性質(zhì)①，不滿足性質(zhì)②.

由橢圓C的上頂點為B,得B（o,3）.

由〃=曰時，圓。滿足性質(zhì)①，

設(shè)點P（%0，%），A（c,d）（-3<d<3）.

PA=(c-x0,d-y0),3P=(%,為—3).

c

c—XQ—,31

由麗=2所得即《

=2(%-3),d+6

%=-3

由點P在圓。上，A在橢圓C上，得

22_65

°‘°9'化簡得/-12d+H=0,解得d=l或d=ll(舍).

?+2J2=18,

d—1,d=1,

c=4,c=-4.

_4

所以x—±或<

*一3，B-35

77

存在〃=6,使得圓。同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②.

下面進行證明：

當點。在（±6,0）時，圓。的切線方程為x=±M.設(shè)”（不，乂）"（刈必）.

22

當X=6時，代入橢圓方程二+匕=1解得/=9（1-9.

18918

----—?n

因為OM_LON,所以O(shè)M?0N=%%2+X%=〃一9(1)=0,解得〃=6.

18

此時符合題意

當了=-?時，同理，解得"=6.

所以，若圓。滿足性質(zhì)②，則必有〃=6成立.

當點。不在（士?,0）時，圓。的切線的斜率必存在，設(shè)其方程為>=米+帆.

mr-

直線MN與圓￡+9=6相切，所以'=/,=J6,化簡得〃=6/+6.

y=kx+m,

由|爐2得(2左2+1)*2+4左如+2根2_18=0.

---1----1

1189

由4=16而療-4(28+1)(2療—18)>0,得病<18尸+9.

4km21-18

%2=一為,'=刀寸?

2

OMON=XyX2+yty2=x^x^+(kxl+m)(kx2+in)=(Jc+1)&%2+Am(x1+x2)+m,

嗯黑〃2八2疝-18I,4km、3m2-18^-18

所以?ON=(左2+1)--——+km(——--)+m22=-------------

2二+12廿+12/+1

因為蘇=6左2+6,所以加?麗=0，即OM