2024年上海高一數(shù)學試題分類匯編：期中解答壓軸題（第6-7章）（解析版）

專題04期中解答壓軸題(第6-7章)

題型1：存在性、恒成立問題

1.(22-23高一下?上海閔行?期中)已知函數(shù)/1(x)=sin(2x+0)(0<0<7i)

⑴當。=：時，求函數(shù)V=/(x)的最大值，并求出取得最大值時所有X的值;

7T7T

⑵若小)為偶函數(shù)，設g(x)=/(x)-/a+。，若不等式Ig(x)-機|<2在xe[0,勺上恒成立，求實數(shù)

m的取值范圍；

2

⑶若/(%)過點H，h(x)=cosx+2d;sinx,若對任意的演￡[一、申，x2G[0,^-],都有

〃(再)</(%)+3,求實數(shù)〃的取值范圍.

【答案】(1)1,%—kuH—,kGZ

8

【分析】(1)由題意可得/(x)=si“2x+；J,由正弦函數(shù)的性質求解即可；

(2)由題意可得/(%)=cos2x,g(x)=sin[2x+/],將問題轉化為m-2<g(x)min,且g(x)max<2+m

IT

在X￡[0q]上恒成立，結合正弦函數(shù)的性質即可求解;

（3）由題意可得將問題轉化為〃（再）1mx＜/（%濡+3結合正弦函數(shù)的性質及二次函數(shù)性質求解.

【解析】（1）當。=:時，〃x）=sin2x+-,

I4丁

所以當2x+至=2左兀+4,左￡Z,即x=kn+—,kZ時，所以/(x)max=l,此時x=kji+—,kGZ；

4288

（2）因為/（x）=sin（2尤+夕）（0＜。＜71）為偶函數(shù)，所以0=5,

所以/(x)=cos2x,

所以g(x)=/(x)-/(%+四)=cos2x-cos2x+—71

6I6

6r=Uos2x+直in2x=sin(lx+8,

=cos2x--cos2x-——sin2x

2222I6)

7

71

又因為Ig(x)-M<2在]￡[0,-]上恒成立,

即-2＜g（x）-加＜2在工￡[0,自上恒成立,

所以加-2＜g（x）＜2+:〃在龍€[0,自上恒成立,

所以??-2<g(x)min,且g(x)1mx<2+加在xe[0,；]上恒成立,

1,c一；,加+2）1,

因為X€[0,￡],所以左+^右邑?],所以g(x)=sin2x+-e-----,1,1TI—2

2666I6J2

3

解得-\<m<—

2

的取值范圍為11,j；

所以m

71所以71兀)，

（3）因為因%）過點l=sin[m+910<9<9=2

3

所以/(%)=sinf2x+^L

又因為“電與，所以23+梟邑芻

2ooo

所以/(x)=sin,11

22''

又因為對任意的國x2e[0,^],都有〃（再）＜/（%）+3成立,

所以"(無Jmax</(尤2)疝11+3,"(xJmax<_弓+3=,

〃(％)=cos2x+2asim;-sin2x+2asim:+1=tz2+1-(sinx-a)

因為王所以sinx1G[-l,l],

設t=siwc}ef-1,1],

則有8?)=/+1_。一。)2圖像是開口向下，對稱軸為公。的拋物線,

當時，g")在上單調遞增，所以g(f)M=g(l)=2a,

所以2a解得a＜g

24

所以

4

當QW-1時，g(。在作［-1,1］上單調遞減，

所以g⑺max=g(T=—2%

所以一"總解得

所以a＜-\］

當一時，g?)max=g(a)="+"

所以解得-如＜.＜逅所以一1＜。＜1,

222

25_

綜上所述：所以實數(shù)a的取值范圍為

444?4

【點睛】關鍵點點睛：關鍵點是把恒成立轉化為〃(再)皿＜/(X2)mM+3結合正弦函數(shù)的性質及二次函

數(shù)性質求解即可.

2.(22-23高一下?上海松江?期中)已知函數(shù)/(x)=asinx+6cosx+csinxcosx+l(a,6,ceR).

(1)當。=b=o,c=l時，求函數(shù)y=/(x)的單調增區(qū)間;

(2)當“=1,c=0時，設g(x)=/(x)T,且函數(shù)gS)的圖像關于直線x=^7r對稱，將函數(shù)y=g(x)的

6

7T

圖像向右平移/個單位，得到函數(shù)y=〃(x),求解不等式〃(X)NI；

6

⑶當〃=3,6=2,。=0時，若實數(shù)冽，〃，2使得萬(%)+4(x-p)=l對任意實數(shù)％恒成立，求

cosp

的值.

2023m+A?

TTjr

【答案】(1)+-,keZ

-21

(2)2kn,—Tt+2hi,keZ

1

⑶—

1012

【分析】(1)根據(jù)題意得到〃x)=gsin2x+l,結合正弦型函數(shù)的性質，即可求解；

⑵根據(jù)題意得到:+曰6=Vi壽，求得6=5得至ljg(x)=2sin[x+"結合圖象的變換求

得Mx)=2sin(x+￡|,由不等式以x)21,即sin口+即可求解；

(3)化簡得到/(x)=VT^sin(x+e)+l,求得/(x-2)=JI5sin(x+e-p)+l,轉化為

V13(m+ncosp)sin(x+(p)~y/13nsinpcos(x+^9)+(m+H-1)=0,得到方程組，分類討論，即可求解.

【解析】(1)解：當=。=1時，可得函數(shù)/(x)=sinxcosx+l=；sin2x+l,

jrjrJI7T

令2E——<2x<2kn-\--,keZ,所以單調增區(qū)間為kn——，左兀+―,kwZ,?

22L44_

(2)解：當。=1,。=0時，可得g(x)=sinx+bcosx=ar^sin(x+。)，其中tan9=6,

因為g(x)關于直線x=B對稱，

6

可得g(x)111ax即:+卓6="77,解得b=

\6/22

所以g(x)=sinx+Gcosx=2sinL+yj,

71

將函數(shù)＞=g(x)的圖像向右平移9個單位，得到函數(shù)秋x)=2sinX+-

6

由h(x)>1,即sin1%+巴］2工，貝?。菔?2左兀<%+—<—7t+2H,kGZ

v6)2666

2

解得2左兀<x<y7T+2左兀,keZ,

2

所以不等式的解集為2億]兀+2E(左wZ)；

(3)解：當。=3,b=2,c=0時，貝ij/(x)=3sinx+2cosx+1,

可得/(x)=y/13sin(x+e)+1,則/(x-p)=V13sin(x+9-p)+1,

jr2

其中0<。<5且tan0=§,于是a(%)+4(x—P)=l,

可化為V13msin(x+9)+y/13nsin(x+0一2)+加+〃=1,

BPy113msin(x+9)+A/13ZZsin(x+cp)cosp-y/13nsinpcos(x+°)+(冽+〃-1)=0,

所以y/13(m+ncosp)sin(x+夕)-V13?sinpcos(x+0)+(冽+〃-1)=0.

m+?cos/7=0---(l)

由已知條件，上式對任意xeR恒成立，故必有sin2=0…(2)

m+n-l=0…⑶

若〃=0,則由(1)知加=0,顯然不滿足(3)式，故〃。0,

所以由(2)知sin0=0,故p=2E+兀或4=2析,左EZ,

當p=2E時，cos/?=1,貝!J(1)、(3)兩式矛盾，

故p=2左力+肛上EZ,cos夕=一1由(1)、(3)知加=〃=工，

題型2：零點問題

3.(2L22高一下?上海閔行?期中)已知函數(shù)/(x)=sin(g+9)(0>O,O</<;r)的最小正周期為打，且直

線是其T圖T象的一條對稱軸.將函數(shù)了=/(x)的圖象向右平移。TT個單位，再將所得的圖象上每一

點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍所得的圖象對應函數(shù)記作y=g(x),令函數(shù)

F(x)=/(%)+Ag(x).

⑴求函數(shù)〉=g(x)的函數(shù)解析式；

(2)求函數(shù)、=尸(工)的最大值及相對應的x的值；

(3)若函數(shù)尸(x)=/(x)+4g(x)在(0,加r)內恰有2021個零點,其中常數(shù)XeR,求常數(shù)X

與”的值.

【答案】(l)y=g(x)=sinx；

(2)答案見解析；

(3)A=-1,77=1347.

【分析】(1)根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期公式和對稱軸方程，結合正弦型函數(shù)圖象的變換性質進

行求解即可；

(2)根據(jù)二倍角的余弦公式，根據(jù)二次函數(shù)的性質分類討論進行求解即可；

(3)利用換元法，結合正弦函數(shù)的性質和一元二次方程根的分布分類討論進行求解即可.

【解析】(1)因為函數(shù)f(x)=sin(ox+°)(o>0)的最小正周期為萬,

27r

所以有乃=——=>G=2,即/(%)=sin(2x+cp),

co

Jr

又因為直線X=-曰是〃無)=sin(2x+0)圖象的一條對稱軸，

7TIT34

所以有2x(-y)+°=左〃+,(左￡Z)n夕=上乃+—(kGZ),

冗7E

因為0<°<?，所以令左=_1,則°=',即/(x)=sin(2x+5)=cos2x,

TT

因為函數(shù)>=/(%)的圖象向右平移二個單位，再將所得的圖象上每一點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)?/p>

4

原來的2倍所得的圖象對應函數(shù)記作V=g(x),

所以V=g(x)=sinx；

(2)F(x)=/(x)+Ag(x)=cos2x+2sinx=1-2sirix+2sinj

=^>F(x)=-2(sinx-2+F1,

212

當一14:41時，即一4WX44時，F(xiàn)(x)max=—+1,

止匕時sinx=—,即x=2A：7r+arcsin—(A:cZ)或、=2左;r+乃一arcsin一(左GZ)；

444

當W〉1時，即4>4時，=1-2+2=4-1,

止匕時sinx=l,Bpx=Ikn+—(keZ)；

當<—1時，即％<—4時，F(xiàn)(x)=1-2-2=-2-1,

4max

3萬

止匕時sinx=-l,即x=2kji+—(kGZ),

120

綜上所述：當一44244時，F(xiàn)(x)max=—+1,止匕時x=2br+arcsini(A：￡Z)

X

或x=2左九+萬一arcsin一(左￡Z)；

4

jr

當％>4時，F(xiàn)(x)max=1-2+2=2-1,止匕時x=2左乃+萬(左EZ)；

3%

當幾<一4時，/(X)max=1—2—4=一4一1,止匕時X=2k7l+—(kGZ);

(3)F(x)=/(x)+2g(x)=cos2x+Asinx=l-2sin5;+Asinx=0,

設sin%=1,1],貝!h—2『+加=0=2/—加―1=0,

該方程的判別式八=萬+8>0,

所以該方程有實根，設為(由，柩2=-;<0,顯然兩根為異號，

若。<，1|<1,0<匐<1時,則方程sinx=%,sinx=f2在(0,〃%)內都有偶數(shù)個根，

所以方程1-2siMx+2sinx=0有偶數(shù)個根，不符合題意；

若4=1，則，2=—2，此時4=1,

當XE(0,2?)時，sinx=4只有一個根，sinx=，2有兩個根，

所以1一2sin2x+4sin%=0有三個根，由于2021=3x673+2,

所以l-2sin2x+4sinx=0在％￡(0,1346m內有3x673=2019個根，

由于方程sin%=4在％￡(1346肛1347萬)內只有一個根，sinx=t2沒有實根,

所以方程l-Zsin?x+2sinx=0在％?(0,1347%)時有2020個實根，不符合題意；

若%=-1,則馬=；，此時2=T，

當xe(0,2%)時，sin尤=%只有一個根，sinxf有兩個根，

所以1一2sin2x+%sin%=0有三個根，由于2021=3x673+2,

所以l-Zsin?x+4sinx=0在％￡(0,1346%)內有3x673=2019個根，

由于方程sinxf在％￡(1346匹1347%)內沒有實根根，sinAj有兩個實根，

所以方程l-Zsin?x+2sinx=0在(0,1347萬)時有2021個實根，符合題意；

若兩個根有一個絕對值大于1，則另一個根絕對值大于零且小于L有偶數(shù)個根，不符合題意，

綜上所述：2=-1,〃=1347.

【點睛】關鍵點睛：利用換元法，根據(jù)一元二次方程實根的分布結合正弦函數(shù)的性質分類討論是解

題的關鍵.

4.(19?20高一下?上海徐匯?期中)已知函數(shù)/(x)=4sinxcos(x+g)+G,

⑴化簡/W至!J歹=4sin(Gx+夕)+5(4>0,6W>0,|^|<y),并求最小正周期；

ITIT

⑵求函數(shù)/⑴在區(qū)間上的單調減區(qū)間；

46

⑶將函數(shù)/(X)圖像向右移動2TT個單位，再將所得圖像上各點的橫坐標縮短到原來的“(0<“<1)倍得

0

到y(tǒng)=g(x)的圖像，若y=g(x)在區(qū)間[TH上至少有100個最大值，求。的取值范圍.

TT

【答案】(l)/(x)=2sin(2x+§),最小正周期是萬；

(2)[—

120

4

(3)(0,—].

199萬

【分析】(1)根據(jù)給定條件利用和角的余弦公式、二倍角的正弦、余弦公式，輔助角公式變形即可得

解.

(2)利用(1)的結論結合正弦函數(shù)的單調性列式計算作答.

⑶利用(1)的結論結合給定的變換求出g(x)的解析式，再借助gG)的性質列式計算作答.

【解析】(1)依題意，

/(%)=4sincosx-sinx)+VJ=2sinxcosx+V3(l-2sin2x)=sin2x+百cos2x=2sin(2x+-j),

其中①=2,則T=3="，

CD

rr

所以〃x)=2sin(2x+§),最小正周期是萬.

(2)由(1)知，當-工WxvX時，一工V2x+工W主,則由工W2x+工W紅得二WxV工，

46633233126

即/(X)在巨白上單調遞減，

126

所以函數(shù)/⑴在區(qū)間勺上的單調減區(qū)間是啜,勺.

46126

TTTC

(3)由(1)知，/(x)=2sin(2x+-),將函數(shù)/⑴圖像向右移動二個單位所得函數(shù)為y=2sin2x,

36

2

于是得g(x)=2sin—x,則g(x)的周期為a兀，

a

因V=g(x)在區(qū)間［T,1］上至少有100個最大值，則在長為2的區(qū)間［-1,1］上至少有99.5個周期，

44

因止匕，a〃x99.5W2,解得----,而于是得-----,

1997r199〃

4

所以。的取值范圍

【點睛】思路點睛：涉及求正(余)型函數(shù)在指定區(qū)間上的單調性問題，先根據(jù)給定的自變量取值區(qū)

間求出相位的范圍，再利用正(余)函數(shù)性質列出不等式求解即得.

5.(2223高一下?上海浦東新?期中)已知函數(shù)/(無),g(x)是定在R上的函數(shù)，且滿足關系

g(x)=/(x”(x+￡］.

(1)若/(x)=binx|+cosx,若xe0,g,求了=g(x)的值域；

(2)若/(x)=|sinx|+cosx,存在x^eR,對任意xeR,有g(±)Vg(x)Vg(x2)恒成立，求|再-0

的最小值；

⑶若/(x)=cosx+sinx,要使得尸(x)=asinx+g(x)在(0,時eN*)內恰有2022個零點，請求出

所有滿足條件的。與〃.

【答案】⑴卜1』

..371

⑵彳

⑶當℃(一1,1)時，〃=1011；當0=±1時，”=1348；當ae(-s,-l)U(l,+s)時，n=2022.

【分析】(1)求出函數(shù)V=g(x)的解析式，即可得出在xe0假上的值域；

(2)化簡函數(shù)＞=g(x),通過對應圖像即可得出g(xj4g(x)Wg(X2)恒成立，求|再-引的最小值;

(3)化簡函數(shù)V=g(x),設"sinx將y=g(x)轉化為二次函數(shù)，將零點問題轉化為圖像與x軸的

交點問題，通過討論二次函數(shù)的周期性，即可得出在(0,"冷(〃eN*)內恰有2022個零點，所有滿足

條件的。與

【解析】(1)由題意，

在/(x)=binx|+cosx中，+=sin+cos)=|cos彳-sin

在8卜)=/(。/6+5)中，

g(x)=/(x)./[x+曰=Qsin|+cos|-sin)=gincos|-sincos-sins|inX|-FCOS乂osx|

當相嗚時，g(x)=|sinxcosx|-sinxcosx-sinx^inx|+cosx|:osx|=cos2x-sin2x=cos2隼￡1,1],

，y=g(x)的值域為：[TJ].

(2)由題意及(1)得，xeR

在g(x)-Isinxcosxl-sinxcosx-sin/sin*+cos*cos彳中,

兀

①當2人兀,2kjiT—(keZ)gpsinx>0,cosx>0,

2

g(x)=sin2x-cos2x=-cos2x,

函數(shù)在定義域上單調遞減

g3mm=g[M+,=T，g(da、=gQ砌=1,

jr

②當2kTl+—,2k7l+TlREZ)即sinx>0,cos%<0時,

g(x)=-2sinxcosx-cos2x-sin2x=-sin2x-1,

TT37r

函數(shù)在2析+5,則+了依eZ)單調遞增,

37r

在2包+~^,2配+兀(左￡Z)單調遞減,

=g(2fer+]

g(x)min=g(2hr+K)=-l,g(x)max=g(2foi+7i)=0,

3兀

③當X€2左兀+兀，2^71+—(keZ)即sinx<0,cosx<0時，g(x)=-cos2x+sin2x=-cos2x,

2

3兀

函數(shù)在2hi+7i,2kn+—依eZ)上單調遞增,

=g(2far+與

g(x)mn=g(2H+7i)=-l,g(x)max二1,

3兀

④當尤e2祈+晝，2阮+2兀(左EZ)艮flsinx<0,cos%>0時,

g(x)=-2sinxcosx+sin2x+cos2x=-sin2x+1,

37r77r

函數(shù)在2hi+—,2A：7i+—REZ)單調遞增,

77f

在2阮+~^,2阮+2兀(左eZ)單調遞減，

=gf2fer+^=g(2航

g(x)mM

=g(2E+2兀)=1,g(xmax二2,

二函數(shù)g(x)是周期為2兀的周期函數(shù)，圖像如下:

存在AZCR,對任意尤eR,有g(xj4g(x)4g(x2)恒成立,

???g(x)mm=g(xj，g(x)max=g(x2)

3元

.?.當ki-Xzl最小時，由圖像可知，卜-％1mhi=彳，

(3)由題意，x€(0,"7t)(〃eN*),

/［x+'f)=0。，［x+］)+sin［不吟］=-sinx+cos兀

在/(x)=cosx+sinx中,

在8⑺二/卜上/^+曰中，

g(x)=/(x)?/%+—=(cosxsinx)(-sinxccsx)=cos&-sin3;=cos2,

在F(x)=asinx+g(x)中,F(x)=qsinx+cos2x-sin2x=-2sin2%+asin%+1,

*.*T7(x+2兀)=一2sin2(x+2兀)+asin(x+2兀)+1=—2sin2%+asinx+1=f(x),

設sinx=/，=—2/2+at+1,

???函數(shù)是以2兀為周期的周期函數(shù)，尸⑺在［0,2可上最多與x軸有1-2個交點,

:在［0,2司周期內,y=sinx與歹=%有r2個交點,

/.F(x)=-2sin2x+asinx+1在［0,2兀］上有1~4個交點，

,若在(0,力勸(〃WN*)內恰有2022個零點，則">1,sinx=才e［-1,1］,

在尸(。=一2戶+a?+l,fe［0,2;r］中，

當，=sinx=±l即］=不或％=—,止匕時，=sinx有1個交點，

22

①當函數(shù)尸(才)有兩個零點;"2時，

若廿2均不為-1和1,此時V=，與歹=sinx有2個交點，則尸(x)在［0,2兀］有4個交點,

F(-l)=-2x(-l)2+ax(-1)+1<0

解得：-\<a<\,

F(l)=-2xl2+axl+l<0

,當有2022個交點時，"=(2022+4*2兀+兀=1011,ae(-l,l)

若有一個為-1或1,此時歹=，與V=sinx有2個交點，則b(x)在［0,2兀］有3個交點,

F(-l)=-2x(-l)2+ax(-1)+1<0

解得：a=1,

F(l)=-2xl2+axl+l=0

F(-l)=-2x(-l)2+ax(-1)+1=0

或，，解得:a=—\,

F(l)=-2xl2+axl+l<0

,當有2022個交點時，"=(2022-3)x2兀+兀=1348,a=±l,

②當函數(shù)尸(。有一個零點時，此時，=，與>=sinx有1個交點，則尸(x)在［0,2可有2個交點,

F（-l）=-2x（-l）2+tzx（-1）+1<0

,解得:a>\,

F（l）=-2xl2+6zxl+l>0

或r（-l）=-2x（T）2+ax（_l）+l>0

,解得:a<—1y

F（l）=-2xl2+axl+l<0

當有2022個交點時，〃=(2022-2)x27t+7i=2022,ae(-oo,-l)U(1,+＜?),

綜上：

當時，〃=1011；

當.=±1時，〃=1348；

當ae(-oo,-l)U(l,+℃)時，n=2022.

【點睛】關鍵點點睛：三角函數(shù)，三角函數(shù)的圖像，二次函數(shù)，零點問題等，考查學生的作圖能力,

三角函數(shù)的恒等變換能力，分段函數(shù)的應用及去絕對值的能力，具有極強的綜合性.

題型3：證明題

6.(2021高一下?上海寶山?期末)若定義域為R的函數(shù)了=為(x)滿足：對于任意xeR,都有

A(x+2^)=A(x)+/z(2^),則稱函數(shù)y=右(x)具有性質p.

⑴設函數(shù)y=f(x),尸g(x)的表達式分別為/(x)=sinx+x,g(x)=cosx,判斷函數(shù)了=/(尤)

與＞=g(x)是否具有性質尸，說明理由;

(2)設函數(shù)y=/(x)的表達式為/(x)=sin(0x+0),是否存在0＜。＜1以及一萬＜S(萬，使得函數(shù)

了=玩11(3;+/)具有性質產？若存在，求出0,。的值；若不存在，說明理由；

(3)設函數(shù)了=〃尤)具有性質P,且在［。,2兀］上的值域恰為［〃0),/(2%)］；以2%為周期的函數(shù)

y=g(x)的表達式為g(x)=sin(/(x)),且在開區(qū)間(0,20)上有且僅有一個零點，求證：八2%)=27.

【答案】(1)函數(shù)了=/(x)具有性質P,V=g(x)不具有性質P,理由見解析；(2)不具備，理由

見解析；(3)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)具有性質P的定義依次討論即可得答案；

(2)假設函數(shù)片〃力具有性質P,則有〃0+2萬)=/(0)+〃2萬)，即〃0)=0,進而得

〃x)=sin(s),再根據(jù)〃2覬)=〃0)+"(2》)="(27)并結合函數(shù)的值域為［-1,1］得〃2%)=0,

1Y

故此時f（x）=sin5,在驗證y=f（x）不具有性質?，進而得到答案；

（3）結合（2）,并根據(jù)題意得〃2］）=左1（keZ）,進而得y=/（x）在［0,2可的值域為

［0,左句（/及左＞0）,當月＞2時，與產g（x）零點唯一性矛盾得左=1或左=2,再討論當左=1時不

成立得上=2,即f（27r）=27r.

【解析】（I）函數(shù)y=/（x）具有性質p,y=g（x）不具有性質尸，說明如下：

/（x+2"）=sin（x+2"）+x+2乃=sinx+x+2"，

/（x）+/（2%）=sinx+x+2i,

對任意xeR,都有/（x+2萬）=/（x）+/（2萬），

所以＞=/卜）具有性質P,

g（x+2%）=cos2x,/z（x）+/z（27r）=cos2x+l,

所以g（x+2萬）W/;（X）+/Z（2I）,

所以V=g（x）不具有性質P；

（2）若函數(shù)y=/（x）具有性質尸,

則有/（0+2萬）=/（0）+/（2萬），即/（0）=0,

于是sin夕=0,結合一乃＜夕＜乃知夕=0,

因此/'（x）=sin（0x）；

若/（2萬）/0,不妨設〃2句＞0

由〃x+2萬）=〃x）+/（2萬）可知：

/（2厄r）=〃0）+弁（2萬）=的2萬）（記作*）,其中左eZ

只要上充分大時，虹（2%）將大于1

考慮到y(tǒng)=/（x）的值域為為［-1』，等式（*）將無法成立，

綜上所述必有/（2萬）=0,即sin（2M）=0；

再由0<G<1,0<2a)7r<In,從而2G萬=?，而&

1v-x.x

當0=5時，/(x)=sin—,/(尤+2%)=sin+7r=-sm—

~2

而/(x)+/(2%)=sing,顯然兩者不恒相等(比如x=9時)

2，

綜上所述，不存在0<0<1以及一萬<夕<萬使得y=/(X)具有性質P；

(3)由函數(shù)>=/(x)具有性質P以及(2)可知"0)=0,

由函數(shù)y=g(x)是以2萬為周期的周期函數(shù)，有g(2i)=g(0),

即sin(/(2萬))=sin(/(0))=0,也即/(2%)=丘(左eZ)

由"0)=0,/(2%)=0及題設可知

y=/(x)在［0,2司的值域為［0,k兀］乒小>0)

當后>2時，當/卜)=乃及/(x)=2萬時，均有g(x)=sin(/(x))=0,

這與零點唯一性矛盾，因此左=1或左=2,

當左=1時，/(2萬)=萬,了=/(x)在［0,2兀］的值域為［0,句

止匕時/(x+27)=

于是了=/(無)在［2匹4句上的值域為忱2句，

由正弦函數(shù)的性質，此時sin(/(x))當xe［0,2句時和x?2匹4句的取值范圍不同，

因而k=2,即/(2%)=2n.

【點睛】本題考查函數(shù)的新定義問題，考查邏輯推理能力，運算求解能力，是難題.本題解題的關鍵

在于正確理解具有性質P的函數(shù)的定義，利用定義，結合反證法，分類討論思想等討論求解.

7.(2022?上海嘉定?一模)已知函數(shù)了=/(x)的定義域為區(qū)間〃，若對于給定的非零實數(shù)相，存在％,

使得/(%)=/(%+皿)，則稱函數(shù)V=/(尤)在區(qū)間。上具有性質尸(%).

⑴判斷函數(shù)/(x)=x2在區(qū)間［-1,1］上是否具有性質吧，并說明理由；

⑵若函數(shù)〃x)=sinx在區(qū)間(0,〃)(">0)上具有性質求〃的取值范圍;

⑶已知函數(shù)了=/(無)的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且〃0)=/'⑵，求證：函數(shù)了=/(x)在區(qū)間［0,2］

上具有性質產

【答案】（1）具有性質PI,理由見解析

5乃

(2)——,+oo

8

⑶證明見解析

【分析】（1）由題可得,則毛=-；，結合條件即得;

(2)由sin/=sin[%￡,解得/=左乃+紅，xo+—=k7l+—G（0,HGN）,可得〃〉旦，即

8488

得;

（3）設g（x）=/（x）-/1x+；j,xe0,1,可得

g（o）+gg|+…+g］F■卜…+g0=/^）-/0>°，當g（o）、g］；］、…、g（Y］、…、gg］

中有一個為0時，可得i"1,2,3,…,6},即證；當g（O）、g］￡|、…、

…、g］￡|中均不為。時，由于其和為0,則其中必存在正數(shù)和負數(shù),不妨設g［一］>0，g［—］<0,

結合條件可知，存在看,g（xo）=/（xo）-/Lo+1j=O,即證.

【解析】（1）函數(shù)/'（尤）=X2在［-1,1］上具有性質PI

21

若%；=(%+5|，則/=-“

因為一;?-15,因一;+;=覆一1』,

所以函數(shù)/（x）=x2在卜1,1］上具有性質尸（￡）.

（2）解法1：由題意，存在x（）e（O,〃），使得sin%=sin1/+?

得/+?=玉）+2左萬（舍）或與+?=2左笈+?—％0（左￡Z）,

37r

則得%=左左+?.

O

34

因為演）=左=+——>0,所以左EN.

8

34TT5TE

又因為％o=k兀?-----G（0,〃）且為4——=左"+——G（0,〃）（左eN）,

848

所以〃>三,即所求〃的取值范圍是

解法2：當0<〃M.時,函數(shù)/(x)=sinx,xe(O,〃)是增函數(shù),

所以不符合題意;

當時，因為直線x=?是函數(shù)/(x)=sinx的一條對稱軸,

而函數(shù)/(x)=sinx在區(qū)間(0,〃)(〃>0)上具有性質產71

所以2H一!^兀

解得〃>苧，即所求"的取值范圍是(七,+8

81X

（3）設g（x）=/（x）-4x+；1,xe0,|

則有g(o)=〃。)-佃，g乙卜佃-dI)⑴,

8申=/0八2）（丘｛1,2,3,「6｝）.

以上各式相加得g（O）+gQj+…+gJ+…+g^-|j=/（2）-/（0）

即g（0）+g[J+…+gj+…+g=0，

（i）當g（0）、g[[、…、g[9]、…、g]￡|中有一個為0時,不妨設g[一]=O,Z6{123,…,6},

iw{1,2,3,…,6},

所以函數(shù)了=/(x)在區(qū)間［0,2］上具有性質尸「

5

（ii）當g（。）、gI一、g中均不為0時，由于其和為0,

則其中必存在正數(shù)和負數(shù)，不妨設4亍J>0,

其中z,刁，z?、/e{1,2,3,…,6}.

由于函數(shù)y=g(x)的圖像是連續(xù)不斷的曲線，所以當，</時，至少存在一個實數(shù)然%當

時，至少存在一個實數(shù)/其中八八｛1,2,3,…,6｝,使得g(x°)=0,即

8(/)=/(/)一71/+：］=(),

即存在%,使得/(Xo)=/［xo+g］,

所以函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[o,2]上也具有性質尸KJ.

綜上，函數(shù)y=在區(qū)間[0,2]上具有性質P

題型4：新定義題

8.(2021高一下?上海寶山?期中)已知函數(shù)y=/(x),xe。，如果對于定義域。內的任意實數(shù)x,對

于給定的非零常數(shù)〃?，總存在非零常數(shù)八恒有"X+7)=M"X)成立，則稱函數(shù)〃x)是。上的周

期為7的加級類周期函數(shù).

(1)已知了=/(尤)是[0,+s)上的周期為1的加級類周期函數(shù)，且了=/(無)是[0,+⑹上的嚴格增函數(shù),

當xe[0,l)時，/(x)=2S求實數(shù)加的取值范圍；

(2)設函數(shù)Ax)是我上的周期為1的2級類周期圖數(shù)，且當xe(0,l]時，/(x)=x(x-l).若對任意

Q

xe(-oo,m],都有求用的取值范圍；

(3)是否存在實數(shù)左，使函數(shù)/(x)=cos"是尺上的周期為T的T級類周期函數(shù)，若存在，求出實

數(shù)上和T的值，若不存在，說明理由.

7

【答案】(1)[2,+8)；(2)m<--(3)答案見解析；

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)定義有/■(x)=z#(x-l),易得xe[”,〃+l)時工(x)=——2E(〃eN*),根據(jù)已

知條件有“Z>0且加"?2“">m"'24(片)即可求加的范圍；

(2)由函數(shù)定義有xe(2,3]時再結合題設函數(shù)不等式恒成立、二次函數(shù)的性質，求加

的范圍；

(3)由題意cos左(x+T)=Teosfoe恒成立，討論左=0、左/0分別求對應左值.

【解析】(1)由加級類周期函數(shù)定義知：f(x+X)=mf(x),即〃x)=〃礦(x-l)

.?.當xe[l,2)時,工(無)=M21,…，當xw[〃,"+l)時，f<x)=m"-2，f(ncN*),

?：y=/(x)是[0,+s)上的嚴格增函數(shù)，且xe[0,1)上/(%)單調遞增，

nxn

.?.加>0且m-2->/t-,解得m>2,

me[2,+co).

(2)由題設：/(x)=2/(x-l),而尤e(0,l]時/(x)=x(x-l)e[-5,0],

.?.當xe(1,2],即x-1e(0,1]時/(x)=2(x-l)(x-2)e[-1,0],

當X￡(2,3],即X—1E(1,2]時f(x)=4(x-2)(x-3)G[-1,0],

o7g

3x0e(2,3],使4(尤o-2)(Xo-3)=-§,解得/=§或%=§

o7

對任意xe(-oo,〃4都有則機4].

(3)若存在，貝！Jf(x+7)=7f(x),即cos4(x+T)=Teosfar恒成立，

當左=0時，7=1；

當后片0時,cos左(x+T)e[—1,1],則T=±1,

若T=l,cosA-(x+l)=cosfoe,可得左=2〃萬(〃eZ,”w0),

若T=-l,cos4(x+1)=-cosfcc,可得上=(2"+l)萬(〃eZ),

綜上，T=1時左=2〃%(〃eZ)；T=-l時后=(2〃+1)萬(〃eZ).

【點睛】關鍵點點睛：利用加級類周期函數(shù)的定義確定相應區(qū)間上的函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的單調

性、函數(shù)不等式恒成立、存在性問題求參數(shù).

9.(22.23高一下?上海徐匯?期中)對于函數(shù)/(X)(xe。)，若存在非零常數(shù)T,使得對任意的xe。，

都有/(x+7”/(x)成立，我們稱函數(shù)〃x)為"7函數(shù)"，若對任意的xe。，都有〃x+T)>/(x)成

立，則稱函數(shù)/(無)為"嚴格T函數(shù)

(1)求證：/(x)=sinx,xeR是"7函數(shù)”；

(2)若函數(shù)〃同=丘+疝2》是段函數(shù)"，求上的取值范圍；

⑶對于定義域為R的函數(shù)/(x),/(0)=0,函數(shù)siW(x)是奇函數(shù)，且對任意的正實數(shù)7,sinf(x)

均是“嚴格T函數(shù)若〃。)=],=求a+6的值

【答案】(1)證明見解析

2

⑵[―,+00)

兀

⑶。

【分析】(1)取非零常數(shù)7=2兀，證明函數(shù)滿足/(x+T"〃x)即可；

(2)根據(jù)函數(shù)/(xXAx+sin2%是〃1?函數(shù)〃，可推出《(x+1^+sin21x+&2Ax+sin2x恒成立，化

JT

簡為,左N-cos2x,結合余弦函數(shù)性質可得答案；

(3)由"嚴格T函數(shù)”的定義可知函數(shù)為單調遞增函數(shù)，再結合sii/(x)是奇函數(shù)，利用其對稱性即

可求得答案.

【解析】(1)證明：取非零常數(shù)T=2兀，

則對任意的xeR,都有f(x+27t)=sin(x+27t)=sinx,

因為sinxNsinx,即/'(尤+7)?成立，

故/(x)=sinr,尤eR是"T函數(shù)

(2)函數(shù)〃x)=b+sin2x是《函數(shù)"，D=R,

貝1J+2/(x),即左++sin[x+12立+sin。,

■7T

整理得一左2—cos2x,而cos2xe[—l,l],

2

IT2

故

271

2

即左的取值范圍為[—，收)；

兀

(3)因為對于任意尤eR,對任意的xe。，都有/卜+7)>/(x)成立，

則/(x)在R上為單調增函數(shù)，

令g(x)=siW(x),xeR,由題意知g(x)=sii/(x)為奇函數(shù)，

因為/(“)=]，Z(6)=-p

所以g(a)=sin(/(a))=1,g(b)=sin(/(6))=-1,

所以g(a)+g(6)=0,則a+b=O.

【點睛】關鍵點睛：本題是給出新的函數(shù)定義，然后根據(jù)該定義解決問題，解答此類題目的關鍵是

理解新定義，明確其含義，根據(jù)其含義明確函數(shù)的性質，繼而解決問題.

題型5：取值范圍問題

10.(2223高一下?上海浦東新?期中)定義有序實數(shù)對(a,6)的"跟隨函數(shù)"為

/(x)=asinr+bcosx(xeR).

⑴記有序數(shù)對Q—l)的"跟隨函數(shù)"為/W，若/(無)=0,無e[0,2可，求滿足要求的所有x的集合；

⑵記有序數(shù)對(0,1)的"跟隨函數(shù)"為加)，若函數(shù)g(x)=/(》)+小sin4xeQ2可與直線>=上有且僅

有四個不同的交點，求實數(shù)后的取值范圍；

⑶己知a=3,若有序數(shù)對(a,b)的"跟隨函數(shù)"y=/(x)在X=/處取得最大值，當6在區(qū)間(0,6]變化

時，求tan2%的取值范圍.

【答案】(1){:,苧};

(2)[1,2)；

⑶/4后0)

【分析】(1)寫出解析式/⑴,解方程/(Q=0即可;

(2)由題意求得g(x)=cosx+6Mnx|,可分類討論去掉絕對值符號，并化簡函數(shù)式，然后作出函

數(shù)g(x)的圖象，結合函數(shù)圖象可得結論；

(3)寫出〃x),利用輔助角公式得出與(sinx°,cosx。的值)，然后利用二倍角的正切公式、商數(shù)關

系化簡函數(shù)式，利用函數(shù)單調性和不等式的性質得出其取值范圍.

【解析】(1)由題意/(x)=sinx—cosx=0,sinx=cosx,tanx=1,

ji

x=kit+—(kGZ),

又xe[0,2;r],所以x=J或手，即所求集合為盧,乎｝;

4444

(2)由題意/(x)=cosx,則g(x)=cosx+6Mnx|,

]百兀

工￡[0,兀]時，g(x)=cosx+V3sinx=2(—cosx+sinx)=2sin(x+—),

xG(兀,2兀]時，g(x)=cosx-V3sinx=2(—cosx-sinx)=-2sin(x--)，

226

作出函數(shù)y=g(x),尤?0,2可的圖象，如圖，/(X)在[0,守和小，當上遞增，在4,兀)和考,2用上

遞減，/(%"=2,/(0)=/(2無)=1,

由圖