2025高考數(shù)學一輪復習-10.3-隨機事件的概率 古典概型-專項訓練模擬練習【含解析】

2025高考數(shù)學一輪復習-10.3-隨機事件的概率古典概型-專項訓練模擬練習【A級基礎鞏固】一、單選題1．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是()A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“都是紅球”C．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”D．“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”2．甲乙兩人在一座7層大樓的第一層進入電梯，假設每人從第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，則甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和是6的概率是()A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,9)C．eq\f(1,12) D．eq\f(7,36)3．某商家為了吸引顧客，促銷商品，推出消費滿額砸金蛋的活動．某顧客共獲得2次砸金蛋的機會，若該顧客砸金蛋時還剩9個金蛋，其中只有3個金蛋有獎券，則該顧客砸出獎券的概率為()A.eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,12) D．eq\f(7,12)4．某校4名同學參加數(shù)學和物理兩項競賽，每項競賽至少有1名同學參加，每名同學限報其中一項，則兩項競賽參加人數(shù)不相等的概率為()A.eq\f(3,8) B．eq\f(3,7)C．eq\f(5,8) D．eq\f(4,7)5．口袋中有5個白球，3個紅球和2個黃球，小球除顏色不同，大小形狀均完全相同，現(xiàn)從中隨機摸出2個小球，摸出的2個小球恰好顏色相同的概率為()A.eq\f(14,45) B．eq\f(2,3)C．eq\f(2,9) D．eq\f(1,3)6．我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．下圖是在“趙爽弦圖”的基礎上創(chuàng)作出的一個“數(shù)學風車”，其中正方形ABCD內部為“趙爽弦圖”，正方形ABCD外部四個陰影部分的三角形稱為“風葉”．現(xiàn)從該“數(shù)學風車”的8個頂點中任取2個頂點，則2個頂點取自同一片“風葉”的概率為()A.eq\f(3,7) B．eq\f(4,7)C．eq\f(3,14) D．eq\f(11,14)7．三位同學參加某項體育測試，每人要從100m跑、引體向上、跳遠、鉛球四個項目中選出兩個項目參加測試，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是()A.eq\f(1,12) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,12) D．eq\f(7,12)8．從3雙不同的鞋子中隨機任取3只，則這3只鞋子中有兩只可以配成一雙的概率是()A.eq\f(2,5) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,3)二、多選題9．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，A1D1的中點．取點B1，C，E，F(xiàn)，若一條直線過其中兩點，另一條直線過另外兩點，則()A．兩條直線為異面直線是必然事件B．兩條直線互相垂直的概率為eq\f(1,3)C．兩條直線互相平行與互相垂直是對立事件D．兩條直線都與直線AC1垂直是不可能事件10．將4男、4女共8位同學隨機地分成人數(shù)相等的甲、乙兩組，則下列說法正確的是()A．4位女同學分到同一組的概率為eq\f(1,35)B．男生甲和女生乙分到甲組的概率為eq\f(3,14)C．有且只有3位女同學分到同一組的概率為eq\f(32,35)D．4位男同學不同時分到甲組的概率為eq\f(34,35)11．高中某學校對一次高三聯(lián)考物理成績進行統(tǒng)計分析，隨機抽取100名學生成績得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，同時計劃從樣本中隨機抽取個體進行隨訪，若從樣本隨機抽取個體互不影響，把頻率視為概率，則下列結論正確的是()A．學生成績眾數(shù)估計為75分B．考生成績的第75百分位成績估計為80分C．在[90,100]內隨機抽取一名學生訪談，則甲被抽取的概率為0.01D．從[40,50)和[90,100]內各抽1名學生，[70,80)抽2名學生調研，又從他們中任取2人進行評估測試，則這2人來自不同組的概率為0.1312．甲盒中有3個白球，2個黑球，乙盒中有2個白球，3個黑球，則下列說法中正確的是()A．若從甲盒中一次性取出2個球，記X表示取出白球的個數(shù)，則P(X＝1)＝eq\f(3,10)B．若從甲盒和乙盒中各取1個球，則恰好取出1個白球的概率為eq\f(13,25)C．若從甲盒中連續(xù)抽取3次，每次取1個球，每次抽取后都放回則恰好得到2個白球的概率為eq\f(54,125)D．若從甲盒中取出1球放入乙盒中，再從乙盒中取出1球，記B：從乙盒中取出的1球為白球，則P(B)＝eq\f(13,30)三、填空題13．從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為.14．根據(jù)歷史記載，早在春秋戰(zhàn)國時期，我國勞動人民就普遍使用算籌進行計數(shù)．算籌計數(shù)法就是用一根根同樣長短和粗細的小棍子以不同的排列方式來表示數(shù)字，如圖所示．如果用算籌隨機擺出一個不含數(shù)字0的兩位數(shù)，個位用縱式，十位用橫式，則個位和十位上的算籌不一樣多的概率為.縱式：橫式：15．某學校準備舉辦一場運動會，其中運動會開幕式安排了3個歌舞類和3個語言類節(jié)目，所有節(jié)目依次出場，則恰有兩個語言類節(jié)目相鄰的概率為.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．云南省大理州于2023年5月4日至10日成功舉辦了三月街民族節(jié)活動．在活動期間，有6名志愿者報名參加了三月街民族節(jié)志愿服務活動，活動結束后6名志愿者排成一排合影，則甲志愿者不在兩邊，乙、丙志愿者相鄰的概率為.2．2025年四川省新高考將實行3＋1＋2模式，即語文、數(shù)學、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二，共有12種選課模式．假若今年高一的小明與小芳都對所選課程沒有偏好，則他們所選六科中恰有四科相同的概率是()A.eq\f(1,36) B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,12)3．漳州某校為加強校園安全管理，欲安排12名教師志愿者(含甲、乙、丙三名教師志愿者)在南門、北門、西門三個校門加強值班，每個校門隨機安排4名，則甲、乙、丙安排在同一個校門值班的概率為()A.eq\f(1,312) B．eq\f(1,311)C．eq\f(1,55) D．eq\f(3,55)4．15個人圍坐在圓桌旁，從中任取4人，他們兩兩互不相鄰的概率是()A.eq\f(30,91) B．eq\f(25,91)C．eq\f(15,91) D．eq\f(10,91)5．樹人學校為推動學校的大課間運動，開始在部分班級中使用一套新的大課間運動體操(記為A類體操)，原來的大課間運動體操記為B類體操，為了了解學生對大課間運動的喜愛程度與使用大課間運動體操類型是否有關，分別對A類體操與B類體操的學生進行了問卷調查，現(xiàn)分別隨機抽取了100個學生的問卷調查情況，得到如下數(shù)據(jù)：喜愛不喜愛A類體操7030B類體操4060(1)請根據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，能否認為大課間運動程度與A類體操和B類體操有關？(2)從樣本的喜愛大課間運動的學生中，按A，B類分層抽取11名學生參加一個座談會，再從中抽取3名學生在學生大課間運動會上發(fā)言，求參加發(fā)言的學生既有喜愛A類體操也有喜愛B類體操的概率．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)α0.050.010.001xα3.8416.63510.828 參考答案 【A級基礎鞏固】一、單選題1．(D)[解析]A中的兩個事件是包含關系，不是互斥事件；B中的兩個事件是對立事件；C中的兩個事件都包含“一個黑球一個紅球”的事件，不是互斥關系；D中的兩個事件是互斥而不對立的關系．2．(C)[解析]將甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)配對，組成6×6＝36種等可能的結果，記事件A＝“甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和是6”，則事件A的可能結果有3種，即A＝{(2,4)，(4,2)，(3,3)}，所以事件A的概率為：P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，故選C.3．(D)[解析]所求概率為1－eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,9))＝eq\f(7,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或P＝\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,6)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,9))＝\f(7,12))).故選D.4．(D)[解析]記“兩項競賽參加人數(shù)不相等”為事件A，則P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),24－2)＝eq\f(4,7).故選D.5．(A)[解析]所求概率P＝eq\f(C\o\al(2,5)＋C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,10))＝eq\f(14,45).故選A.6．(A)[解析]從“數(shù)學風車”的八個頂點中任取兩個頂點的基本事件有Ceq\o\al(2,8)＝28種，其中這兩個頂點取自同一片“風葉”的基本事件有4Ceq\o\al(2,3)＝12種，故所求概率P＝eq\f(12,28)＝eq\f(3,7).故選A.7．(C)[解析]三個同學選擇兩個項目的試驗的基本事件數(shù)有(Ceq\o\al(2,4))3個，它們等可能，有且僅有兩人選擇的項目完全相同的事件A含有的基本事件數(shù)有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,4)(Ceq\o\al(2,4)－1)個，所以有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,4)C\o\al(2,4)－1,C\o\al(2,4)3)＝eq\f(5,12).故選C.8．(C)[解析]所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5).故選C.二、多選題9．(ABD)[解析]因為點B1，C，E，F(xiàn)不共面，所以兩條直線為異面直線，故A正確；過四點的兩條直線共有3種情況，其中僅當一條直線過B1，F(xiàn)，另一條直線過C，E時，這兩條直線相互垂直，故相互垂直的概率為eq\f(1,3)，故B正確；兩條直線互相平行的概率為0，而兩條直線互相垂直的概率小于1，故兩條直線互相平行與互相垂直不是對立事件，C錯誤；B1C，B1E，B1F中，只有B1C與AC1垂直，且當B1C⊥AC1時，EF與AC1不垂直，故D正確．10．(AB)[解析]8位同學隨機地分成人數(shù)相等的甲、乙兩組的不同分法為Ceq\o\al(4,8)·Ceq\o\al(4,4)＝70，A選項，4位女同學分到同一組的不同分法只有2種，其概率為eq\f(2,70)＝eq\f(1,35)，對；B選項，男生甲和女生乙分到甲組的不同分法為Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(4,4)＝15，其概率為eq\f(15,70)＝eq\f(3,14)，對；C選項，有且只有3位女同學分到同一組Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,4)·2＝32種，則有且只有3位女同學分到同一組的概率為eq\f(32,70)＝eq\f(16,35)，錯；D選項，4位男同學同時分到甲組只有1種，其概率為eq\f(1,70)，則4位男同學不同時分到甲組的概率為1－eq\f(1,70)＝eq\f(69,70)，錯，故選AB.11．(AB)[解析]由頻率分布直方圖得，成績在[70,80)的頻率最高，所以估計成績的眾數(shù)為75分，故A正確；因為0.010×10＋0.015×10＋0.020×10＋0.030×10＝0.75，所以估計第75百分位成績?yōu)?0分，故B正確；因為成績在[90,100]內的人數(shù)為100×0.010×10＝10，所以隨機抽取一名學生訪談，甲被抽取的概率為0.1，故C錯誤；由P＝eq\f(2C\o\al(1,2)＋1,C\o\al(2,4))＝eq\f(5,6)知，D錯誤．故選AB.12．(BCD)[解析]P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)，A錯；從甲、乙盒中各取一球恰好取出一個白球的概率為P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,5))＝eq\f(13,25)，B正確；P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,5)C\o\al(1,5))＝eq\f(54,125)，C正確；P(B)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,6))＝eq\f(13,30)，D正確．故選BCD.三、填空題13．[解析]從正方體的8個頂點中任取4個，有n＝Ceq\o\al(4,8)＝70個結果，這4個點在同一個平面的有m＝6＋6＝12個，故所求概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(12,70)＝eq\f(6,35).14．[解析]用算籌隨機擺出一個不含數(shù)字0的兩位數(shù)，個位用縱式，十位用橫式，共可以擺出9×9＝81個兩位數(shù)，其中個位和十位上的算籌都為1的有1×1＝1種；個位和十位上的算籌分別都為2或3或4或5的各有2×2＝4種；共有4＋4＋4＋4＋1＝17種；所以，個位和十位上算籌不一樣多的概率為P＝eq\f(81－17,81)＝eq\f(64,81).15．[解析]節(jié)目出場順序總數(shù)為Aeq\o\al(6,6)，兩個語言類節(jié)目相鄰的安排數(shù)：Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4).所以恰有兩個語言類節(jié)目相鄰的概率為P＝eq\f(A\o\al(3,3)A\o\al(2,3)A\o\al(2,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(3,5).INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．[解析]6名志愿者排成一排合影共有Aeq\o\al(6,6)種排法，而乙、丙志愿者相鄰，甲志愿者不在兩邊的排法有：Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)種排法，故甲志愿者不在兩邊，乙、丙志愿者相鄰的概率為eq\f(C\o\al(1,3)·A\o\al(4,4)·A\o\al(2,2),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,5).2．(B)[解析]兩人所選六科的情況共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝144種情況，由于語文、數(shù)學、英語必選，故所選六科中恰有四科相同的情況，包含以下情況，第一，物理、歷史有一科相同，政治、地理、化學、生物不相同，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12種情況．第二，物理、歷史不相同，政治、地理、化學、生物有一科相同，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝48種情況，所以所求概率P＝eq\f(12＋48,144)＝eq\f(5,12).故選B.3．(D)[解析]將12個人平均分為3組，有eq\f(C\o\al(4,12)·C\o\al(4,8)·C\o\al(4,4),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝Ceq\o\al(4,12)·Ceq\o\al(4,8)種方法，將甲乙丙分在同一組有eq\f(C\o\al(1,9)·C\o\al(4,8)·C\o\al(4,4),A\o\al(2,2)