2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-10.3-隨機(jī)事件的概率 古典概型-專項(xiàng)訓(xùn)練模擬練習(xí)【含解析】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-10.3-隨機(jī)事件的概率古典概型-專項(xiàng)訓(xùn)練模擬練習(xí)【A級基礎(chǔ)鞏固】一、單選題1．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是()A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”C．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”D．“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球”2．甲乙兩人在一座7層大樓的第一層進(jìn)入電梯，假設(shè)每人從第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，則甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和是6的概率是()A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,9)C．eq\f(1,12) D．eq\f(7,36)3．某商家為了吸引顧客，促銷商品，推出消費(fèi)滿額砸金蛋的活動．某顧客共獲得2次砸金蛋的機(jī)會，若該顧客砸金蛋時(shí)還剩9個(gè)金蛋，其中只有3個(gè)金蛋有獎(jiǎng)券，則該顧客砸出獎(jiǎng)券的概率為()A.eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,12) D．eq\f(7,12)4．某校4名同學(xué)參加數(shù)學(xué)和物理兩項(xiàng)競賽，每項(xiàng)競賽至少有1名同學(xué)參加，每名同學(xué)限報(bào)其中一項(xiàng)，則兩項(xiàng)競賽參加人數(shù)不相等的概率為()A.eq\f(3,8) B．eq\f(3,7)C．eq\f(5,8) D．eq\f(4,7)5．口袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，小球除顏色不同，大小形狀均完全相同，現(xiàn)從中隨機(jī)摸出2個(gè)小球，摸出的2個(gè)小球恰好顏色相同的概率為()A.eq\f(14,45) B．eq\f(2,3)C．eq\f(2,9) D．eq\f(1,3)6．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．下圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，其中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”，正方形ABCD外部四個(gè)陰影部分的三角形稱為“風(fēng)葉”．現(xiàn)從該“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的8個(gè)頂點(diǎn)中任取2個(gè)頂點(diǎn)，則2個(gè)頂點(diǎn)取自同一片“風(fēng)葉”的概率為()A.eq\f(3,7) B．eq\f(4,7)C．eq\f(3,14) D．eq\f(11,14)7．三位同學(xué)參加某項(xiàng)體育測試，每人要從100m跑、引體向上、跳遠(yuǎn)、鉛球四個(gè)項(xiàng)目中選出兩個(gè)項(xiàng)目參加測試，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是()A.eq\f(1,12) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,12) D．eq\f(7,12)8．從3雙不同的鞋子中隨機(jī)任取3只，則這3只鞋子中有兩只可以配成一雙的概率是()A.eq\f(2,5) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,3)二、多選題9．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，A1D1的中點(diǎn)．取點(diǎn)B1，C，E，F(xiàn)，若一條直線過其中兩點(diǎn)，另一條直線過另外兩點(diǎn)，則()A．兩條直線為異面直線是必然事件B．兩條直線互相垂直的概率為eq\f(1,3)C．兩條直線互相平行與互相垂直是對立事件D．兩條直線都與直線AC1垂直是不可能事件10．將4男、4女共8位同學(xué)隨機(jī)地分成人數(shù)相等的甲、乙兩組，則下列說法正確的是()A．4位女同學(xué)分到同一組的概率為eq\f(1,35)B．男生甲和女生乙分到甲組的概率為eq\f(3,14)C．有且只有3位女同學(xué)分到同一組的概率為eq\f(32,35)D．4位男同學(xué)不同時(shí)分到甲組的概率為eq\f(34,35)11．高中某學(xué)校對一次高三聯(lián)考物理成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生成績得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，同時(shí)計(jì)劃從樣本中隨機(jī)抽取個(gè)體進(jìn)行隨訪，若從樣本隨機(jī)抽取個(gè)體互不影響，把頻率視為概率，則下列結(jié)論正確的是()A．學(xué)生成績眾數(shù)估計(jì)為75分B．考生成績的第75百分位成績估計(jì)為80分C．在[90,100]內(nèi)隨機(jī)抽取一名學(xué)生訪談，則甲被抽取的概率為0.01D．從[40,50)和[90,100]內(nèi)各抽1名學(xué)生，[70,80)抽2名學(xué)生調(diào)研，又從他們中任取2人進(jìn)行評估測試，則這2人來自不同組的概率為0.1312．甲盒中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙盒中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，則下列說法中正確的是()A．若從甲盒中一次性取出2個(gè)球，記X表示取出白球的個(gè)數(shù)，則P(X＝1)＝eq\f(3,10)B．若從甲盒和乙盒中各取1個(gè)球，則恰好取出1個(gè)白球的概率為eq\f(13,25)C．若從甲盒中連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球，每次抽取后都放回則恰好得到2個(gè)白球的概率為eq\f(54,125)D．若從甲盒中取出1球放入乙盒中，再從乙盒中取出1球，記B：從乙盒中取出的1球?yàn)榘浊?，則P(B)＝eq\f(13,30)三、填空題13．從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為.14．根據(jù)歷史記載，早在春秋戰(zhàn)國時(shí)期，我國勞動人民就普遍使用算籌進(jìn)行計(jì)數(shù)．算籌計(jì)數(shù)法就是用一根根同樣長短和粗細(xì)的小棍子以不同的排列方式來表示數(shù)字，如圖所示．如果用算籌隨機(jī)擺出一個(gè)不含數(shù)字0的兩位數(shù)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，則個(gè)位和十位上的算籌不一樣多的概率為.縱式：橫式：15．某學(xué)校準(zhǔn)備舉辦一場運(yùn)動會，其中運(yùn)動會開幕式安排了3個(gè)歌舞類和3個(gè)語言類節(jié)目，所有節(jié)目依次出場，則恰有兩個(gè)語言類節(jié)目相鄰的概率為.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．云南省大理州于2023年5月4日至10日成功舉辦了三月街民族節(jié)活動．在活動期間，有6名志愿者報(bào)名參加了三月街民族節(jié)志愿服務(wù)活動，活動結(jié)束后6名志愿者排成一排合影，則甲志愿者不在兩邊，乙、丙志愿者相鄰的概率為.2．2025年四川省新高考將實(shí)行3＋1＋2模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．假若今年高一的小明與小芳都對所選課程沒有偏好，則他們所選六科中恰有四科相同的概率是()A.eq\f(1,36) B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,12)3．漳州某校為加強(qiáng)校園安全管理，欲安排12名教師志愿者(含甲、乙、丙三名教師志愿者)在南門、北門、西門三個(gè)校門加強(qiáng)值班，每個(gè)校門隨機(jī)安排4名，則甲、乙、丙安排在同一個(gè)校門值班的概率為()A.eq\f(1,312) B．eq\f(1,311)C．eq\f(1,55) D．eq\f(3,55)4．15個(gè)人圍坐在圓桌旁，從中任取4人，他們兩兩互不相鄰的概率是()A.eq\f(30,91) B．eq\f(25,91)C．eq\f(15,91) D．eq\f(10,91)5．樹人學(xué)校為推動學(xué)校的大課間運(yùn)動，開始在部分班級中使用一套新的大課間運(yùn)動體操(記為A類體操)，原來的大課間運(yùn)動體操記為B類體操，為了了解學(xué)生對大課間運(yùn)動的喜愛程度與使用大課間運(yùn)動體操類型是否有關(guān)，分別對A類體操與B類體操的學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，現(xiàn)分別隨機(jī)抽取了100個(gè)學(xué)生的問卷調(diào)查情況，得到如下數(shù)據(jù)：喜愛不喜愛A類體操7030B類體操4060(1)請根據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為大課間運(yùn)動程度與A類體操和B類體操有關(guān)？(2)從樣本的喜愛大課間運(yùn)動的學(xué)生中，按A，B類分層抽取11名學(xué)生參加一個(gè)座談會，再從中抽取3名學(xué)生在學(xué)生大課間運(yùn)動會上發(fā)言，求參加發(fā)言的學(xué)生既有喜愛A類體操也有喜愛B類體操的概率．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)α0.050.010.001xα3.8416.63510.828 參考答案 【A級基礎(chǔ)鞏固】一、單選題1．(D)[解析]A中的兩個(gè)事件是包含關(guān)系，不是互斥事件；B中的兩個(gè)事件是對立事件；C中的兩個(gè)事件都包含“一個(gè)黑球一個(gè)紅球”的事件，不是互斥關(guān)系；D中的兩個(gè)事件是互斥而不對立的關(guān)系．2．(C)[解析]將甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)配對，組成6×6＝36種等可能的結(jié)果，記事件A＝“甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和是6”，則事件A的可能結(jié)果有3種，即A＝{(2,4)，(4,2)，(3,3)}，所以事件A的概率為：P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，故選C.3．(D)[解析]所求概率為1－eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,9))＝eq\f(7,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或P＝\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,6)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,9))＝\f(7,12))).故選D.4．(D)[解析]記“兩項(xiàng)競賽參加人數(shù)不相等”為事件A，則P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),24－2)＝eq\f(4,7).故選D.5．(A)[解析]所求概率P＝eq\f(C\o\al(2,5)＋C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,10))＝eq\f(14,45).故選A.6．(A)[解析]從“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)頂點(diǎn)的基本事件有Ceq\o\al(2,8)＝28種，其中這兩個(gè)頂點(diǎn)取自同一片“風(fēng)葉”的基本事件有4Ceq\o\al(2,3)＝12種，故所求概率P＝eq\f(12,28)＝eq\f(3,7).故選A.7．(C)[解析]三個(gè)同學(xué)選擇兩個(gè)項(xiàng)目的試驗(yàn)的基本事件數(shù)有(Ceq\o\al(2,4))3個(gè)，它們等可能，有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的事件A含有的基本事件數(shù)有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,4)(Ceq\o\al(2,4)－1)個(gè)，所以有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,4)C\o\al(2,4)－1,C\o\al(2,4)3)＝eq\f(5,12).故選C.8．(C)[解析]所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5).故選C.二、多選題9．(ABD)[解析]因?yàn)辄c(diǎn)B1，C，E，F(xiàn)不共面，所以兩條直線為異面直線，故A正確；過四點(diǎn)的兩條直線共有3種情況，其中僅當(dāng)一條直線過B1，F(xiàn)，另一條直線過C，E時(shí)，這兩條直線相互垂直，故相互垂直的概率為eq\f(1,3)，故B正確；兩條直線互相平行的概率為0，而兩條直線互相垂直的概率小于1，故兩條直線互相平行與互相垂直不是對立事件，C錯(cuò)誤；B1C，B1E，B1F中，只有B1C與AC1垂直，且當(dāng)B1C⊥AC1時(shí)，EF與AC1不垂直，故D正確．10．(AB)[解析]8位同學(xué)隨機(jī)地分成人數(shù)相等的甲、乙兩組的不同分法為Ceq\o\al(4,8)·Ceq\o\al(4,4)＝70，A選項(xiàng)，4位女同學(xué)分到同一組的不同分法只有2種，其概率為eq\f(2,70)＝eq\f(1,35)，對；B選項(xiàng)，男生甲和女生乙分到甲組的不同分法為Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(4,4)＝15，其概率為eq\f(15,70)＝eq\f(3,14)，對；C選項(xiàng)，有且只有3位女同學(xué)分到同一組Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,4)·2＝32種，則有且只有3位女同學(xué)分到同一組的概率為eq\f(32,70)＝eq\f(16,35)，錯(cuò)；D選項(xiàng)，4位男同學(xué)同時(shí)分到甲組只有1種，其概率為eq\f(1,70)，則4位男同學(xué)不同時(shí)分到甲組的概率為1－eq\f(1,70)＝eq\f(69,70)，錯(cuò)，故選AB.11．(AB)[解析]由頻率分布直方圖得，成績在[70,80)的頻率最高，所以估計(jì)成績的眾數(shù)為75分，故A正確；因?yàn)?.010×10＋0.015×10＋0.020×10＋0.030×10＝0.75，所以估計(jì)第75百分位成績?yōu)?0分，故B正確；因?yàn)槌煽冊赱90,100]內(nèi)的人數(shù)為100×0.010×10＝10，所以隨機(jī)抽取一名學(xué)生訪談，甲被抽取的概率為0.1，故C錯(cuò)誤；由P＝eq\f(2C\o\al(1,2)＋1,C\o\al(2,4))＝eq\f(5,6)知，D錯(cuò)誤．故選AB.12．(BCD)[解析]P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)，A錯(cuò)；從甲、乙盒中各取一球恰好取出一個(gè)白球的概率為P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,5))＝eq\f(13,25)，B正確；P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,5)C\o\al(1,5))＝eq\f(54,125)，C正確；P(B)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,6))＝eq\f(13,30)，D正確．故選BCD.三、填空題13．[解析]從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)，有n＝Ceq\o\al(4,8)＝70個(gè)結(jié)果，這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有m＝6＋6＝12個(gè)，故所求概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(12,70)＝eq\f(6,35).14．[解析]用算籌隨機(jī)擺出一個(gè)不含數(shù)字0的兩位數(shù)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，共可以擺出9×9＝81個(gè)兩位數(shù)，其中個(gè)位和十位上的算籌都為1的有1×1＝1種；個(gè)位和十位上的算籌分別都為2或3或4或5的各有2×2＝4種；共有4＋4＋4＋4＋1＝17種；所以，個(gè)位和十位上算籌不一樣多的概率為P＝eq\f(81－17,81)＝eq\f(64,81).15．[解析]節(jié)目出場順序總數(shù)為Aeq\o\al(6,6)，兩個(gè)語言類節(jié)目相鄰的安排數(shù)：Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4).所以恰有兩個(gè)語言類節(jié)目相鄰的概率為P＝eq\f(A\o\al(3,3)A\o\al(2,3)A\o\al(2,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(3,5).INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．[解析]6名志愿者排成一排合影共有Aeq\o\al(6,6)種排法，而乙、丙志愿者相鄰，甲志愿者不在兩邊的排法有：Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)種排法，故甲志愿者不在兩邊，乙、丙志愿者相鄰的概率為eq\f(C\o\al(1,3)·A\o\al(4,4)·A\o\al(2,2),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,5).2．(B)[解析]兩人所選六科的情況共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝144種情況，由于語文、數(shù)學(xué)、英語必選，故所選六科中恰有四科相同的情況，包含以下情況，第一，物理、歷史有一科相同，政治、地理、化學(xué)、生物不相同，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12種情況．第二，物理、歷史不相同，政治、地理、化學(xué)、生物有一科相同，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝48種情況，所以所求概率P＝eq\f(12＋48,144)＝eq\f(5,12).故選B.3．(D)[解析]將12個(gè)人平均分為3組，有eq\f(C\o\al(4,12)·C\o\al(4,8)·C\o\al(4,4),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝Ceq\o\al(4,12)·Ceq\o\al(4,8)種方法，將甲乙丙分在同一組有eq\f(C\o\al(1,9)·C\o\al(4,8)·C\o\al(4,4),A\o\al(2,2)