《工程光學(xué)》課件第2章

第2章球面和球面系統(tǒng)

2.1光線經(jīng)單個(gè)折射球面的折射

2.2單個(gè)折射球面成像放大率及拉赫不變量

2.3共軸球面系統(tǒng)

2.4球面反射鏡

2.1光線經(jīng)單個(gè)折射球面的折射2.1.1符號(hào)規(guī)則如圖2－1所示，折射球面OE為兩種介質(zhì)n和n′的分界面，C為折射球面的球心，CO為球面曲率半徑，以字母r表示。通過(guò)球心的直線為光軸，光軸與球面的交點(diǎn)O稱為頂點(diǎn)。圖2－1光線經(jīng)過(guò)單個(gè)折射球面的折射

從光軸上一物點(diǎn)A發(fā)出一條光線，經(jīng)球面折射后交光軸于A′點(diǎn)，則稱A′點(diǎn)為A點(diǎn)的像。所以，成像問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是光線的傳播問(wèn)題，只要能求得物點(diǎn)發(fā)出的光線的光路，就能知道物經(jīng)過(guò)光學(xué)系統(tǒng)所成的像。

如圖2－1所示，在子午面內(nèi)入射到球面的光線，其位置可由兩個(gè)參量來(lái)確定：一個(gè)是頂點(diǎn)O到光線與光軸交點(diǎn)A的距離，以L表示，稱為截距；另一個(gè)是入射光線與光軸的夾角∠EAO，以U表示，稱為孔徑角。光線AE經(jīng)球面折射后，交光軸于A′點(diǎn)。光線EA′的確定也和AE相似，以相同字母表示兩個(gè)參量，僅在字母右上角加“′”以示區(qū)別，即L′=OA′和U′=∠EA′O，也稱為截距和孔徑角。為了區(qū)別，L和U稱為物方截距和物方孔徑角，L′和U′稱為像方截距和像方孔徑角。為了確切地描述光路中各種量值和光組的結(jié)構(gòu)參量，并使以后導(dǎo)出的公式具有普遍適用性，必須對(duì)各種量值作符號(hào)上的規(guī)定。幾何光學(xué)中的符號(hào)規(guī)定如下：

（1）沿軸線段：如L、L′和r，以球面頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，如果由原點(diǎn)到光線與光軸的交點(diǎn)的方向和到球心的方向與光線的傳播方向相同，則其值為正；反之為負(fù)。光線的傳播方向規(guī)定為自左向右。

（2）垂軸線段：如y和y′，在光軸之上者為正，在光軸之下者為負(fù)。

（3）光線與光軸的夾角U和U′：以光軸為起始邊，從銳角方向轉(zhuǎn)向光線，順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)。

(4)光線和法線的夾角I和I′：以光線為起始邊，從銳角方向轉(zhuǎn)向法線，順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)。

(5)光軸與法線的交角φ：以光軸為起始邊，從銳角方向轉(zhuǎn)向法線，順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)。

（6）折射面之間的間隔d：折射面之間的間隔指由前一面的頂點(diǎn)到后一面的頂點(diǎn)之間的距離。若其方向與光線傳播方向相同，則為正；反之，則為負(fù)。在純折射系統(tǒng)中，d恒為正值。2.1.2光線經(jīng)單個(gè)折射球面的實(shí)際光路的計(jì)算公式

光線經(jīng)單個(gè)折射球面的光路計(jì)算，是指在給定單個(gè)折射球面的結(jié)構(gòu)參量n、n′和r時(shí)，由已知入射光線的坐標(biāo)L和U，求出出射光線的坐標(biāo)L′和U′。

如圖2－1所示，在△AEC中，應(yīng)用正弦定理可得或

（2－1）

由折射定律得

（2－2）

由圖2－1可知

所以

（2－3）

同樣，在△A′EC中應(yīng)用正弦定理有

整理得像方截距為

（2－4）

式（2－1）～（2－4）就是子午面內(nèi)光線光路的基本計(jì)算公式，也稱為實(shí)際光路的計(jì)算公式。當(dāng)n、n′、r和入射光線的參量L、U已知時(shí)，即可求出相應(yīng)的L′和U′。

由式(2－1)～(2－4)可知，當(dāng)L為定值時(shí)，L′是角U的函數(shù)。在圖2－2中，若軸上物點(diǎn)A發(fā)出同心光束，由于各光線具有不同的U角值，所以光束經(jīng)球面折射后，將有不同的L′值，也就是說(shuō)，在像方的光束不和光軸交于一點(diǎn)，即失去了同心性。因此，當(dāng)軸上一寬光束經(jīng)球面折射成像時(shí)，所成的像一般是不完善的，這種現(xiàn)象稱為“球差”。

圖2－2軸上點(diǎn)成像的不完善性

若物點(diǎn)位于物方光軸上無(wú)限遠(yuǎn)處，此時(shí)它發(fā)出的光束可認(rèn)為是平行于光軸的平行光束，即L=-∞,U=0，如圖2－3所示，此時(shí)，光線的入射角可按下式計(jì)算：

（2－5）

其中，h為光線的入射高度。

圖2－3無(wú)限遠(yuǎn)軸上點(diǎn)經(jīng)單個(gè)折射面折射

2.1.3光線經(jīng)單個(gè)折射球面的近軸光路的計(jì)算公式

上節(jié)的討論表明，軸上物點(diǎn)以寬光束經(jīng)單個(gè)折射球面折射所成的像是不完善的，也就是說(shuō)，一個(gè)物點(diǎn)經(jīng)折射球面折射所成的像不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)彌散斑。

在實(shí)際光路的計(jì)算公式中，若以細(xì)光束成像，即U角非常小，其相應(yīng)的I、I′和U′也非常小，則這些角的正弦值可以近似地用弧度來(lái)代替，這時(shí)相應(yīng)的角度以小寫字母u、i、i′和u′來(lái)表示，這種很靠近光軸的光線稱為近軸光線，光軸附近的這個(gè)區(qū)域稱為近軸區(qū)。

近軸光線的光路計(jì)算公式可通過(guò)將式(2－1)～(2－4)中角度的正弦直接以弧度代替而獲得，其中的有關(guān)量用小寫字母表示，具體如下：（2－6）

當(dāng)光線平行于光軸時(shí)，對(duì)應(yīng)于式（2－5）有

（2－7）

由式（2－6）可以看出，不論u為何值，l′都為定值，這表明由軸上點(diǎn)以細(xì)光束成像時(shí)，其像是完善的，常稱為高斯像，高斯像的位置由l′決定。通過(guò)高斯像點(diǎn)而垂直于光軸的像面稱為高斯像面，構(gòu)成物像關(guān)系的一對(duì)點(diǎn)稱為共軛點(diǎn)。

對(duì)于近軸光而言，存在下列關(guān)系式：(2-8)由式（2－6）還可推出以下公式：

（2－9）

（2－10）

（2－11）

式（2-9）具有不變量形式，稱為阿貝不變量，用字母Q表示。它表明，單個(gè)折射球面物方和像方的Q值相等，其大小與物像共軛點(diǎn)的位置有關(guān)。式（2-10）表示近軸光經(jīng)球面折射前后的孔徑角和的關(guān)系；式（2-11）表示折射球面成像時(shí)物像位置的關(guān)系。已知物或像的位置，便可求出相應(yīng)的共軛的像或物的位置。2.2單個(gè)折射球面成像放大率及拉赫不變量

2.2.1垂軸放大率如圖2－4所示，在折射球面的近軸區(qū)，垂軸小線段（用以表示垂軸小面積）AB通過(guò)折射球面所成的像為A′B′，AB用y表示，A′B′用-y′表示，則像的大小與物的大小之比稱為垂軸放大率或橫向放大率，以希臘字母β表示：（2－12）

由圖中△ABC和△A′B′C相似可得

由式（2－9）和上式可將式（2－12）改寫為

（2－13）

上式表明，折射球面的垂軸放大率僅取決于介質(zhì)的折射率和物體的位置，而與物體的大小無(wú)關(guān)。在n、n′一定的條件下，當(dāng)物體的位置改變時(shí)，像的位置和大小也隨著改變。當(dāng)β<0時(shí)，l和l′異號(hào)，表示物和像處于球面的兩側(cè)，此時(shí)物體成倒像，像的虛實(shí)與物體一致，即實(shí)物成實(shí)像，虛物成虛像。當(dāng)β>0時(shí)，l和l′同號(hào)，表示物和像位于球面的同一側(cè)，此時(shí)物體成正像，像的虛實(shí)與物體相反，即實(shí)物成虛像，虛物成實(shí)像。當(dāng)|β|>1時(shí)，為放大像，即像比物大；當(dāng)|β|<1時(shí)，為縮小像，即像比物小。

圖2－4近軸區(qū)有限大物體經(jīng)單個(gè)折射球面的成像

2.2.2軸向放大率

上面討論的是垂軸物體的放大率問(wèn)題。通常物體沿光軸方向也有一定的大小，故它經(jīng)球面成像后還有一個(gè)軸向放大率的問(wèn)題。設(shè)物點(diǎn)沿光軸方向移動(dòng)一微小距離dl，相應(yīng)的像

移動(dòng)dl′，則軸向放大率定義為dl′與dl的比值，以希臘字母α表示：（2-14）

對(duì)于單個(gè)折射球面，軸向放大率公式可由（2-11）微分并整理得到

（2－15）

（2-16）

兩邊同乘以，經(jīng)整理得

上式表明了垂軸放大率與軸向放大率之間的關(guān)系。它表明，如果物體為一立方體，由于垂軸放大率β與軸向放大率α不同，其像就不再是立方體。此外，還可以看出，對(duì)折射球面而言，軸向放大率永遠(yuǎn)為正，這表示物點(diǎn)沿軸移動(dòng)，其像點(diǎn)以同方向沿軸移動(dòng)。

必須指出，式(2－15)和式(2－16)只有在dl很小時(shí)才適用。在圖2－5中，若物點(diǎn)沿軸移動(dòng)的有限距離可以用始末兩點(diǎn)A1和A2的截距差l2-l1來(lái)表示，相應(yīng)的像點(diǎn)移動(dòng)的距離用

來(lái)表示，則此時(shí)的軸向放大率以α表示，有（2－17）

因?yàn)?/p>

變化上式，并代入（2-17）得

（2－18）

其中，和分別為物在和兩點(diǎn)的垂軸放大率。

圖2－5物點(diǎn)沿軸移動(dòng)有限距離的軸向放大率

2.2.3角放大率

在近軸區(qū)以內(nèi)，通過(guò)物點(diǎn)的光線經(jīng)過(guò)光學(xué)系統(tǒng)后，必然通過(guò)相應(yīng)的像點(diǎn)，這樣一對(duì)共軛光線與光軸的夾角u′和u的比值，稱為角放大率，以希臘字母γ表示，即（2－19）

將lu=l′u′=h代入式（2－19）得

（2－20）

兩邊同乘以，并利用（2-13）得

(2-21)2.2.4三種放大率之間的關(guān)系

由式（2－16）和式（2－21）可得到垂軸放大率β、軸向放大率α以及角放大率γ三者之間的關(guān)系為（2-22）

2.2.5拉赫不變量

將（2-8）代入（2-13）又可得出

變換上式得：

（2-23）

上式稱為拉赫公式，稱為拉赫不變量。它說(shuō)明了實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)在近軸區(qū)內(nèi)成像時(shí)，在一對(duì)共軛平面內(nèi)，物高、孔徑角和介質(zhì)折射率的乘積為一常數(shù)。

2.3共軸球面系統(tǒng)

2.3.1轉(zhuǎn)面公式由k個(gè)面組成的共軸球面光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，可由下列結(jié)構(gòu)參數(shù)來(lái)確定(圖2－6所示為由3個(gè)面組成的共軸球面光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，由k個(gè)面組成的可根據(jù)該系統(tǒng)來(lái)拓展)：

(1)各球面的曲率半徑r1，r2，…，rk；

(2)各表面頂點(diǎn)之間的間隔d1，d2，…，dk-1(k個(gè)面之間共有k-1個(gè)間隔)；

(3)各表面間介質(zhì)的折射率n1，n2，…，nk+1(k個(gè)面共隔開k+1種介質(zhì))。圖2－6由3個(gè)面組成的共軸球面光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

在上述結(jié)構(gòu)參數(shù)給定后，即可進(jìn)行共軸球面系統(tǒng)的光路計(jì)算和其他有關(guān)的計(jì)算。顯然，第一個(gè)面的像空間就是第二個(gè)面的物空間。也就是說(shuō)，高度為的物體用孔徑角為的光束經(jīng)過(guò)第一面折射成像后，其像就是第二個(gè)面的物，其像方孔徑角就是第二個(gè)面的物方孔徑角，其像方折射率就是第二個(gè)面的物方折射率。同樣，以此類推，第二個(gè)面到第三個(gè)面之間，第三個(gè)面到第四個(gè)面之間，…，第個(gè)面到第個(gè)面之間都有這樣的關(guān)系，即

（2-24）

各面截距的過(guò)渡公式，由圖2-6可直接求出：

（2-25）

上述轉(zhuǎn)面公式（2-24）和式(2-25)對(duì)近軸光適用，對(duì)遠(yuǎn)軸光也同樣適用，即

（2-26）

這就是式（2－1）～（2－4）光路計(jì)算公式的轉(zhuǎn)面公式。

當(dāng)用式（2－10）進(jìn)行光路計(jì)算時(shí)，還必須求出光線在折射面上的入射高度h的過(guò)渡公式。利用式（2－24）的第二式和式（2－25）的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘，可得故有

（2－27）

2.3.2共軸球面系統(tǒng)的拉赫公式

利用式（2－23）和式（2－24）可得整個(gè)系統(tǒng)的拉赫公式

(2－28)此式表明，拉赫不變量不僅對(duì)一個(gè)折射面的兩個(gè)空間是不變量，而且對(duì)整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的所有面的每一個(gè)空間都是不變量。拉赫不變量J是光學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)重要特征量。J值大，表示系統(tǒng)對(duì)物體成像的范圍大，能對(duì)每一個(gè)物點(diǎn)以大孔徑角光束成像。這一方面表示光學(xué)系統(tǒng)能傳輸?shù)墓饽芰看螅涣硪环矫?，以后將?huì)看到，成像光束的孔徑角還與光學(xué)系統(tǒng)的分辨率有關(guān)，孔徑角越大，分辨能力越強(qiáng)，從信息的觀點(diǎn)來(lái)看，就是傳遞的信息量更大。

2.3.3共軸球面系統(tǒng)的放大率公式

對(duì)于整個(gè)共軸球面系統(tǒng)的三個(gè)放大率，很容易證明系統(tǒng)的放大率等于各個(gè)折射面相應(yīng)放大率的乘積，即

（2－29）

將單個(gè)折射球面的放大率公式代入式(2－29)的第一式，即可求得

（2－30）

應(yīng)用公式（2－8）有

2.4

球面反射鏡

2.4.1球面反射鏡的物像位置公式將n′=-n代入式（2－11）中，可得