《工程力學(xué)》課件第2章

第2章平面力系的簡(jiǎn)化和平衡

2.1工程中的平面力系2.2平面匯交力系的簡(jiǎn)化與平衡2.3平面力偶系的簡(jiǎn)化與平衡2.4平面任意力系的簡(jiǎn)化與平衡2.5簡(jiǎn)單平面桁架的內(nèi)力計(jì)算2.6考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題2.1工程中的平面力系在工程問(wèn)題中，若力系中各力的作用線位于同一平面內(nèi)，即稱該力系為平面力系。如果平面力系中各力的作用線匯交于同一點(diǎn)，稱其為平面匯交力系；如果力系中各力的作用線平行，稱其為平面平行力系；如果平面力系是由若干對(duì)等值、反向、但不共線的兩個(gè)力所構(gòu)成的，則該力系稱為平面力偶系。這三種力系一般統(tǒng)稱為平面特殊力系，或平面簡(jiǎn)單力系。而不具有這些特殊性的平面力系稱之為平面任意力系。平面力系是工程中最常見(jiàn)的一種力系，很多實(shí)際的力學(xué)問(wèn)題都可以簡(jiǎn)化為平面力系。

(1)許多工程結(jié)構(gòu)和機(jī)構(gòu)，其厚度遠(yuǎn)小于長(zhǎng)度和寬度，其構(gòu)件軸線都位于垂直厚度方向的同一平面內(nèi)，所以稱之為平面結(jié)構(gòu)和平面機(jī)構(gòu)。作用于平面結(jié)構(gòu)和平面機(jī)構(gòu)上各力的作用線，一般都在這一平面內(nèi)而構(gòu)成平面力系。例如圖2.1所示的屋架是一個(gè)平面桁架，作用在桁架上的力有載荷Q，風(fēng)壓力P和支座約束反力XA、YA和NB，這些力的作用線都位于桁架平面內(nèi)，構(gòu)成一個(gè)平面力系。圖2.1

(2)有些結(jié)構(gòu)本身雖然不是平面結(jié)構(gòu)，所受的力系也不是平面力系，但其結(jié)構(gòu)和力系卻具有同一個(gè)對(duì)稱平面，那么該力系就可以對(duì)稱地平移到其對(duì)稱面內(nèi)，簡(jiǎn)化為該對(duì)稱面內(nèi)的平面力系。例如圖2.2所示的沿直線行駛的汽車，在其載荷均勻分布的情況下，汽車受重力W，空氣阻力T，地面對(duì)兩前輪子反力的合力RA和對(duì)后兩輪子反力的合力RB，它們都可以簡(jiǎn)化到汽車的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，構(gòu)成一個(gè)平面力系。圖2.22.2平面匯交力系的簡(jiǎn)化與平衡平面匯交力系屬于比較簡(jiǎn)單的力系，其主要特點(diǎn)是力系中各力作用線匯交于同一點(diǎn)。這種力系的工程實(shí)例很多，如圖2.3所示的繩索，圖2.4所示的桁架接頭等，其所受的力系都是平面匯交力系。圖2.3圖2.4

1．平面匯交力系的簡(jiǎn)化合成

(1)幾何法：力的多邊形法則。設(shè)剛體受一個(gè)匯交力系作用，匯交點(diǎn)為O，如圖2.5(a)所示。根據(jù)力合成的平行四邊形法則，如圖2.5(b)所示，可將這些力依次合成，最后可求出此力系的合力R。圖2.5為了更簡(jiǎn)便起見(jiàn)，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等的幾何特性，可只畫(huà)平行四邊形的一半，這樣平行四邊形法則便演變?yōu)槿切畏▌t。再省去前面三角形的封閉邊后，三角形法則又演變成力合成的多邊形法則。其示意圖如圖2.5(c)所示。力的多邊形法則可以簡(jiǎn)單地概括為：平移力系中各力的作用線，讓各力線首尾相接，最后從第一個(gè)力線的始端向最后一個(gè)力線終端畫(huà)一條有向線段，該有向線段便表示了力系的合力矢量R。幾何法給出的結(jié)論是：平面匯交力系合成的結(jié)果為一合力，合力作用線通過(guò)各分力的匯交點(diǎn)，合力的大小和方向等于力系各分力的矢量和。這一關(guān)系可以用矢量式表示為(2.1)

(2)解析法：合力投影定理。幾何法是直接利用力矢量的幾何性質(zhì)來(lái)確定合力和各分力之間的關(guān)系的。其優(yōu)勢(shì)是直觀簡(jiǎn)明；而其不足之處是合成精度不便控制。所以，工程計(jì)算中更常用的是解析法合成。所謂解析法，就是用力矢量在選定坐標(biāo)軸上的投影，來(lái)表示合力與各分力之間關(guān)系的方法，所以也稱為投影法或合力投影定理。下面我們?nèi)砸詧D2.5(a)給出的力系為例，介紹解析法的合成過(guò)程。以圖2.5(a)所示力系的匯交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立參考直角坐標(biāo)系，將各分力和合力R分別向坐標(biāo)軸投影，然后求這些投影之間的關(guān)系，其示意圖如圖2.5(d)所示。由圖2.5(d)可知：同理可得：即（2.2）式(2.2)稱為合力投影定理，可表述為力系合力在某軸上的投影等于力系各分力在該軸上投影的代數(shù)和。根據(jù)合力在直角坐標(biāo)軸上的投影可求出合力R

的大小和方向余弦為其中：α、β分別為合力R

與x

軸、y

軸的夾角。（2.3）

2.平面匯交力系的平衡條件由匯交力系的簡(jiǎn)化結(jié)果可知，匯交力系對(duì)剛體的作用與它們的合力R

的作用是等效的。那么，根據(jù)靜力學(xué)公理中的二力平衡原理可知，只有該合力R

的兩個(gè)分力等值、反向、共線、合力為零時(shí)，力系才能夠平衡。因此，平面匯交力系平衡的必要與充分條件為：力系合力R

等于零，即該式可稱為力系平衡條件的矢量形式。（2.4）除該矢量形式外，平衡條件還有幾何形式和解析式兩種形式。

(1)幾何形式。按力多邊形法則，合力等于零表明力多邊形中第一個(gè)力矢量的起點(diǎn)與最后一個(gè)力矢量的終點(diǎn)是重合的。所以，匯交力系平衡的必要且充分條件是力多邊形自行封閉。

(2)解析式。根據(jù)解析法合成的結(jié)果，合力，顯然要使R等于零，則Rx、Ry必須分別等于零。所以，匯交力系平衡條件的必要且充分條件的解析形式為(2.5)式(2.5)即為平面匯交力系的平衡方程，是力系平衡的必要且充分條件。根據(jù)其充分性，當(dāng)力系各力已知時(shí)，可用它判斷受力剛體是否平衡；根據(jù)其必要性，當(dāng)剛體處于平衡狀態(tài)、但其所受的力系中有未知力時(shí)，可用它來(lái)求解未知力。其主要的工程應(yīng)用是后者。

【例2.1】如圖2.6所示半圓形三角拱ABC，半徑為a，拱自重不計(jì)，在右拱BC的a/2處，作用一個(gè)鉛直向下的力P。試求A、B、C三鉸的約束反力。圖2.6

解先取左半邊的拱AC為研究對(duì)象(包括銷釘C)。左半邊的拱AC在C處的銷釘受到右半邊的拱BC的作用力RC；在A處受到固定鉸支座的約束反力RA的作用。由于左半邊的拱AC只受兩力作用而平衡，為二力構(gòu)件，故此二力(RC和RA)的作用線必沿A、C兩點(diǎn)連線，且等值、反向，假設(shè)其指向如圖2.6(b)所示。再取右半邊的拱BC(不包括銷釘C)為研究對(duì)象。作用在右半邊的拱BC上的力有：主動(dòng)力P；鉸支座B的約束反力RB；銷釘C對(duì)右半邊的拱BC的約束反力，與RC互為作用力與反作用力的關(guān)系，即的作用線也沿A、C兩點(diǎn)連線。鉸支座B的約束力RB的方向不能確定，但因右半邊的拱BC只受三力作用而平衡，由三力平衡定理可知此三力的作用線必交于一點(diǎn)，而其中力P

與力的作用線交于O點(diǎn)，故力RB的作用線必沿B、O兩點(diǎn)連線，如圖2.6(c)所示。作圖時(shí)，按力比例尺畫(huà)出閉合的力三角形abc，如圖2.6(d)所示。RB與的指向應(yīng)按各分力矢必須首尾相接的規(guī)則來(lái)確定，其大小用同一力比例尺從圖2.6(d)上量得：

RB=0.781P

=0.354PRB與的大小也可由力三角形abc通過(guò)計(jì)算而得到，由圖2.6(d)應(yīng)用正弦定理得：(a)從圖2.6(c)中△ODB可得從圖2.6(c)中△OCB可得將這些值代入(a)式解得：則固定鉸支座A約束反力的大小為RA=RC=

=0.354P指向如圖2.6(b)所示。

【例2.2】簡(jiǎn)易起重機(jī)如圖2.7所示，起吊鋼絲繩繞過(guò)定滑輪B，通過(guò)絞車把重物吊起。物重Q=3000N，A、B、C三處均為鉸接連接，不計(jì)各桿的自重和滑輪B的尺寸。求AB和BC兩桿所受的力，并指明為拉力還是壓力。圖2.7

解

(1)選取研究對(duì)象。取定滑輪B連同銷釘一起為研究對(duì)象。

(2)畫(huà)受力圖。定滑輪受到鋼絲繩的拉力T1和T2，而T1=T2=Q=3000N；因AB、BC兩桿都是二力桿，則作用在銷釘B上的力分別沿桿的軸線，以和表示，指向可假設(shè)。其受力圖如圖2.7(b)所示。

(3)選取坐標(biāo)軸，列出平衡方程求解。選坐標(biāo)軸Bxy，如圖2.7(b)所示，坐標(biāo)軸應(yīng)盡量與未知力垂直，這樣可以避免解聯(lián)立方程。列平面匯交力系平衡方程，即(a)(b)由式(b)解得將代入式（a）解得=

cos40°－T2cos30°=7000×0.7666－3000×0.866＝2760N與均為正值，表明假設(shè)的指向與實(shí)際指向是一致的。

(4)畫(huà)桿CB、AB的受力圖。根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系，桿CB與AB的受力圖如圖2.7(c)、(d)所示。CB桿受拉力，拉力的大小為T(mén)B=

=2760N；AB桿受壓力，壓力的大小為NB=

=7000N。

【例2.3】?jī)筛睆骄鶠镈的圓鋼，每根重P=2kN，擱置在槽內(nèi)，如圖2.8(a)所示。忽略圓鋼與槽之間的摩擦，求A、B、C三處的約束力。圖2.8解根據(jù)題意，首先選取研究對(duì)象。若以二圓鋼組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，則受力圖如圖2.8(b)所示，此力系不是平面匯交力系，而是平面一般力系，這將在下一章討論。若首先以圓鋼Ⅰ為研究對(duì)象，受力圖如圖2.8(c)所示，此力系為平面匯交力系，但有三個(gè)未知力，而平面匯交力系只能提供兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，無(wú)法求解全部未知力。以圓鋼Ⅱ?yàn)檠芯繉?duì)象，其受力圖如圖2.8(d)所示，重力P為主動(dòng)力，NC為槽壁上的約束力，ND為圓鋼Ⅰ給圓鋼Ⅱ的約束力。因?yàn)槭枪饣s束面，故根據(jù)約束性質(zhì)，NC和ND分別通過(guò)圓鋼與槽壁及圓鋼之間的切點(diǎn)指向圓心。可見(jiàn)圓鋼Ⅱ受力為平面匯交力系，只有兩個(gè)未知數(shù)，故可用平衡方程求得。在三力作用線的交點(diǎn)O2處，建立直角坐標(biāo)系O2XY，如圖2.8(e)所示，平衡方程為：由此解得:ND=

P=2.83kNNC=NDcos45°=P=2kN再以圓鋼Ⅰ為研究對(duì)象，如圖2.8(c)所示，與ND互為作用力和反作用力，NA和NB為槽壁給圓鋼Ⅰ的約束力，P為主動(dòng)力。這仍為平面匯交力系的平衡問(wèn)題，建立直角坐標(biāo)系O1XY，如圖2.8(f)所示，平衡方程為：解得:NA=P=2kNNB=2P=4kN通過(guò)以上例題的分析，我們把用解析法求解平面匯交力系平衡問(wèn)題的基本步驟歸納如下：

(1)根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)剡x取研究對(duì)象。

(2)分析研究對(duì)象的受力情況，正確地畫(huà)出受力圖。

(3)選擇投影坐標(biāo)軸，列出平面匯交力系的平衡方程，求解未知力。要使兩個(gè)投影方程都能獨(dú)立求解，兩投影軸必須分別與兩個(gè)未知力正交。所解出的未知力的正、負(fù)號(hào)，是相對(duì)于受力圖而言的，正的表示其實(shí)際方向與受力圖中所畫(huà)的方向是一致的；負(fù)的表示其實(shí)際方向與受力圖中所畫(huà)的方向相反。2.3平面力偶系的簡(jiǎn)化與平衡

1.力偶與力偶的基本性質(zhì)定義兩個(gè)大小都等于F、方向相反、作用線間距d

不為零的力所構(gòu)成的特殊力系為力偶，用符號(hào)(F、F′)表示，如圖2.9所示。其中d

稱為該力偶的力偶臂；F和F′所在的平面稱為力偶的作用面。力偶具有如下基本性質(zhì)：

(1)力偶只有轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)、無(wú)移動(dòng)效應(yīng)。所以力偶不可能與一個(gè)力等效或者平衡。圖2.9因?yàn)榱Φ囊苿?dòng)效應(yīng)只與力的大小、方向有關(guān)，與力的作用線無(wú)關(guān)，而力偶(F、F′)中的兩個(gè)力大小相等、方向相反，它們的移動(dòng)效應(yīng)恰好相互抵消。所以，力偶只有轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，不可能與存在移動(dòng)效應(yīng)的一個(gè)力等效或者平衡。

(2)力偶對(duì)任一點(diǎn)的矩都相等。力偶對(duì)任一點(diǎn)的矩都等于力F

與力偶臂d

的乘積，定義其為力偶矩，并用m表示。如圖2.10所示，力(F、F′)為任一力偶，O為任一點(diǎn)。根據(jù)力對(duì)點(diǎn)的矩的定義式有：即M=F·d可知，構(gòu)成力偶的兩個(gè)力對(duì)任意點(diǎn)O

的矩之和，與O

點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，都等于力F與力偶臂d的乘積。力偶矩矢量的方向用右手螺旋規(guī)則來(lái)判斷，即右手四指沿其中一個(gè)力，手心向著另外一個(gè)力，拇指所指的方向就是力偶矩矢量的方向。可知，力偶矩矢量垂直于其兩個(gè)力所確定的平面，即垂直于力偶的作用面。平面力偶則可視為標(biāo)量，其正負(fù)號(hào)仍然定義為：逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。圖2.10

(3)兩力偶等效的唯一條件，是它們的力偶矩相等。因?yàn)榱ε贾挥修D(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，而力偶矩完全描述了其轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，所以力偶矩相等，就是其轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)相等，就是相互等效。因此，在保持力偶矩不變的前提下，可以任意改變構(gòu)成力偶的兩個(gè)力及力臂。所以在畫(huà)受力圖時(shí)，只用一個(gè)彎箭頭表示清楚力偶矩的大小和方向即可。

(4)力偶矩為自由矢量，只有大小和方向兩個(gè)要素。因此，作用在剛體上的力偶矩矢量之矢量線，可以隨意平移和滑動(dòng)，都不會(huì)改變力偶對(duì)剛體的效應(yīng)。

2.力偶系的簡(jiǎn)化與平衡

1)平面力偶系的簡(jiǎn)化合成設(shè)圖2.11所示的正方體上、下平行的兩個(gè)面上作用著若干個(gè)力偶，由于它們的作用面是平行的，根據(jù)力偶矩的性質(zhì)(4)，它們構(gòu)成的就是一個(gè)平面力偶系，其合力偶矩

M

就等于力偶系中各力偶矩的代數(shù)和，即(2.6)圖2.11

2)平面力偶系的平衡條件由于平面力偶系合成的結(jié)果是一個(gè)合力偶，它相當(dāng)于兩個(gè)等值、反向的力構(gòu)成的力系。根據(jù)靜力學(xué)公理中的二力平衡原理可知，要使該力系平衡，其兩個(gè)力必須共線，即其力偶臂必須等于零、力偶矩必須等于零?？梢?jiàn)，要使平面力偶系平衡，只需合力偶矩等于零即可。因此，平面力偶系平衡的必要和充分條件是：合力偶矩等于零，或者說(shuō)力偶系中各力偶的力偶矩代數(shù)和等于零，即M＝0或

【例2.4】結(jié)構(gòu)橫梁AB長(zhǎng)l，A端通過(guò)鉸鏈由AD桿支撐，B端為鉸支座，組成平面結(jié)構(gòu)。在結(jié)構(gòu)平面內(nèi)，梁只受到一個(gè)力偶作用，其力偶矩為m，如圖2.12(a)所示。不計(jì)梁和支桿的自重，求A和B的約束力。圖2.12

解以梁AB為研究對(duì)象，分析其受力。梁所受到的主動(dòng)力為力偶m，在A和B端各受到一個(gè)約束力作用。注意到AD是二力桿，因此A端的約束力必沿AD桿軸線方向。B端為鉸鏈，根據(jù)約束的性質(zhì)可知，約束力通過(guò)鉸鏈的中心，方向不能確定。但考慮梁的平衡條件后，根據(jù)力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)，可以判斷A

與B端的約束力必然構(gòu)成一個(gè)力偶，因此B端的約束力方向必與A端的約束力作用線平行、指向相反、大小相等。于是，梁AB的約束力如圖2.12(b)所示。根據(jù)平面力偶系的平衡條件，RA與RB構(gòu)成一個(gè)轉(zhuǎn)向與主動(dòng)力偶m

相反的力偶，由此可以定出約束力RA和RB的指向。其大小由下式確定：

【例2.5】機(jī)構(gòu)如圖2.13(a)所示，在圖示位置平衡。已知OA=400mm，O1B=600mm，力偶矩m1=100N·m。求力偶矩m2的大小及桿AB所受的力(設(shè)各桿的自重不計(jì))。圖2.13

解此題屬于桿系問(wèn)題。由于OA

桿有已知的主動(dòng)力偶作用，故先取OA桿包括銷釘A為研究對(duì)象(即先從有已知力作用的物體開(kāi)始)；然后取AB桿為研究對(duì)象(不包括銷釘A和B)(當(dāng)做題熟練后，這一步可以省略)；最后取O1B桿包括銷釘B為研究對(duì)象。按此思路求解如下：

(1)取OA桿包括銷釘A為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖。OA桿上受主動(dòng)力偶作用，其力偶矩為m1，因?yàn)锳B桿是二力桿，故AB桿作用于銷釘A上的力沿AB兩點(diǎn)連線，以SA表示，指向假設(shè)如圖2.13(b)所示。又因OA桿只受力偶作用，根據(jù)力偶只能由力偶來(lái)平衡可知，鉸支座O的反力RO與SA必組成一個(gè)力偶。于是OA桿包括銷釘A的受力圖如圖2.13(b)所示。

(2)列平衡方程并求解。由所得結(jié)果為正值，說(shuō)明原假設(shè)指向與實(shí)際指向是一致的。

(3)再取AB桿(不包括銷釘A、B)為研究對(duì)象，并畫(huà)出受力圖。因AB桿是二力桿，其受力圖如圖2.13(c)所示。根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系，與SA大小相等、方向相反；又由二力平衡公理知，與必大小相等、方向相反，并沿同一直線。于是得＝＝SA=500NAB桿受拉力，拉力大小為500N。

(4)取O1B桿為研究對(duì)象(包括銷釘B)，并畫(huà)其受力圖。O1B桿上作用有特殊的力偶矩m2，AB桿上作用于O1B桿銷釘B上的力SB與大小相等、方向相反，這是作用力與反作用力的關(guān)系。根據(jù)力偶只能用力偶來(lái)平衡可知，鉸支座O1的約束反力

與SB必組成一個(gè)力偶矩，即=－SB，其受力圖如圖2.13(d)所示。

(5)列平衡方程并求解。根據(jù)∑m=0，m2－SB×

=0解得m2=SB×因已知SB=＝＝SA=500N于是m2=500×0.6=300N·m故結(jié)構(gòu)平衡時(shí)，力偶矩m2=300N·m。關(guān)于平面力偶系的解題步驟，基本上與平面匯交力系的解題步驟相同，即：選取研究對(duì)象，畫(huà)受力圖，列平衡方程并求解。需要注意的是，平面力偶系只有一個(gè)平衡方程。

【例2.6】電動(dòng)機(jī)軸通過(guò)連軸器與傳動(dòng)軸相連接，連軸器上四個(gè)螺栓A、B、C、D的孔心均勻地分布在同一圓周上，如圖2.14所示，圓的直徑AC=BD=150mm，電動(dòng)機(jī)軸傳給連軸器的力偶矩m=2.5kN·m。試求每個(gè)螺栓所受的力為多大。圖2.14

解以連軸器為研究對(duì)象。作用在連軸器上的力有電動(dòng)機(jī)傳給連軸器上的力偶、每個(gè)螺栓的反力，其方向如圖所示。假設(shè)四個(gè)螺栓受力均勻，即P1=P2=P3=P4=P，則組成兩個(gè)力偶并與電動(dòng)機(jī)傳給連軸器的力偶平衡。根據(jù)平面力偶系的平衡條件，有而故2.4平面任意力系的簡(jiǎn)化與平衡

1.力的平移定理平面匯交力系的簡(jiǎn)化合成比較簡(jiǎn)單，只需要用力的平行四邊形法則合成，就可得到其合力。所以，如果能將平面力系中各力的作用線位置平移，讓其匯交于一點(diǎn)，就將其變成了簡(jiǎn)單的匯交力系。力的作用線移動(dòng)雖然不改變力的移動(dòng)效應(yīng)，但卻改變了力的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。所以，在平移力作用線位置的同時(shí)，必須用一個(gè)適當(dāng)?shù)牧ε季氐窒苿?dòng)帶來(lái)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)之改變量。這一關(guān)系由力的平移定理來(lái)描述。力的平移定理：作用在剛體上A點(diǎn)的力F，可以平移到剛體上任一點(diǎn)B，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，這個(gè)附加力偶的矩等于原來(lái)的力F對(duì)新作用點(diǎn)B的矩。證明：如圖2.15所示，設(shè)在剛體上的A點(diǎn)作用著一個(gè)力F，在此剛體上任取一點(diǎn)B，并在B點(diǎn)加上兩個(gè)等值、反向的力F′和F″，它們的作用線與F平行，大小與力F相等。根據(jù)加減平行力系公理可知，這三個(gè)力F

、F′和F″組成的力系與原來(lái)的一個(gè)力F構(gòu)成的力系是等效的。而這三個(gè)力所構(gòu)成的力系又可視為作用在點(diǎn)B的一個(gè)力F′和一個(gè)力偶(F

，F(xiàn)″)構(gòu)成的力系。這相當(dāng)于把原來(lái)作用于A點(diǎn)的力F平移到另一點(diǎn)B，同時(shí)給其附加一個(gè)力偶(F

，F(xiàn)″)。而這個(gè)附加力偶的矩m，顯然等于原來(lái)的力F對(duì)新作用點(diǎn)B的矩，即M=mO(F)(2.8)圖2.15

2.平面力系的簡(jiǎn)化合成

1)平面力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化如圖2.16所示，在平面力系的作用面內(nèi)先確定一個(gè)O

點(diǎn)作為簡(jiǎn)化中心；然后平移力系中各力作用線，令其過(guò)簡(jiǎn)化中心O，同時(shí)附加上每個(gè)力Fi平移時(shí)的附加力偶mi。這樣平面力系就被變換為一個(gè)匯交于簡(jiǎn)化中心O

的匯交力系和一個(gè)力偶系。圖2.16合成由構(gòu)成的匯交力系，可得

R′可稱為力系的合力，因?yàn)樗鼈兪堑刃У摹５玆′顯然與Fi表示的原力系并不等效，所以R′稱為原力系的主矢量。力系的主矢量R′等于力系各力的矢量和，其大小、方向與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)，但作用線過(guò)簡(jiǎn)化中心O，即(2.9)合成由mi構(gòu)成的力偶系，可得

MO是力偶系mi

的合力偶，稱為原力系的主矩。由mi=mO(Fi)知，力系的主矩等于原力系各力對(duì)簡(jiǎn)化中心O

的力矩的代數(shù)和，顯然其大小和轉(zhuǎn)向都與簡(jiǎn)化中心O

的位置有關(guān)，即

2)平面力系的合成如圖2.17所示，平面力系的簡(jiǎn)化結(jié)果是主矢量R′和主矩MO。(2.10)圖2.17當(dāng)R′≠0時(shí)，根據(jù)力線的平移定理，移動(dòng)主矢量R′可以附加一個(gè)與主矢量大小相等，轉(zhuǎn)向相反，可相互抵消的一個(gè)附加力偶，該力系最終合成為一個(gè)合力R。合力R的大小、方向與R′相同，作用線與O點(diǎn)的距離為當(dāng)平面力系簡(jiǎn)化結(jié)果中的主矢量R=0時(shí)，簡(jiǎn)化結(jié)果中的主矩就是其最后合成的結(jié)果，可知這時(shí)力系合成為一個(gè)合力偶，其力偶距M就等于力系主矩MO，即(2.12)(2.11)綜上所述，平面力系的最后合成結(jié)果非常簡(jiǎn)單，只有兩種可能：一種是一個(gè)合力R；另一種是一個(gè)合力偶MO。據(jù)此，在構(gòu)件約束反力的計(jì)算中，常常將分布力系先合成起來(lái)，用其合力或合力偶取代原分布力系。

3)簡(jiǎn)化理論的應(yīng)用舉例

(1)合力矩定理的證明。在平面力系合成為一個(gè)合力R

后，反過(guò)來(lái)再求該合力R對(duì)原簡(jiǎn)化中心O的矩，可得(2.13)式(2.13)稱為合力矩定理，它表明力系的合力R對(duì)任一點(diǎn)O的矩等于力系各力Fi對(duì)該點(diǎn)矩的和，即(2.13*)合力矩定理連同我們前面講過(guò)的合力投影定理、力線平移定理是進(jìn)行力系等效變換、簡(jiǎn)化合成的最基本理論工具。

(2)固定端約束反力的簡(jiǎn)化。固定端約束常見(jiàn)于工程結(jié)構(gòu)中，其特點(diǎn)是既能限制被約束體的移動(dòng)，又能限制被約束體的轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖2.18(a)所示的墻壁對(duì)懸臂梁插入部分的約束就屬于此類約束。懸臂梁插入端所受的約束反力是一個(gè)任意分布的力系，在平面問(wèn)題中是一個(gè)平面任意力系，如圖2.18(b)所示。如將這個(gè)力系向梁端部截面形心A簡(jiǎn)化，得一主矢量RA和主矩mA，再將RA分解為兩個(gè)正交分量xA、yA，如圖2.18(c)所示。固定端約束反力便被簡(jiǎn)化為xA、yA、mA這三個(gè)分量，它們限制了梁A

端沿x、y方向的移動(dòng)和繞z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。圖2.18

(3)分布力合力作用線位置的確定。為了確定分布力合力作用線的位置，根據(jù)力系的簡(jiǎn)化理論，可先將分布力向一點(diǎn)簡(jiǎn)化，求得其主矢和主矩后，再平移主矢量、消掉主矩，用式(2.11)即可求得分布力合力作用線的位置。

3.平面力系的平衡條件由簡(jiǎn)化結(jié)果可知，平面力系與其主矢量R′和主矩MO等效，而由力偶不能與一個(gè)力平衡可知，平面力系簡(jiǎn)化所得的主矢量和主矩不可能彼此平衡。所以要使平面力系平衡，合成其主矢量R′的那個(gè)匯交力系和合成其主矩MO的那個(gè)力偶系必須分別為平衡力系。那么，根據(jù)匯交力系和力偶系的平衡條件，平面力系的平衡條件應(yīng)該是其主矢量R′和主矩MO分別為0，即(2.1４)式(2.14)是平面力系平衡的必要且充分條件。將式中的R

向x、y軸投影，可得該平衡條件的投影表達(dá)式：(2.15)這組方程表示，平面力系平衡的必要且充分條件是：圖2.19中所示的各力在直角坐標(biāo)系Oxy中各坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和以及各力對(duì)任意點(diǎn)力矩的代數(shù)和分別等于0。此外，平面力系的平衡方程還可以寫(xiě)成以下形式：

(1)平面力系平衡方程的二矩式方程為(2.16)（OA不能與x軸垂直）圖2.19將式(2.16)與式(2.15)相比較可知，式(2.15)中的∑Y=0被∑mA(F)=0取代了。這是因?yàn)椋凇苖O=0和∑X=0的前提下，如果力系不平衡，則它只能合成為沿y

軸的一個(gè)合力，所以方程(2.15)用∑Y=0即可保證力系是平衡的。如圖2.19所示，這時(shí)若A點(diǎn)不在y

軸上，或者說(shuō)OA不與x軸垂直，顯然∑mA(F)=0與∑Y=0是等價(jià)的，是可以相互取代而得到二矩式方程的。二矩式方程(2.16)的附加條件是OA不與x

軸垂直。(2.17)（O，A，B不能共線）

(2)平面力系平衡方程的三矩式方程為在式(2.16)中，力系對(duì)O點(diǎn)和A點(diǎn)的矩都等于0，如果力系不平衡，則其必然合成為沿OA直線的一個(gè)合力，且由于OA不與x軸垂直，因此只有該合力為0時(shí)，它在x

軸上的投影才能夠等于0，故可用∑X=0來(lái)保證該合力也為0。如圖2.19所示，用該合力對(duì)不在OA直線的任意點(diǎn)B的矩等于0，即∑mB(Fi)=0也可以達(dá)到同樣的目的。所以，可以用∑mB(Fi)=0來(lái)取代∑X=0，使方程組變?yōu)槿厥椒匠?2.17)。方程(2.17)的附加條件是O、A、B三點(diǎn)不能共線。綜上所述，在滿足各自附加條件的前提下，式(2.16)、式(2.17)與式(2.15)是等價(jià)方程。

【例2.7】懸臂剛架ABC，A處為固定端約束，在左側(cè)作用均布荷載q=2kN·m，在C處作用集中載荷P=10kN，其它尺寸和角度如圖2.20(a)所示。求固定端約束A的約束反力(不計(jì)剛架自重)。

解(1)取懸臂剛架ABC為研究對(duì)象。

(2)畫(huà)剛架ABC的受力圖。主動(dòng)力有集中力P；均布荷載q可用其合力Q代替，其大小等于荷載圖形的面積，即Q=q×4=2×4=8kN，作用線通過(guò)荷載圖形的形心，距A點(diǎn)的距離為2m。其約束反力有XA、YA和力偶距為mA的約束力偶，約束力的指向和約束力偶的轉(zhuǎn)向假設(shè)如圖2.20(b)所示。圖2.20

(3)選取坐標(biāo)軸，并列出平衡方程求解。由于力偶的兩個(gè)力大小相等、方向相反，它們?cè)谳S上投影之和等于0，因此在列投影方程時(shí)，不必考慮力偶。取圖示坐標(biāo)系A(chǔ)xy，列方程：∑X=0,XA+Q－Pcos30°=0(a)∑Y=0,YA－Psin30°=0(b)現(xiàn)以A點(diǎn)為矩心列力矩方程。先說(shuō)明兩點(diǎn)：①因?yàn)榱ε紝?duì)任一點(diǎn)之矩恒等于其力偶矩，所以在列力矩方程時(shí)，約束反力偶對(duì)A點(diǎn)之矩即為其力偶矩mA；②計(jì)算力P對(duì)A點(diǎn)之矩時(shí)，由于力P的作用線到A點(diǎn)的垂直距離(即力臂)計(jì)算比較麻煩，故可根據(jù)合力矩定理，將力P分解為水平和垂直方向的兩個(gè)力，然后計(jì)算此二分力對(duì)A點(diǎn)之矩的代數(shù)和。以A點(diǎn)為矩心列出方程：

∑mA(F)=0mA－Q×2+Pcos30°×4－Psin30°×2=0

(c)由(a)式得:

XA=Pcos30°－Q=10由(b)式得：YA=Psin30°=10由(c)式得：

XA和YA為正值，說(shuō)明假設(shè)方向與實(shí)際方向一致；mA為負(fù)值，說(shuō)明原假設(shè)的轉(zhuǎn)向與實(shí)際方向相反，即mA實(shí)際應(yīng)為順時(shí)針轉(zhuǎn)向。

【例2.8】如圖2.21(a)所示，簡(jiǎn)支梁AB受三角形分布的線荷載作用，其集度在A

處為0，C處為qC，還受有力偶作用，其力偶矩為m，其他尺寸如圖。試求支座A、B的約束反力(梁重不計(jì))。圖2.21

解

(1)取梁AB

為研究對(duì)象。

(2)畫(huà)受力圖。鉸支座A

的約束反力以XA

和YA

表示；輥軸支座的約束反力以RB

表示；主動(dòng)力有力偶矩為m

的力偶；非均勻荷載可用合力Q代替，其大小等于荷載圖面積，即Q=

qCa,作用線通過(guò)荷載圖形心，距A點(diǎn)的距離為a。梁AB的受力圖如圖2.21(b)所示。

(3)選取坐標(biāo)軸，列平衡方程求解。取坐標(biāo)系A(chǔ)xy，為練習(xí)應(yīng)用二矩式平衡方程，現(xiàn)分別以A、B兩點(diǎn)為矩心，則由式①得：由式②得：將RB的值代入式③可得：為了進(jìn)行校核，可寫(xiě)出方程∑Y=0,求出YA作為驗(yàn)證。

【例2.9】組合梁由AB

桿和BC桿在B

處用鉸(稱為中間鉸)連接而成，如圖2.22(a)所示。其中C

為輥軸支座，A為固定端支座。已知m=10kN·m，q=2kN/m，a=1m。求支座A、C處的約束力。圖2.22

解此結(jié)構(gòu)由兩個(gè)剛體組成，將兩剛體拆開(kāi)后共有六個(gè)未知約束力，如圖2.22(c)所示，每個(gè)剛體有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，因此這是一個(gè)靜定結(jié)構(gòu)。以總體為研究對(duì)象時(shí)，XB、、YB、均為內(nèi)力，而XA、YA、mA、YC為四個(gè)未知的外力，獨(dú)立的平衡方程只有三個(gè)，只可求出XA=0，其他無(wú)法求解。若以AB桿為研究對(duì)象，則有五個(gè)未知約束力，三個(gè)平衡方程也無(wú)法求解。若以BC桿為研究對(duì)象，則有三個(gè)未知約束力，因而可由平面力系三個(gè)獨(dú)立的平衡方程求出。由平衡條件求得:求出YC后，再以整體為研究對(duì)象，如圖2.22(b)所示，此時(shí)中間鉸B的約束力是內(nèi)力，因而不必考慮?？捎山獾?

由解得:

XA=0其中負(fù)值表示約束力偶的實(shí)際方向與圖中所設(shè)的方向相反。最后，建議讀者結(jié)合本例思考一下，在剛體系統(tǒng)的受力分析中，怎樣校核所得結(jié)果的正確性。2.5簡(jiǎn)單平面桁架的內(nèi)力計(jì)算桁架是由若干個(gè)直桿在兩端用鉸鏈連接而成的一種幾何不變結(jié)構(gòu)。各桿件位于同一平面內(nèi)的桁架稱為平面桁架，如圖2.23所示，各鉸鏈連接點(diǎn)稱為桁架的節(jié)點(diǎn)。桁架被廣泛用于房屋、橋梁等結(jié)構(gòu)之中。圖2.23

1.節(jié)點(diǎn)法節(jié)點(diǎn)法是取每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的鉸鏈為研究對(duì)象，將桿視為鉸鏈的約束。由于每個(gè)桿都是二力桿件，因此它給鉸鏈的力只能沿桿件的軸線方向。為了使該平衡方程求得的桿件內(nèi)力的正負(fù)號(hào)與材料力學(xué)約定的拉力為正、壓力為負(fù)相互一致，畫(huà)受力圖時(shí)假定每個(gè)桿件所受的都是拉力。所以，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的受力圖都是一個(gè)平面匯交力系，且除主動(dòng)力外，其余力都是背離匯交點(diǎn)的。其平衡方程為(2.18)由于每個(gè)節(jié)點(diǎn)只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，要每個(gè)節(jié)點(diǎn)的平衡方程能夠獨(dú)立求解，必須從連接桿件最少、未知力不超過(guò)兩個(gè)的節(jié)點(diǎn)開(kāi)始逐個(gè)求解。并且一般要先以整個(gè)桁架為研究對(duì)象求出其外部約束反力后，再逐個(gè)節(jié)點(diǎn)求解桿件內(nèi)力。

2.截面法截面法是假想地將桁架截為截然分開(kāi)的兩部分，取其中一部分為研究對(duì)象。由于這樣的研究對(duì)象所受的力系一般是平面任意力系，因此要用平面任意力系的平衡方程求解。其方程為(2.19)

【例2.10】

試用節(jié)點(diǎn)法求圖2.24(a)所示的桁架中各桿的內(nèi)力。已知P1=40kN，P2=10kN。圖2.24

解

(1)求桁架支座A，B的反力。取桁架整體為研究對(duì)象，其受力圖如圖2.24(a)所示，桁架受平面任意力系作用。選取坐標(biāo)軸如圖所示，列平衡方程并求解：

∑X=0，P2－XA=0∑mA(F)=0，3a·NB+P2·a－P1·a=0∑Y=0，YA+NB－P1=0可解得：XA=10kN，YA=30kN，NB=10kN

(2)求各桿內(nèi)力。從只有兩個(gè)未知量的節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，逐個(gè)地截取桁架的節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象,應(yīng)用平面匯交力系平衡方程求出各桿的內(nèi)力。①取節(jié)點(diǎn)A

為研究對(duì)象。1、2桿件的內(nèi)力S1、S2為未知量，并假設(shè)其為拉力，其受力圖如圖2.24(b)所示。由∑Y=0，YA－S2sin45°=0

∑X=0，S1+S2cos45°－XA=0可解得：

S1=－20kN(壓力)，S2=42.4kN(拉力)②取節(jié)點(diǎn)C

為研究對(duì)象。因?yàn)?桿的內(nèi)力S1已經(jīng)求出，故只有3、4桿的內(nèi)力S3、S4為未知力，假設(shè)其為拉力，則其受力圖如圖2.24(c)所示。由∑Y=0，S4－=0

∑X=0，－P1－S3=0可解得:S4=

=S1=－20kN，S3=－40kN

③取節(jié)點(diǎn)

D

為研究對(duì)象。因?yàn)?、3桿的內(nèi)力=S2、

=S3已經(jīng)求出，故只有5、6桿的內(nèi)力S5、S6為未知力，其受力圖如圖2.24(d)所示。由∑X=0，S6+S5cos45°－sin45°=0

∑Y=0，

+S5cos45°+

cos45°=0將=S3=－40kN及=S2=42.4kN代入，可解得：

S5=14.14kN，S6=20kN④取節(jié)點(diǎn)H

為研究對(duì)象。因6桿的內(nèi)力=S6已經(jīng)求出，只有7、9桿的內(nèi)力S7、S9為未知力，其受力圖如圖2.24(e)所示。由∑X=0，P2+S9cos45°－=0

∑Y=0，S7+S9sin45°=0可解得：S9=14.14kN，S7=－10kN⑤最后取節(jié)點(diǎn)B(也可以取節(jié)點(diǎn)E，因作用于節(jié)點(diǎn)E的力較多，故取節(jié)點(diǎn)B)為研究對(duì)象。因9桿的內(nèi)力=S9已經(jīng)求出，故只有8桿的內(nèi)力S8為未知力，其受力圖如圖2.24(f)所示。由∑X=0，可解得:

S8=－10kN至此，全部桿件內(nèi)力均已求出，故另一平衡方程∑Y=0可用來(lái)校核所得結(jié)果。于是全部桿件的內(nèi)力為：S1=S4=－20kN，S2=42.4kNS3=－40kN，S5=S9=14.14kNS6=20kN，S7=S8=-10kN順便指出，如果作用在圖2.24(a)上的外力P1為0，由節(jié)點(diǎn)C

的受力圖根據(jù)平面匯交力系的平衡方程可直接求出3桿的內(nèi)力S3為0，稱為零桿。直接分析零桿，可方便地求出其他桿的內(nèi)力。

【例2.11】圖2.25(a)所示為一橋梁桁架，節(jié)點(diǎn)上的載荷P=1200N，Q=400N，尺寸a=4m，b=3m。求1、2、3、4桿所受的力。

解本例若采用節(jié)點(diǎn)法，則需先求出支座的約束力，然后依次選取每個(gè)節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，應(yīng)用匯交力系平衡方程求出各桿所受的力。在計(jì)算過(guò)程中需要計(jì)算若干非所求量?，F(xiàn)在采用另一種計(jì)算桁架受力的方法——截面法。這種方法的要點(diǎn)是先求出支座的約束力，然后選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)慕孛妫傧氲匕谚旒芙亻_(kāi)成兩部分；選擇左部分(或右部分)桁架為研究對(duì)象，其受力圖如圖2.25(a)所示。圖2.25應(yīng)用平面力系的平衡方程，有解得其次，作截面n—n將1、2、3桿截?cái)啵硅旒芊殖蓛刹糠?，以左邊部分桁架為研究?duì)象，其受力圖如圖2.25(b)所示。1、2、3桿所受的力S1、S2、S3=均假設(shè)為拉力。由平衡方程的第二種形式得：解得：其中，負(fù)號(hào)表示S3的實(shí)際方向與所設(shè)方向相反，故為壓力。為求4桿所受的力，可將1、2、4、5桿截?cái)?，考慮節(jié)點(diǎn)G的受力，其受力圖如圖2.25(c)所示。由平衡方程：∑Y=0解得：最后，讀者不妨試一下用截面將3、4和6桿截開(kāi)，考察部分平衡，