2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第七章　立體幾何與空間向量第七節(jié)　用空間向量研究夾角問(wèn)題

第七節(jié)用空間向量研究夾角問(wèn)題能用向量方法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問(wèn)題，并能描述解決這一類(lèi)問(wèn)題的程序，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用.1.異面直線所成角若異面直線l1，l2所成的角為θ，a，b分別是直線l1，l2的方向向量，則cosθ＝｜c(diǎn)os＜a，b＞｜＝.提醒兩異面直線所成的角為銳角或直角，而不共線的向量的夾角的范圍為（0，π），所以公式中要加絕對(duì)值.2.直線與平面所成角如圖所示，設(shè)l為平面α的斜線，l∩α＝A，a為l的方向向量，n為平面α的法向量，θ為l與α所成的角，則sinθ＝｜c(diǎn)os＜a，n＞｜＝.提醒直線與平面所成角的范圍為0，π2，而向量之間的夾角的范圍為[0，π3.平面與平面的夾角（1）平面與平面的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱(chēng)為平面α與平面β的夾角，如圖①.若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝｜c(diǎn)os＜n1，n2＞｜＝n1·n2（2）二面角：二面角α-l-β為θ或π－θ.設(shè)二面角大小為φ，則｜c(diǎn)osφ｜＝cosθ＝｜n1·n提醒注意二面角與兩個(gè)平面的夾角的區(qū)別與聯(lián)系，二面角的范圍為[0，π]，兩個(gè)平面的夾角的范圍為［0，π21.判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）（1）兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.（）（2）直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.（）（3）兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角.（）2.已知直線l1的方向向量s1＝（1，0，1），直線l2的方向向量s2＝（－1，2，－2），則l1和l2夾角的余弦值為（）A.24 B.C.22 D.3.已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC夾角的余弦值等于.4.已知向量m，n分別是直線l的方向向量、平面α的法向量，若cos＜m，n＞＝－12，則l與α所成的角為5.已知兩平面的法向量分別為m＝（0，1，0），n＝（0，1，1），則兩平面所成的二面角的大小為.最小角定理如圖，若OA為平面α的一條斜線，O為斜足，OB為OA在平面α內(nèi)的射影，OC為平面α內(nèi)的一條直線，其中θ為OA與OC所成的角，θ1為OA與OB所成的角，即線面角，θ2為OB與OC所成的角，那么cosθ＝cosθ1cosθ2.已知AO為平面α的一條斜線，O為斜足，OB為OA在平面α內(nèi)的射影，直線OC在平面α內(nèi)，且∠AOB＝∠BOC＝45°，則∠AOC的大小為（）A.30° B.45°C.60° D.90°異面直線所成的角【例1】（1）（2021·全國(guó)乙卷5題）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為（）A.π2 B.C.π4 D.（2）有公共邊的△ABC和△BCD均為等邊三角形，且所在平面互相垂直，則異面直線AB與CD所成角的正弦值為.聽(tīng)課記錄解題技法用向量法求異面直線所成角的步驟1.如圖，已知以O(shè)為圓心，2為半徑的圓在平面α上，若PO⊥α，且PO＝4，OA，OB為圓O的半徑，且∠AOB＝90°，M為AB的中點(diǎn)，則異面直線OB與PM所成角的余弦值為.2.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，AF＝λAD，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為3210，則λ＝直線與平面所成的角【例2】（2023·全國(guó)甲卷18題）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距離為1.（1）證明：A1C＝AC；（2）已知AA1與BB1的距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.解題技法利用空間向量求線面角的解題步驟提醒線面角的正弦值對(duì)應(yīng)向量夾角的余弦值的絕對(duì)值.在如圖所示的幾何體ABCED中，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝CB＝2DB，∠ACB＝90°，M為AD的中點(diǎn).（1）證明：EM⊥AB；（2）求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.平面與平面的夾角（二面角）【例3】（2023·天津高考17題節(jié)選）如圖，在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，已知A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，N為線段AB的中點(diǎn)，M為線段BC的中點(diǎn).（1）求證：A1N∥平面C1MA；（2）求平面C1MA與平面ACC1A1所成角的余弦值.解題技法向量法求平面與平面的夾角（二面角）的方法（1）找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大??；（2）找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量