2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第五章　數(shù)列第二節(jié)　等差數(shù)列

第二節(jié)等差數(shù)列1.理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.2.探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.3.體會(huì)等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系.1.等差數(shù)列的有關(guān)概念（1）定義：如果一個(gè)數(shù)列從起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的，公差通常用字母d表示，符號(hào)表示為（n∈N*，d為常數(shù)）.提醒在公差為d的等差數(shù)列{an}中：①d＞0?{an}為遞增數(shù)列；②d＝0?{an}為常數(shù)列；③d＜0?{an}為遞減數(shù)列.（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝，其中A叫做a與b的等差中項(xiàng).2.等差數(shù)列的有關(guān)公式（1）通項(xiàng)公式：an＝a1＋（n－1）d＝nd＋（a1－d）?當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù)模型，即an＝pn＋q，其中p為公差；（2）前n項(xiàng)和公式：Sn＝n（a1＋an）2Sn＝na1＋n（n－1）2d＝d2n2＋a1－d2n?當(dāng)d≠0時(shí)3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）；（2）若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），則ak＋al＝am＋an；（3）若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差為md的等差數(shù)列；（4）數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列，公差為.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.（）（2）等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.（）（3）數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.（）（4）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù).（）2.在數(shù)列{an}中，a1＝－2，an＋1－an＝2，則a5＝（）A.－6 B.6C.－10 D.103.已知等差數(shù)列{an}，若a1＝12，a2＋a5＝36，則a6＝（）A.20 B.24C.28 D.324.已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a2＝2，S4＝14，則an＝.5.（2024·金華模擬）在首項(xiàng)為28的等差數(shù)列{an}中，從第8項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，則公差d的取值范圍是.1.若{an}，{bn}均為等差數(shù)列且其前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，則anbn2.若{an}是等差數(shù)列，則Snn也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與{an}的首項(xiàng)相同，公差是{an}公差的3.若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n，則S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；S偶－S奇＝nd，S奇S偶4.若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1，則S2n－1＝（2n－1）an；S奇S偶＝nn－1；S奇－S偶＝1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝－2023，且S20242024－S2023A.0 B.1C.2023 D.20242.在項(xiàng)數(shù)為2n的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項(xiàng)之和為75，各偶數(shù)項(xiàng)之和為90，末項(xiàng)與首項(xiàng)之差為27，則n＝.3.已知等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為319，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為290，則該數(shù)列的中間項(xiàng)為.4.已知數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，Sn，Tn分別是它們的前n項(xiàng)和，并且SnTn＝7n+33等差數(shù)列基本量的運(yùn)算【例1】（1）（2023·全國(guó)甲卷5題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，則S5＝（）A.25 B.22C.20 D.15（2）（多選）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S4＝0，a5＝5，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.a2＋a3＝0 B.an＝2n－5C.Sn＝n（n－4） D.d＝－2聽課記錄解題技法等差數(shù)列基本量運(yùn)算的常見類型及解題策略（1）求公差d或項(xiàng)數(shù)n：在求解時(shí)，一般要運(yùn)用方程思想；（2）求通項(xiàng)：a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本元素；（3）求特定項(xiàng)：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解；（4）求前n項(xiàng)和：利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求解或利用等差中項(xiàng)間接求解.1.已知{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，則n＝（）A.6 B.7C.8 D.92.在我國(guó)古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國(guó)古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì).例如，北京天壇圜丘壇的地面由扇環(huán)形的石板鋪成，如圖，最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共9圈，則第7圈的石板數(shù)為，前9圈的石板總數(shù)為.等差數(shù)列的判定與證明【例2】（2022·全國(guó)甲卷17題節(jié)選）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知2Snn＋n＝2an＋1.證明：{an（變條件）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，?n∈N*，an+12＝anan＋2＋t，t為常數(shù)，且2a3＝a2＋a4.證明：數(shù)列{an解題技法判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法（1）定義法：對(duì)任意n∈N*，an＋1－an是同一常數(shù)；（2）等差中項(xiàng)法：對(duì)任意n≥2，n∈N*，滿足2an＝an＋1＋an－1；（3）通項(xiàng)公式法：對(duì)任意n∈N*，都滿足an＝pn＋q（p，q為常數(shù)）；（4）前n項(xiàng)和公式法：對(duì)任意n∈N*，都滿足Sn＝An2＋Bn（A，B為常數(shù)）.提醒（3）（4）只適用于客觀題的求解與判斷.1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an2＋bn（a，b∈R）且a2＝3，a6＝11，則S7＝（）A.13 B.49C.35 D.632.數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝1，且1an－1＝2an－1an+1（n≥2），則數(shù)列{A.1100 B.1C.12100 3.已知bn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積，且2an＋1bn＝2.證明：數(shù)列{b等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用考向1等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)【例3】（1）在等差數(shù)列{an}中，已知a2＝5，am＝7，am＋3＝10，則數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為（）A.12 B.22C.23 D.25（2）已知數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，a1＝1，b1＝5，且a21－b21＝34，則a11－b11＝（）A.－17 B.－15C.17 D.15聽課記錄解題技法利用2am＝am－n＋am＋n可實(shí)現(xiàn)項(xiàng)的合并與拆分，在Sn＝n（a1＋an）2中，Sn考向2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)【例4】（1）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10＝10，S20＝60，則S40＝（）A.110 B.150C.210 D.280（2）等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意正整數(shù)n都有SnTn＝2n－13n聽課記錄解題技法在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則：（1）S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1），S2n－1＝（2n－1）an；（2）Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列.考向3等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題【例5】（多選）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S15＞0，S16＜0，則（）A.a8＞0 B.a9＜0C.S1a1，S2a2，…，S15a15中最大的項(xiàng)為S9a聽課記錄解題技法求等差數(shù)列前