2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)(1)-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期課題數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)（1）教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.通過參與數(shù)學(xué)建模的全過程，了解數(shù)學(xué)建模的概念，掌握數(shù)學(xué)建模的基本過程；2.在探究數(shù)學(xué)建模的過程中，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)模型在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；3.體會(huì)課題研究的過程，感受課題研究的意義，提升數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，數(shù)據(jù)的收集與函數(shù)模型的選擇和建立．教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)據(jù)的收集，函數(shù)模型的選擇．教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)2分鐘（一）復(fù)習(xí)回顧導(dǎo)語：通過前期對(duì)函數(shù)應(yīng)用相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，我們知道用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題時(shí)，首先要對(duì)實(shí)際問題中的變化過程進(jìn)行分析，析出其中的常量、變量及其相互關(guān)系；明確其運(yùn)動(dòng)變化的基本特征，從而確定它的運(yùn)動(dòng)變化類型.然后根據(jù)分析結(jié)果，選擇合適的函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題化歸為數(shù)學(xué)問題；再通過運(yùn)算、推理，求解函數(shù)模型.最后利用函數(shù)模型的解說明實(shí)際問題的變化規(guī)律，達(dá)到解決問題的目的.但是在構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到?jīng)]有現(xiàn)成數(shù)據(jù)可用的情況，這時(shí)就需要先收集數(shù)據(jù).本節(jié)課就讓我們一起經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的全過程，一起感受數(shù)學(xué)與我們生活的緊密聯(lián)系.也希望通過每節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們?cè)谝院蟮纳钪袊L試著用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.師生活動(dòng)：教師總結(jié)用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的基本構(gòu)成，學(xué)生復(fù)習(xí)回顧.設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)函數(shù)應(yīng)用問題的回顧，提出解決問題需要自己收集數(shù)據(jù)，激發(fā)學(xué)生探究興趣．5分鐘（二）選題開題實(shí)際情景我國是茶的故鄉(xiāng)，是世界上最早發(fā)現(xiàn)茶樹、利用茶葉和栽培茶葉的國家，也是茶文化的發(fā)源地.中國茶道的主要內(nèi)容講究五境之美，即茶葉、茶水、火候、茶具、環(huán)境,其中茶葉可分為綠茶、紅茶、烏龍茶、白茶、黃茶和黑茶.茶文化的內(nèi)涵其實(shí)就是中國文化的一種具體表現(xiàn).中國素有禮儀之邦之稱謂，茶文化的精神內(nèi)涵即是通過沏茶、賞茶、聞茶、飲茶、品茶等習(xí)慣與中國的文化內(nèi)涵和禮儀相結(jié)合形成的一種具有鮮明中國文化特征的一種文化現(xiàn)象，也可以說是一種禮節(jié)現(xiàn)象.提出問題茶已成為全世界最大眾化、最受歡迎、最有益于身心健康的綠色飲料.那你知道如何才能泡制一杯口感最佳的茶水嗎？情景分析問題1：影響茶水口感的因素有哪些？師生活動(dòng)：學(xué)生思考發(fā)言，相關(guān)因素可能包含有茶葉類型、水溫、茶具、泡茶用水、沖泡方法、茶葉用量、沖泡次數(shù)等.教師歸納并給出情景：經(jīng)驗(yàn)表明，我們探究使用的某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感..問題2：如何處理這些影響因素呢？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合探究的側(cè)重分析相關(guān)因素的重要程度，突出主要因素，弱化次要因素的影響；學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，進(jìn)一步思考確定主要因素，通過控制變量的方法弱化次要因素對(duì)探究過程的影響.教師總結(jié)：在此次探究過程中，我們將水溫作為主要因素，可以在探究開始前，先提出一些假設(shè)，通過控制變量的方法減少他們對(duì)結(jié)果的影響：如在實(shí)驗(yàn)過程中1.選擇同一種且等量的茶葉沖泡；2.使用同一個(gè)茶具，比如同一個(gè)玻璃杯；3.固定初始泡茶的水溫85℃；4.在同一環(huán)境溫度25℃下，使用相同純凈水，并用相同的泡茶方法.問題3:如何刻畫茶水降溫的過程？師生活動(dòng)：學(xué)生交流討論.教師總結(jié)：茶水降溫的過程中也伴隨著時(shí)間的變化，因此我們可以建立茶水溫度隨時(shí)間變化的函數(shù)模型，將該茶水溫度的實(shí)測(cè)過程轉(zhuǎn)變?yōu)闀r(shí)間估計(jì)的問題，使得不用時(shí)刻測(cè)試水溫，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)模型，通過簡單計(jì)算就可以知道大約需要放置多長時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感.轉(zhuǎn)化問題在25℃室溫下，用85℃的水泡制的茶大約需要放置多長時(shí)間，溫度能夠降到60℃達(dá)到最佳飲用口感？設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)真實(shí)的生活問題，有較強(qiáng)的代入感，培養(yǎng)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)問題并提出或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的意識(shí)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，通過分析讓探究的問題變得可測(cè)量，為后續(xù)的研究奠定基礎(chǔ).17分鐘（三）做題結(jié)題收集數(shù)據(jù)活動(dòng)1：請(qǐng)同學(xué)們小組合作，為獲取數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)流程.師生活動(dòng)：學(xué)生小組合作，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)流程，并在全班分享交流，互相完善最終形成實(shí)驗(yàn)流程.預(yù)想：用85℃的純凈水泡好一杯茶，每隔1分鐘測(cè)量一次茶水溫度，并進(jìn)行記錄.問題4：該實(shí)驗(yàn)過程需要用到哪些測(cè)量工具？師生活動(dòng)：學(xué)生總結(jié)，需要秒表和溫度計(jì).追問：怎樣保證測(cè)量數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性以減少誤差?師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生提出在實(shí)驗(yàn)過程中，可多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，取平均值從而減小誤差.任務(wù)1：請(qǐng)同學(xué)們課后按照實(shí)驗(yàn)流程進(jìn)行實(shí)驗(yàn),獲取并記錄一組數(shù)據(jù).設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生參與到數(shù)據(jù)收集的設(shè)計(jì)和實(shí)施過程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)某研究人員得到一組數(shù)據(jù)，以下探究過程應(yīng)用該組數(shù)據(jù)：時(shí)間/min012345溫度/℃85.0079.1974.7571.1968.1965.10建立模型觀察實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)會(huì)發(fā)現(xiàn)，隨著時(shí)間的變化，茶水的溫度也在發(fā)生變化，這兩個(gè)變量可以存在著某種函數(shù)關(guān)系，但并沒有現(xiàn)成的函數(shù)模型，所以我們可以借助數(shù)據(jù)的趨勢(shì)進(jìn)行分析.散點(diǎn)圖如下：問題5：觀察散點(diǎn)圖，兩個(gè)變量有怎樣的變化趨勢(shì)？師生活動(dòng)：學(xué)生觀察并總結(jié)，散點(diǎn)圖的分布狀況成遞減狀態(tài)，也就是說茶水的溫度隨時(shí)間成遞減關(guān)系.追問：當(dāng)時(shí)間不斷延長，最終茶水能降到什么溫度？師生活動(dòng)：學(xué)生思考并回答，茶水最終將趨于室溫25℃.問題6：請(qǐng)同學(xué)們?cè)谇捌趯W(xué)習(xí)的函數(shù)中找到符合趨勢(shì)的函數(shù)模型？師生活動(dòng)：學(xué)生思考并交流，可能會(huì)提出各種遞減函數(shù)作為備選模型，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注茶水降到室溫就不能再降的事實(shí)，再結(jié)合幾類基本初等函數(shù)的變化特征，指導(dǎo)學(xué)生做出選擇.教師總結(jié)：自變量是少于等于0，函數(shù)值大于等于25，隨著自變量的變化函數(shù)值呈遞減趨勢(shì)且逐漸趨于25，結(jié)合以上特征我們初步可以選定y=求解模型問題7：如何利用以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求解函數(shù)模型中的參數(shù)k和a.師生活動(dòng)：學(xué)生思考，教師給予適當(dāng)引導(dǎo).根據(jù)實(shí)際情況可知，當(dāng)x=0時(shí)，y=85，可得k=60.得到函數(shù)模型：yy為求衰減比例a從第2min的溫度數(shù)據(jù)開始，計(jì)算每一分鐘（y?25）x012345y-2560.0054.1948.7546.1943.1940.10比值0.90320.91810.92840.93510.9285檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛦栴}8：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合這五個(gè)函數(shù)圖象與實(shí)際數(shù)據(jù)的吻合情況，思考應(yīng)該如何選取a的值？比值為0.9032比值為0.9181比值為0.9284比值為0.9351比值為0.9285師生活動(dòng)：學(xué)生比較五個(gè)函數(shù)的吻合程度,與實(shí)際數(shù)據(jù)更加吻合的是當(dāng)比值為0.9181時(shí)，因此可以選擇函數(shù)y=60×0.9181y=60×0.9227x通過比較，采用平均值作為衰減比例與實(shí)際數(shù)據(jù)更加的吻合，因此選取的函數(shù)模型為y=教師總結(jié)：這種采用平均值的方法在解決實(shí)際問題中也是很常見的.因?yàn)閷?shí)驗(yàn)所得的數(shù)據(jù)并不一定具有很強(qiáng)的規(guī)律性，所以我們?cè)趯?shí)驗(yàn)過程中應(yīng)盡量重復(fù)大量實(shí)驗(yàn)，以保證數(shù)據(jù)的代表性，而在函數(shù)模型的選擇上也是多樣的，所選擇的函數(shù)模型一般也只能大致反應(yīng)茶水溫度變化的局部規(guī)律，因此，建立模型后需要對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn).求解問題問題9：在25℃室溫下，剛泡好的茶水大約需要放置多長時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感？師生活動(dòng)：學(xué)生完成計(jì)算思路，教師給予信息技術(shù)支持求解最后答案.將y=60代入y=60×60×0.9227解得x由信息技術(shù)得x≈6教師總結(jié)：至此，我們完成整個(gè)實(shí)際問題的探究，并得到在25℃室溫下，用85℃水泡制的茶大約需要放置7min，溫度能夠降到60℃達(dá)到最佳飲用口感.問題10：你體會(huì)到研究這個(gè)問題具有哪些實(shí)際價(jià)值？師生活動(dòng)：學(xué)生思考并發(fā)言.教師總結(jié)：很多實(shí)際問題的背后，可能都隱藏著某種規(guī)律，這種規(guī)律可以用實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行探究，并用數(shù)學(xué)的方法加以刻畫.設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生對(duì)具體問題建模過程的參與，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)模型在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用；同時(shí)了解數(shù)學(xué)建模的概念，知道數(shù)學(xué)建模的過程，初步培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的意識(shí).2分鐘（五）課堂小結(jié)活動(dòng)2：請(qǐng)同學(xué)們小組合作，結(jié)合以上探究過程歸納數(shù)學(xué)建模的步驟.教師總結(jié)：數(shù)學(xué)建模需要我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察實(shí)際情境，從而發(fā)現(xiàn)和提出問題，用數(shù)學(xué)的方式收集數(shù)據(jù)，其中包括必要的假設(shè)和實(shí)驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)，利用數(shù)學(xué)思維選擇函數(shù)模型，用數(shù)學(xué)知識(shí)求解函數(shù)模型，最后檢驗(yàn)結(jié)果，若符合實(shí)際則將數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解，若不符合實(shí)際則要重新選擇模型.這就是數(shù)學(xué)建模的過程.作業(yè)布置：請(qǐng)同學(xué)們仿照上述過程開展一次建立模型解決實(shí)際問題的活動(dòng)，可以繼續(xù)研究不同室溫下泡制一杯最佳口感茶水所需的時(shí)間，也可以從下列選題中選擇一個(gè)：1.應(yīng)在炒菜之前多長時(shí)間將冰箱里的肉拿出來解凍？2.根據(jù)某一同學(xué)的身高和體