2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】指數(shù)函數(shù)的概念-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期第一學(xué)期課題指數(shù)函數(shù)的概念教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.通過具體的實(shí)例，從實(shí)際問題中抽象概括出指數(shù)函數(shù)的概念；2.通過實(shí)例感受指數(shù)模型的特點(diǎn)，體會數(shù)學(xué)應(yīng)用的價(jià)值；3.通過數(shù)形結(jié)合的方法，在指數(shù)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：從實(shí)際問題中抽象出指數(shù)函數(shù).教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合地發(fā)現(xiàn)實(shí)際問題變化規(guī)律的本質(zhì).教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)5分鐘3分鐘2分鐘10分鐘創(chuàng)設(shè)問題情景1，引導(dǎo)學(xué)生歸納概括指數(shù)增長模型創(chuàng)設(shè)問題情景2，引導(dǎo)學(xué)生歸納概括指數(shù)衰減模型分析兩個(gè)實(shí)例的共同點(diǎn)，歸納總結(jié)指數(shù)函數(shù)模型例題分析鞏固概念教師活動(dòng)問題1隨著中國經(jīng)濟(jì)高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式.由于旅游人數(shù)不斷增加，A，B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對措施，A地提高了景區(qū)門票價(jià)格，而B地則取消了景區(qū)門票.下表給出了A，B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量.提問：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，比較兩個(gè)景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律？觀察表格，發(fā)現(xiàn)A地景區(qū)的游客人次年增加量近似于為常數(shù)，而B地景區(qū)的游客人次年增加量越來越大.為了有利于觀察變化規(guī)律，我們畫出散點(diǎn)圖如下：學(xué)生活動(dòng)觀察圖象，進(jìn)一步驗(yàn)證A地景區(qū)的游客人次近似于直線上升（線性增長），年增長量大致相等（約為10萬次）；而B地景區(qū)的游客人次則是非線性增長的，年增加量越來越大，但不能準(zhǔn)確說出增長了多少，規(guī)律不明顯.追問：為了進(jìn)一步研究B地景區(qū)的游客人次增長規(guī)律，我們可以通過運(yùn)算得出其它刻畫游客人次增長的數(shù)據(jù)，在日常生活中我們常用增長率來刻畫數(shù)據(jù)的增長情況，你能嘗試嗎？結(jié)果表明，B地景區(qū)游客人次增長率約為1.11-1=0.11，是一個(gè)常數(shù).像這樣增長率為常數(shù)的變化方式，我們稱之為指數(shù)增長.新問：你能否用函數(shù)解析式刻畫B地景區(qū)游客人次隨時(shí)間指數(shù)增長的變化規(guī)律.這是一個(gè)函數(shù)，其中x是自變量.教師活動(dòng)問題2當(dāng)生物死后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.按照上述變化規(guī)律，死亡生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？實(shí)際上科學(xué)研究表明，宇宙射線在大氣中能產(chǎn)生包括碳14在內(nèi)的放射性物質(zhì).碳14的衰減非常有規(guī)律，其準(zhǔn)確性可以稱為自然界的“準(zhǔn)確時(shí)鐘”，動(dòng)植物在生長過程中衰減的碳14，可以通過與大氣的相互作用得到補(bǔ)充，所以活著的動(dòng)植物體內(nèi)的碳14含量不變.死亡后的動(dòng)植物停止了與外界的相互作用，體內(nèi)原有的碳14按確定的規(guī)律衰減，半衰期為5730年，這也是考古中常用碳14來推斷年代的原因。像這樣衰減率為常數(shù)的變化方式，我們稱之為指數(shù)衰減.提問：死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為多少？能否用函數(shù)解析式刻畫死亡生物體內(nèi)碳14含量隨時(shí)間的變化情況？學(xué)生活動(dòng)設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為p，如果剛死亡時(shí)碳14含量為1個(gè)單位，那么所以設(shè)生物死亡年數(shù)為x，死亡生物體內(nèi)碳14含量為y，則這是一個(gè)函數(shù)，其中x是自變量.師生活動(dòng)問題3比較上述兩個(gè)實(shí)例，B地景區(qū)游客人次增長與碳14衰減，它們所反映的變化規(guī)律有什么共同特征？從數(shù)據(jù)看，它們的變化率（增長率、衰減率）是常數(shù)，從解析式看，如果用a代替底數(shù)，則它們都是y=ax的形式，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的一類新函數(shù)，指數(shù)函數(shù).一般地，函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x為自變量，定義域?yàn)镽.注意與冪函數(shù)的區(qū)別：指數(shù)函數(shù)的自變量x在指數(shù)位置，而冪函數(shù)的自變量x在底數(shù)位置.在指數(shù)函數(shù)中，當(dāng)x∈N時(shí)，y=ax（a>1）還可以表示為y=（1+p）x，其中p（p>0）表示增長率；y=ax（0<a<1）還可以表示為y=（1-p）x，其中p（p>0）表示衰減率.因此指數(shù)函數(shù)是刻畫呈指數(shù)增長或指數(shù)衰減變化規(guī)律的函數(shù)模型.例1已知函數(shù)f(x)=ax（a>0且a≠1），且f(3)=π，求f(0),f(1),f(-3)的值.師生活動(dòng)：由f(3)=π可知a3=π，解得a=π13，于是f(x)=所以f(0)=1,f(1)=π13,f(-3)=練習(xí)1下列圖象中有可能表示指數(shù)函數(shù)的圖象是（）師生活動(dòng)：指數(shù)函數(shù)應(yīng)該是非線性的，而且函數(shù)值不可能取到負(fù)數(shù)，A，B，D顯然不符合題意，而C的圖象符合指數(shù)增長的特點(diǎn)，因此選C.練習(xí)2已知函數(shù)y=f(x),x∈R，且求函數(shù)y=f(x)的一個(gè)解析式.師生活動(dòng)：從條件我們可以看到，自變量每增加0.5函數(shù)值都會是原來的兩倍，這就體現(xiàn)出函數(shù)f(x)具有指數(shù)增長的特點(diǎn)，因此可以此構(gòu)造符合條件的函數(shù)，因?yàn)閒(0.5)所以f(1)說明函數(shù)f(x)以4為增長比例呈指數(shù)增長，又因?yàn)閒(0)=3,說明初始量為3，所以f(x)=3×4例2（1）在問題1中，如果平均每位游客出游一次可給當(dāng)?shù)貛?000元門票之外的收入，A地景區(qū)的門票價(jià)格為150元，比較這15年間A，B兩地旅游收入變化情況.（2）在問題（2）中，某生物死亡10000年后，它體內(nèi)碳14的含量衰減為原來的百分之幾？師生活動(dòng)：（1）設(shè)x年后A，B兩地的旅游收入分別為f(x)和g(x)，則利用計(jì)算工具可得每一年的收入差，比如f(0)-g(0)=412000，通過計(jì)算我們發(fā)現(xiàn)A與B的旅游收入差原來越小，大約在x=10.22處A與B的旅游收入相等.結(jié)合圖象我們可得出結(jié)論：x<10.22時(shí)，f(x)>g(x),x>10.22時(shí)，f(x)<g(x).(2)設(shè)生物死時(shí)體內(nèi)碳14含量為1個(gè)單位，x年后含量為h(x),則所以x=10000時(shí)，利用計(jì)算工具可