2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用-教學(xué)設(shè)計

課程基本信息課例編號學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期第一學(xué)期課題指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.能利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較兩個同底的冪的大小，進一步體會單調(diào)性的作用；2.在實際問題的解決過程中體會指數(shù)函數(shù)的廣泛作用，感受指數(shù)增長，提升數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)；3.結(jié)合指數(shù)函數(shù)的研究過程，進一步體會研究具體函數(shù)的一般思路和方法，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng).教學(xué)重點：用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個冪的大小.教學(xué)難點：運用指數(shù)函數(shù)解決實際問題.教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動3分鐘一.復(fù)習(xí)回顧引導(dǎo)語：前面的兩節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，現(xiàn)在進行一下回顧.一、指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.對于指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)的復(fù)習(xí)回顧，可以定位在腦中有圖，利用記住的圖象，整體把握指數(shù)函數(shù)的所有性質(zhì).指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)：補充說明：當(dāng)0<a<1時，若x>0,0<y<1；若x<0,y>1.當(dāng)a>1時，若x>0,y>1；若x<0,0<y<1.對于上面這個結(jié)論，我們要深究引入y與1比的緣由，一方面是所有指數(shù)函數(shù)的圖象均過（0,1）點且具有單調(diào)性，另一方面所有的ax(a>0，且a≠1)均為正數(shù)，所以1是一個重要的分界點.這節(jié)課我們主要通過具體的例子來熟悉指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用.設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)，為后面應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的圖象及單調(diào)性解決實際問題做鋪墊.以舊引新，讓學(xué)生有熟悉感并能提高學(xué)習(xí)的興趣.12分鐘二．例題講解例1：比較下列各題中兩個值的大小：（1）1.72.5,1.73；（2），；（3）1.70.3,0.93.1.解：(1)1.72.5和1.73可以看作函數(shù)y=1.7x當(dāng)x分別取2.5和3時所對應(yīng)的兩個函數(shù)值.因為底數(shù)1.7>1，所以指數(shù)函數(shù)y=1.7x是增函數(shù).因為2.5<3，所以1.72.5<1.73.（第(1)題的基本步驟起到示范作用，要說清楚，特別是第一步：構(gòu)造函數(shù)，問題的關(guān)鍵是把要比較的兩個數(shù)看成某個函數(shù)的函數(shù)值.）和可以看作函數(shù)y=0.8x當(dāng)x分別取和時所對應(yīng)的兩個函數(shù)值.因為底數(shù)0<0.8<1，所以指數(shù)函數(shù)y=0.8x是減函數(shù).因為>，所以<.(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,所以1.70.3>0.93.1.(對于第（3）題還是從同樣的方法入手，但是發(fā)現(xiàn)靠一個函數(shù)解決不了問題，而1的出現(xiàn)，相當(dāng)于就是構(gòu)造兩個函數(shù)來解決問題.)師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生將每一組中的兩個值可以看作一個指數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值，從而利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較.對于（1）、（2），可以直接利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較；對于（3），1.70.3和0.93.1看作某一個指數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值.可以利用函數(shù)y=1.7x和y=0.9x的圖象特征，以及“x=0時，y=1”這條性質(zhì)把它們聯(lián)系起來.設(shè)計意圖：通過應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個數(shù)的大小，根據(jù)問題的特點構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，幫助學(xué)生進一步熟悉指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并促使他們形成用函數(shù)觀點解決問題的意識.練習(xí)：比較下列各題中兩個值的大?。?.3-3.5,0.3-2.3；（2），；（3）1.20.5，0.51.2；（4）0.251.5，0.51.2.師生活動：練習(xí)安排在例1的后面，由學(xué)生獨立完成，進而教師給出評價，重點點評練習(xí)（2）、（4），在指數(shù)相同、底數(shù)不同的情況下比較兩個冪的大小，可以構(gòu)造兩個指數(shù)函數(shù)y=6x和y=7x，比較圖象中這兩個函數(shù)值，所在的點的位置的高低，也可以采用作商法，商值與1比.在指數(shù)不同、底數(shù)也不同的情況下比較兩個冪的大小，首先要看兩個冪是否可能化為同底的情況.設(shè)計意圖：通過對例1的變式，促進學(xué)生對指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的理解,逆用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，建立函數(shù)思想和分類討論思想.例2：如圖1，某城市人口呈指數(shù)增長.根據(jù)圖象，估計該城市人口每翻一番所需的時間（倍增期）；該城市人口從80萬開始，經(jīng)過20年，人口會增長到多少？圖1解：（1）觀察圖1，發(fā)現(xiàn)該城市人口經(jīng)過20年約為10萬人，經(jīng)過40年約為20萬人，即由10萬人口增加到20萬人口所用的時間約為20年，所以該城市人口每翻一番所需的時間約為20年.（2）因為倍增期為20年，所以每經(jīng)過20年，人口將翻一番.因此，從80萬人開始，經(jīng)過20年，該城市人口大約會增長到160萬人.師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生對問題進行分析，根據(jù)該城市人口呈指數(shù)增長，而同一指數(shù)函數(shù)的倍增期是相同的，所以可以從圖象中選取適當(dāng)?shù)狞c計算倍增期.要計算20年后的人口數(shù)，關(guān)鍵是要找到20年與倍增期的數(shù)量關(guān)系，由于倍增期是20年，因此容易得到“從80萬人開始，20年后人口大約會增長到160萬人”.設(shè)計意圖：這個題目讓學(xué)生了解指數(shù)函數(shù)的廣泛應(yīng)用，通過應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的圖象分析和解決問題，建立函數(shù)圖象與概念、性質(zhì)的聯(lián)系，進一步促使學(xué)生形成用函數(shù)觀點解決問題的意識.5分鐘三.鞏固提升例3:已知函數(shù)y=()|x|+b的圖象過原點.求該函數(shù)的解析式，并畫出圖象；判斷該函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.解：（1）∵函數(shù)y=()|x|+b的圖象過原點，∴將解析式中代入（0,0）得1+b=0，∴b=-1，∴y=()|x|-1通過描點法：=1\*GB3①列表；=2\*GB3②描點；=3\*GB3③連線.就能得到函數(shù)y=()x-1在y軸右側(cè)的圖象：進而利用函數(shù)y=()|x|-1是偶函數(shù)的性質(zhì)，就能知道它的圖象是關(guān)于y軸對稱的，根據(jù)函數(shù)y=()x-1在y軸右側(cè)的圖象將y軸左側(cè)補充完整，就得到了函數(shù)y=()|x|-1的圖象：（2）函數(shù)y=()|x|-1是偶函數(shù)，且在（，0]上單調(diào)遞增，在（0，）上單調(diào)遞減.師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生對問題進行分析，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象過某一點，將這一點的橫縱坐標(biāo)分別代入函數(shù)的解析式，求得未知數(shù)的值，從而獲得函數(shù)的解析式，有了解析式，才能順利地解決函數(shù)的圖象及其性質(zhì)等其他問題.設(shè)計意圖：體現(xiàn)借助指數(shù)函數(shù)知識拓展了研究函數(shù)的類型，有了更多的工具能幫助我們解決更多的函數(shù)問題，從這個角度體現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用.3分鐘四．課堂小結(jié)、布置作業(yè)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并引導(dǎo)學(xué)生回答下列問題：師生活動：教師出示問題后，先由學(xué)生思考后再進行全班交流，最后老師再進行總結(jié).要強調(diào)如下幾點：1.比較兩個冪的大小的方法：對于底數(shù)相同，但指數(shù)不同的冪的大小比較，可以構(gòu)造適當(dāng)?shù)闹笖?shù)函數(shù)，用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷，如果底數(shù)不確定，需分兩類討論，根據(jù)底數(shù)>1或者0<底數(shù)<1這兩種情況來確定函數(shù)單調(diào)性（對于底數(shù)不同的冪，首先考慮是否能化為同底，如果可以則也屬于此類）；對于底數(shù)不同，但指數(shù)相同的冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的圖象的變化規(guī)律來判斷，也可以用作商法來判斷，商與1比；對于底數(shù)不同，且指數(shù)不同的冪的大小比較，則應(yīng)考慮引入第三個數(shù)（常用0和1）分別與之比較，借助中間值來比大小.2.指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0,且a≠1）所刻畫的現(xiàn)實問題的類型:當(dāng)a>1時，函數(shù)以指數(shù)增長；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)以指數(shù)衰減.3.結(jié)合研究指數(shù)函數(shù)的經(jīng)驗，體會研究一個具體函數(shù)的一般思路：概念——圖象——性質(zhì)首先研究這個函數(shù)的概念，概念能夠體現(xiàn)變量間對應(yīng)關(guān)