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文檔簡介
第=page11頁,共=sectionpages11頁廣東省六校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A=x∈Rx2?x?2<0,B=y∣y=A.?1,4 B.0,2 C.12,1 2.命題“?x>0,x2+x>0”的否定是A.?x>0,x2+x>0 B.?x>0,x2+x≤03.已知等邊?ABC的邊長為1,點(diǎn)D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),若DF=3EF,則AF=A.12AB+34AC B.14.將函數(shù)fx=sin2x?π6的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2(縱坐標(biāo)不變)A.0,π8 B.π8,π45.已知x>0,y>0,且1x+2y=1,則2x+1yA.4 B.42?1 C.66.將曲線y=e2x(e為自然對數(shù)的底數(shù))繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ后第一次與x軸相切,則tanA.e B.e2 C.2e D.7.如圖,在已知正方體ABCD?A1B1C1D1中,N是棱AB上的點(diǎn),且AN=A.1341 B.1354 C.351278.已知函數(shù)f(x)=cos3x?cos2x,x∈(0,π),若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,A.14 B.?14 C.1二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。9.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1、z2對應(yīng)的向量分別為a1、a2,則下列說法不A.z1z2=a1?a2 B.z1?z10.已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,若S25A.當(dāng)n=24,Sn最大 B.使得Sn<0成立的最小自然數(shù)n=48
C.a23+11.如圖,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,AC=BC=CC1=2,AC⊥BC,Q是線段AB的中點(diǎn),P是線段BCA.三棱錐P?A1QC的體積為定值
B.直線PQ與AC所成角的正切值的最小值是22
C.在直三棱柱ABC?A1B三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.已知向量a=m,1,b=m,?1,若2a?b13.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an?2n∈N?,14.若存在a,b,c∈π,2π(a,b,c互不相等),滿足sinωa+sin四、解答題:本題共4小題,共48分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在ΔABC中,角A,B,C對應(yīng)的三邊分別是a,b,c,且2(1)求角C的值;(2)若c=5,2tanA=3tanB16.(本小題12分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(?1,0),F(xiàn)21,0,點(diǎn)A(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率;(2)已知直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且OM⊥ON,求?OMN面積的取值范圍.17.(本小題12分)(一)如圖所示,已知四棱錐P?ABCD中,BC=CD=PA=PB=PC=PD=2,∠ABC=∠ADC=90(1)求證:BD⊥平面PAC;(2)當(dāng)四棱錐P?ABCD的體積最大時(shí),求二面角P?BC?A的正弦值.(二)已知函數(shù)fx(1)若a=?1,求函數(shù)y=f(x)的極值;(2)討論fx(3)若x1,x2x118.(本小題12分)給定正整數(shù)n≥2,設(shè)數(shù)列a1,a2,?,an是1,2,?,n的一個(gè)排列,對i∈1,2,?,n,xi表示以ai為首項(xiàng)的遞增子列的最大長度(數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的長度),yi表示以ai為首項(xiàng)的遞減子列的最大長度.我們規(guī)定:當(dāng)ai后面的項(xiàng)沒有比ai大時(shí),xi=0,當(dāng)ai后面的項(xiàng)沒有比ai小時(shí),yi=0.例如數(shù)列:(1)若n=4,a1=1,a2=4,a3=2,a4(2)求證:?i∈1,2,?,n?1,x(3)求i=1nxi參考答案1.D
2.B
3.A
4.C
5.D
6.C
7.A
8.B
9.ACD
10.ABD
11.ABD
12.2
13.2n+114.9415.解:(1)因?yàn)?a?bc=2cosB,所以2sinA?sinB=2sinCcosB,
則2sin(B+C)?sinB=2sinCcosB,
所以2sinBcosC=sinB,0<B<π,sinB≠0,
故cosC=22,又0<C<π16.解:(1)設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),
依題意:12a2+12b2=1a2=b2+1解得a2=2b2=1,
∴橢圓C的方程為x22+y2=1.
橢圓的離心率為e=ca=12.
(2)當(dāng)直線OM不垂直于坐標(biāo)軸時(shí),直線OM的斜率存在且不為0,
設(shè)其方程為y=kx(k≠0),
由y=kxx2+2y2=2,
消去y得x2=217.(一)
(1)證明:因?yàn)锽C=CD,∠ABC=∠ADC=90°,AC=AC,所以Rt△ABC≌Rt△ADC,所以AB=AD,
設(shè)AC∩BD=Q,連接PQ,則△QBC≌△QDC,點(diǎn)Q為BD的中點(diǎn),又PB=PD,所以PQ⊥BD,
又∠DQC=∠BQC,且∠DQC+∠BQC=180°,所以AC⊥BD,又AC∩PQ=Q,AC,PQ?平面PAC
所以BD⊥平面PAC;
(2)解:由(1)可知,BD⊥平面PAC,BD?平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PAC,取AC的中點(diǎn)為O,連接PO,則PO⊥AC,又平面ABCD∩平面PAC=AC,PO?平面PAC,所以PO⊥平面ABCD,過點(diǎn)O作OH⊥BC,垂足為H,連接PH,則PH⊥BC,所以∠PHO為二面角P?BC?A的平面角,
因?yàn)樗睦忮FP?ABCD的體積為:
VP?ABCD=13×SABCD×|PO|=13×|AB|×|BC|×|PO|=13×2×|AB|×PH2?OH2=23×|AB|×3?(|AB|2)2=43×|AB|24×(3?|AB|24)≤43×32=2,當(dāng)且僅當(dāng)|AB|24=3?|AB|24,即|AB|=6時(shí)體積最大,
此時(shí)|OH|=12|AB|=62,|OP|=(3)2?(62)2=62,
在Rt△POH中,tan∠PHO=|OP||OH|=1,所以∠PHO=45°,所以二面角P?BC?A的大小為45°,
所以二面角P?BC?A的正弦值為22.
.
(二)
(1)解:若a=1,f(x)=lnx+2x+(x+1),定義域?yàn)?0,+∞),
所以f′(x)=1x?2x2+1=x2+x?2x2=(x?1)(x+2)x2.f′(x)=0,解得:x=1.
當(dāng)x變化,f′(x),f(x)變化情況如下表所示:
故f(x)有極小值,極小值為f(1)=4,無極大值.
(2)解:f′(x)=1x?2x2?a=?ax2+x?2x2,
(i)當(dāng)a=0時(shí),f(x)在(0,2)單調(diào)遞增,(2,+∞)單調(diào)遞減;
(ii)當(dāng)a<0時(shí),Δ=1?8a>0,f′(x)=0有兩根,設(shè)x1=1?1?8a2a,x2=1+1?8a2a,
則x2<0<x1,f(x)在(0,x1)單調(diào)遞減,(x1,+∞)18.解:(1)以a1為首項(xiàng)的最長遞增子列是a1,a3,a4,
以a2為首項(xiàng)的最長遞減子列是a2,a3和a2,a4.
所以x1=3,y2=2.
i=14|xi?yi|=|3?0|+|0?2|+|2?0|+|0?0|=7.
(2)對i∈{1,2,?,n?1},由于a1,a2,?,an是1,2,?,n的一個(gè)排列,故ai≠ai+1.
若ai<ai+1,則每個(gè)以ai+1為首項(xiàng)的遞增子列都可以在前面加一個(gè)ai,
得到一個(gè)以ai為首項(xiàng)的更長的遞增子列,所以xi>xi+1;
而每個(gè)以ai為首項(xiàng)的遞減子列都不包含ai+1,且ai<ai+1,
故可將ai替換為ai+1,得到一個(gè)長度相同的遞減子列,所以yi≤yi+1.
這意味著xi?yi>xi+1?yi+1;
若ai>ai+1,同理有yi>yi+1,xi≤xi+1,故xi?yi<xi+1?yi+1.
總之有xi?yi≠xi+1?yi+1,從而xi?yi和xi+1?yi+
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