浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

浙江強(qiáng)基聯(lián)盟2024年11月高二聯(lián)考數(shù)學(xué)試題浙江強(qiáng)基聯(lián)盟研究院命制考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交集的概念可直接得到結(jié)果.【詳解】因.故選：D2.如果橢圓的方程是，那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)闄E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，，所以.所以橢圓的焦點(diǎn)為：.故選：C3.已知點(diǎn)，，若，則（）A.1 B.-5 C.1或-5 D.-1或5【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用距離公式即可求解.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，，所以，所以，則.故選：C.4.已知圓和圓，則與的位置關(guān)系是（）A.外切 B.內(nèi)切 C.相交 D.外離【答案】A【解析】【分析】由圓方程可確定兩圓的圓心和半徑，由兩圓圓心距與兩圓半徑的關(guān)系可判斷出位置關(guān)系.【詳解】由圓方程知：圓心，半徑；由，得，所以圓心，半徑；圓心距，所以圓與圓外切.故選：A5.在正方體中，以下說(shuō)法正確的是（）A.若E為的中點(diǎn)，則平面B.若E為的中點(diǎn)，則平面C.若E為的中點(diǎn)，則D.若E為的中點(diǎn)，則【答案】A【解析】【分析】A.利用線面平行的判定定理判斷；B.根據(jù)平面，平面與平面平面不平行判斷；C.利用余弦定理判斷；D.取CD的中點(diǎn)F，由，判斷.【詳解】A.如圖所示：連接AC，BD交于點(diǎn)O，則O為BD的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，故正確；B.易知平面，平面與平面平面不平行，所以與平面不垂直，故錯(cuò)誤；C.如圖所示：在矩形中，，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，在中，，則，所以，則不垂直，故錯(cuò)誤；D.如圖所示：取CD的中點(diǎn)F，易知，又，所以不平行，故錯(cuò)誤；故選：A6.已知，則函數(shù)的最小值是（）A. B. C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】分析函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分析函數(shù)的最小值.【詳解】設(shè)，則.因?yàn)椋裕?所以即.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以.故選：B7.在平行六面體中，若直線與的交點(diǎn)為．設(shè)，，，則下列向量中與共線的向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把表示出來(lái)，根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算判斷向量的平行.【詳解】如圖：因?yàn)?所以與平行.故選：D8.如果函數(shù)那么（）A.2020 B.2021 C.2023 D.2025【答案】B【解析】【分析】記，，根據(jù)的定義可求的周期，根據(jù)周期性求解即可.【詳解】記，，根據(jù)可得，，而，，，，，，所以的周期為5，取值分別為2023，2024，2020，2021，2022，.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，以下說(shuō)法正確的是（）A.z的實(shí)部是3 B.C. D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)實(shí)部的概念判斷A的真假；計(jì)算復(fù)數(shù)的模判斷B的真假；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念判斷C的真假；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷D的真假.【詳解】對(duì)A：復(fù)數(shù)的實(shí)部為3，故A正確；對(duì)B：因，故B正確；對(duì)C：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，，故C正確；對(duì)D：因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，記隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)為i”，其中，則以下說(shuō)法正確的是（）A.若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)不大于3”，則與互斥B.若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則C.若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)不大于2”，則與對(duì)立D.若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則與相互獨(dú)立【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)中的事件，分別寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的基本事件構(gòu)成的集合，根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的定義依次分析，即可【詳解】，故，所以與不互斥，故A錯(cuò)；，故B對(duì)；但，所以與不對(duì)立，故C錯(cuò)；，故D對(duì)；故選：BD11.棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD的內(nèi)切球球心為O，點(diǎn)P是該內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是（）A.記直線AO與直線AB的夾角是α，則B.記直線AO與平面ABC的夾角是β，則C.記的最小值為n，則D.記在上的投影向量為，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)正四面體內(nèi)切球的性質(zhì)結(jié)合正四面體結(jié)構(gòu)特征求解判斷A、C；根據(jù)點(diǎn)到平面的距離求解判斷C；根據(jù)投影定義求解判斷D；【詳解】如圖，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，球O與平面BCD的切點(diǎn)為H，則，根據(jù)等體積法可得，正四面體ABCD的體積，所以，可知，故A對(duì)；由直線AO與平面ABC的夾角是β，設(shè)球O與平面ABC的切點(diǎn)為G，連接OG，所以平面ABC，所以，，所以在直角中，，故B錯(cuò)；令，則Q是平面BCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，即球面上的點(diǎn)到平面BCD上點(diǎn)之間的距離，最小值n表示球面上的點(diǎn)到平面BCD的距離，所以，即，故C對(duì)；點(diǎn)A在線段BC上的投影為線段BC的中點(diǎn)E，點(diǎn)P在線段BC上的投影點(diǎn)位于點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，且的最大值為，則，故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.點(diǎn)A（2，1）到直線l：的距離是________．【答案】【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得答案．【詳解】點(diǎn)A（2，1）到直線l：的距離為，故答案為：13.已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為2π3，弧長(zhǎng)為2π【答案】【解析】【分析】先根據(jù)條件確定圓錐的底面半徑和高，根據(jù)錐體的體積公式求圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線長(zhǎng)為.則由題意：，所以.所以圓錐的體積為：.故答案為：.14.設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)P關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)是Q，若，，則該橢圓的離心率是______．【答案】##0.5【解析】【分析】利用對(duì)角線相互平分判斷四邊形為平行四邊形，利用，中的余弦定理，面積公式列方程，得關(guān)于，，的方程，構(gòu)造出離心率，求解即可.【詳解】由題意，點(diǎn)P關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)是Q，所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知，點(diǎn)是線段（為橢圓的右焦點(diǎn)）的中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形；由，得，則，在平行四邊形中，由，得，所以，在中，由余弦定理得，所以，由題意，，又，所以，則，即，得，所以離心率.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15.已知圓C：，點(diǎn)P（1，4），且直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．（1）若l與C相切，求l的方程；（2）若l的傾斜角為，求l被圓C截得的弦長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對(duì)直線l的斜率不存在和存在兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離等于半徑即可求解.；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式及垂徑定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】由知，圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑為5.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即直線的方程為：，圓心C到直線l的距離為，故與圓C不相切，不滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為：，即，則圓C的圓心到直線l的距離，解得，故直線l的方程為，綜上：直線l的方程為【小問(wèn)2詳解】由l的傾斜角為，所以直線l的方程為，圓C的圓心到直線l的距離為，由垂徑定理得，l被圓C截得的弦長(zhǎng)為，16.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，記的面積為S，已知．（1）若，求外接圓的半徑；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，再根據(jù)正弦定理求半徑；（2）根據(jù)面積公式和余弦定理求解即可【小問(wèn)1詳解】由，得，由，可得，所以外接圓的半徑為【小問(wèn)2詳解】，17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAD是正三角形，四邊形ABCD為等腰梯形，且有，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q在PF上．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)時(shí)，求平面QAB與平面QCD所成角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由線面垂直的判定定理可證平面，即可證明平面平面；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及二面角的夾角公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋?，又因?yàn)椋矫?，所以平面，而平面，所以平面平?【小問(wèn)2詳解】假設(shè)，所以，得到，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，得，，則，設(shè)，則，所以，由可得，解得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，則，取得，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，則，取得，設(shè)平面QAB與平面QCD所成角為，則，所以平面QAB與平面QCD所成角的余弦值為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是．記點(diǎn)的軌跡是曲線，點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn)．（1）求曲線的方程；（2）若，直線l過(guò)點(diǎn)與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，求面積的最大值；（3）過(guò)點(diǎn)作直線交曲線于，兩點(diǎn)，且，證明：為定值．【答案】（1）（）（2）.（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)Mx,y，根據(jù)直線，的斜率之積是，可求的軌跡方程.（2）設(shè)直線的點(diǎn)斜式，用斜率表示出的面積，結(jié)合基本（均值）不等式求最大值.（3）設(shè)直線方程為，根據(jù)弦長(zhǎng)公式表示出OP，根據(jù)直線垂直得到直線的方程，再根據(jù)在橢圓上，表示出，然后代入化簡(jiǎn)即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)Mx,y，因?yàn)?，所?整理得：（）.所以曲線的方程為：（）【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，可得.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可得，此時(shí).當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，代入橢圓的方程：，得：，整理得：.因?yàn)闀r(shí)該方程的一個(gè)解，所以.所以，所以.又點(diǎn)到直線的距離為：.所以.設(shè)，則（因?yàn)闀r(shí)，，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則共線）.那么，所以所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”）綜上可知：面積的最大值為：【小問(wèn)3詳解】如圖：因?yàn)榍€的方程為：（）所以過(guò)的直線可寫(xiě)為：，代入中，可得，整理得：.設(shè)Px1,則，，所以.所以.此時(shí)，直線的方程為：，由且點(diǎn)縱坐標(biāo)大于0，可得：，所以.所以.為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解析幾何中，遇到求最值的問(wèn)題，通常有以下思路：（1）轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)值域問(wèn)題求解.（2）通過(guò)換元，可以轉(zhuǎn)化成基本（均值）不等式求最值的問(wèn)題解決.（3）通過(guò)換元，轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的值域問(wèn)題求解.（4）通過(guò)分析函數(shù)的單調(diào)性，求最值.19.在平面直角坐標(biāo)系中，我們可以采用公式（其中為常數(shù)），將點(diǎn)Px,y變換成點(diǎn)，我們稱該變換為線性變換，上式為坐標(biāo)變換公式．常見(jiàn)的線性變換有平移變換和旋轉(zhuǎn)變換．（1）將點(diǎn)Px,y向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到點(diǎn)，求該變換的坐標(biāo)變換公式，并求將橢圓向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位后，所得新橢圓的方程；（2）將點(diǎn)Px,y繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到點(diǎn)，求上述變換的坐標(biāo)變換公式，并求將橢圓繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得新橢圓的方程；（3）若點(diǎn)Px,y滿足，證明：點(diǎn)Px,y【答案】（1）；.（2）；.（3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)的平移可得坐標(biāo)的變換公式，利用公式可得橢圓平移后的新方程.（2）借助復(fù)數(shù)三角形式運(yùn)算的幾何意義，求坐標(biāo)變換公式，利用公式可得橢圓平移后的新方程.（3）利用（2）的結(jié)論，先把點(diǎn)Px,y的軌跡逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再配