數(shù)學知識導航：平面向量的數(shù)量積

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2。3平面向量的數(shù)量積知識梳理1。兩個向量的夾角(1）定義：已知兩個非零向量a，b（如圖2-3—1所示），作=a，=b,則∠AOB稱為a與b的夾角,記作<a，圖2-3-1（2）范圍:［0，π],并且〈a,b〉=〈b，a〉。(3）當〈a，b〉=時，稱向量a與b互相垂直,記作a⊥b.規(guī)定零向量與任一向量垂直。(4）當〈a，b〉=0時，a與b同向；當<a，b〉=π時，a與b反向。2。向量在軸上的正射影(1)已知向量a和軸l（如圖2-3-2所示)，作OA=a,過點O、A分別作軸l的垂線，垂足分別為O1、A1，則向量O1A1在軸l上的坐標叫做向量a在軸l上的正射影（簡稱射影).a在軸l上的正射影在軸l上的坐標，稱作a在軸l上的數(shù)量或在軸l的方向上的數(shù)量，記作al，a的方向與軸l的正向所成的角為θ,則有圖2（2)當θ為銳角時，al＞0;當θ為鈍角時，al＜0;當θ=0時，al=|a|;當θ=π時，al=—｜a｜。3。向量的數(shù)量積（內(nèi)積)（1）定義：｜a|｜b｜cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積），記作a·b，即a·b=｜a｜｜b｜cosθ.(2)理解：兩向量的數(shù)量積不是向量而是數(shù)量，它可以為正數(shù)、零、負數(shù)。(3）幾何意義：向量a與向量b的數(shù)量積等于a的長度|a｜與b在a方向上的射影｜b｜cosθ的乘積,或b的長度｜b｜與a在b方向上的射影｜a|cosθ的乘積.(4)坐標運算：已知a=（a1，a2)，b=（b1,b2),則a·b=a1b1+a2b2。即兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和。4。向量數(shù)量積的性質(zhì)設a、b為兩個非零向量,e是與b同向的單位向量。（1)e·a=a·e=|a|cos〈a，e〉；(2)a⊥ba·b=0;（3）當a與b同向時，a·b=｜a|｜b｜；當a與b反向時，a·b=-|a||b｜.特別的a·a=|a|2或｜a|=.(4)cos<a，b>=；（5)|a·b｜≤｜a｜|b｜.5.向量數(shù)量積的運算律交換律：a·b=b·a;結合律：(λa)·b=λ（a·b)=a·(λb)(λ∈R）；分配律：（a+b）·c=a·c+b·c。6.向量垂直的坐標表示已知a=(a1，a2)，b=(b1,b2），則a⊥ba1b1+a2b2=0(a1,a2)∥(-b2，b1)。7。向量的長度、距離和夾角公式(度量公式)（1）向量的長度:已知a=(a1,a2）,則｜a|=.即向量的長度等于它的坐標平方和的算術平方根.（2）兩點間距離公式：如果A（x1,y1)，B(x2,y2），則|AB｜=.（3）夾角公式：已知a=（a1，a2），b=(b1，b2），則兩個向量a、b的夾角為cos〈a，b〉=。知識導學復習平行向量基本定理、平面向量基本定理、平面向量的坐標表示及其運算;本節(jié)的重點是向量數(shù)量積的坐標運算、度量公式及其應用，特別是向量垂直的坐標運算的應用;難點是向量數(shù)量積的理解，以及靈活應用度量公式解決問題。疑難突破1.向量的數(shù)量積、向量的數(shù)乘和實數(shù)的乘法，這三種運算有什么區(qū)別和聯(lián)系?剖析：難點是對這三種運算易混淆不清。其突破的途徑是主要從定義、運算的表示方法、運算的性質(zhì)、運算的結果和運算的幾何意義上來分析對比。(1)從定義上看：兩個向量數(shù)量積的結果是一個實數(shù)，而不是向量，其符號由夾角的大小決定;向量數(shù)乘的結果是一個向量，其長度是原向量長度的倍數(shù),其方向由這個實數(shù)的符號所決定;兩個實數(shù)的積也是一個實數(shù)，符號由這兩個實數(shù)的符號所決定.(2）從運算的表示方法上看：兩個向量a、b的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a·b；考上大學后還要學到兩個向量的外積a×b，而a·b是兩個向量的數(shù)量的積，因此書寫時要嚴格區(qū)分.符號“·”在向量數(shù)量積的運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替；向量數(shù)乘的寫法同單項式的寫法;實數(shù)乘法的寫法我們已經(jīng)非常熟悉了。(3)從運算的性質(zhì)上看:①在向量的數(shù)量積中，若a·b=0，則a=0或b=0或〈a,b>=；在向量的數(shù)乘中，若λa=0，則λ=0或a=0;在實數(shù)的乘法中,若a·b=0，則b=0。②在向量的數(shù)量積中，a·b=b·cb=0或a=c或〈b，(a—c)>=。在向量的數(shù)乘中，λa=λb（λ∈R）a=b或a≠b；在實數(shù)的乘法中,ab=bca=c或b=0.③在向量的數(shù)量積中：（a·b）c≠a(b·c）;在向量的數(shù)乘中,（λｍ）a=λ（ｍa）（λ∈R，m∈R)；在實數(shù)的乘法中，有(ab)c=a(bc)。（4）從幾何意義上來看：在向量的數(shù)量積中，a·b的幾何意義是a的長度|a｜與b在a方向上的射影|b｜cosθ的乘積；在向量的數(shù)乘中,λa的幾何意義就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或縮?。耍?；在實數(shù)的乘法中，ab的幾何意義就是ab到數(shù)軸原點的距離等于a、b到數(shù)軸原點距離的積。2.為什么（a·b)c=a（b·c）不成立？剖析：難點是總認為此等式成立.突破路徑1：否定一個等式,只需舉一個反例即可；突破路徑2:利用數(shù)量積的幾何意義表示來分析；突破路徑3：利用反證法，通過向量數(shù)量積的坐標表示來分析.思路一:舉反例。如圖2-3-3所示，設=a,=b,=c,且|｜=1，｜｜=2，|｜=3，〈,〉=，〈，>=，則〈,〉=.圖2∴a·b=|a||b｜cos<a，b〉=1，b·c=｜b｜｜c｜cos〈a，b〉=3.∴（a·b）c=c,a(b·c）=3a很明顯c=3a不成立，∴(a·b)c=a(b·c再例如：a=（1,2），b=(-3,4),c=(6,—5）,則(a·b)c=［1×（-3）+2×4]（6,-5）=3(6,-5)=（18，—15），a（b·c）=（1,2）［—3×6+4×(-5)]=(-38）(1,2)=（-38，-72）.∴（a·b）c=a（b·c）不成立。思路二：下面用向量數(shù)量積的幾何意義來分析.由于向量的數(shù)量積是實數(shù)，則設a·b=λ,b·c=μ。則(a·b）c=λc，a（b·c)=μa.由于c,a是任意向量，則λc=μa不成立.∴(a·b）c=a（b·c）不成立.思路三：下面用向量數(shù)量積的坐標表示來分析.設a=（x1,y1),b=（x2，y2),c=（x3,y3).則a·b=x1x2+y1y2，b·c=x3x2+y3y2.∴（a·b)c=(x1x2+y1y2）(x3,y3）=（x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3），a（b·c）=(x3x2+y3y2)（x1,y1）=(x1x3x2+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3).假設(a·b）c=a(b·c)成立，則有（x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3）=(x1x3x2+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3)，∴x1x2x3+y1y2x3=x1x3x2+x1y2y3，x1x2y3+y1y2y3=x2x3y1+y1y2y3.∴y1y2x3=x1y2y3,x1x2y3=x2x3y1?！鄖2（y1x3-x1y3)=0，x2(x1y3—x3y1）=0?！遙是任意向量,∴x2和y2是任意實數(shù)?！鄖1x3—x1y3=0.∴a∥c.這與a，c是任意向量,即不一定共線相矛盾.∴假設不成立.∴(a·b）c=a(b·c）不成立.3.如何應用|a｜=來求平面內(nèi)兩點間的距離?剖析：難點是知道這個等式成立，但不會用來求平面內(nèi)兩點間的距離。其突破口是建立平面向量基底或坐標系,轉化為進行向量的有關運算.例如:如圖2-3—圖2-3-4解：設=a,=b。則|a|=3，｜b｜=1，〈a,b〉=